Obwody nieliniowe prądu stałego Wykłady z podstaw elektrotechniki i elektroniki Paweł Jabłoński

Co było do tej pory? Zajmowaliśmy się obwodami liniowymi, tj. takimi, których parametry nie zależą od prądów i napięć; obwody takie są opisane równaniami liniowymi. Zależność rezystancji (ogólniej – parametrów elementu elektrycznego) od prądu lub napięcia objawia się tym, że równania stają się nieliniowe. Nieliniowe równania są trudniejsze do rozwiązania, a ponadto mogą mieć więcej niż jedno rozwiązanie, dlatego obwody nieliniowe omawiamy oddzielnie. Na szczęście większość już przedstawionych zagadnień jest poprawna i dla obwodów nieliniowych. Nie jest prawdziwa zasada superpozycji i wynikające z niej metody obliczeń oraz wnioski.

Na tym wykładzie Cel: Zapoznanie się z podstawowymi zagadnieniami analizy obwodów nieliniowych prądu stałego. Zakres: Elementy nieliniowe Redukcja połączeń elementów nieliniowych Metody analizy obwodów nieliniowych Linearyzacja wokół punktu pracy

Po co nam elementy nieliniowe? 1 Elementy nieliniowe Po co nam elementy nieliniowe? Większość elementów rzeczywistych to elementy nieliniowe, np. Elementy oświetleniowe: żarówka, świetlówka, neonówka, Elementy elektroniczne: dioda, tranzystor, tyrystor. Dzięki nieliniowości istnieje wiele urządzeń, np. Prostowniki i stabilizatory w ładowarkach i zasilaczach (diody), Wzmacniacze sygnałów w telewizorze, odtwarzaczu audio i wideo (tranzystory), Komputery (tranzystory), Ograniczniki napięcia (warystory), Falowniki napięcia i prądu, Różne czujniki. Nieliniowość niektórych elementów jest niewielka i często można je traktować jak liniowe, ale nieliniowość innych jest kluczowym aspektem poprawności ich pracy i nie może zostać pominięta (np. dioda prostownicza).

Charakterystyka prądowo-napięciowa Elementy nieliniowe Charakterystyka prądowo-napięciowa Charakterystyką pądowo-napięciową (I-U) dwójnika nazywamy zależność prądu I płynącego przez element od napięcia U panującego na zaciskach elementu. Charakterystyka I-U może być podana: w formie wzoru (np. I = U/R), w formie tabeli podającej wartości prądu dla pewnych wartości napięcia, w formie wykresu (na jednej osi I, na drugiej U), opisowo, jeżeli brak jest wartości liczbowych (np. charakterystyka typu N)

Elementy nieliniowe Elementy nieliniowe Element elektryczny nazywamy nieliniowym, jeżeli jego właściwości zależą od przepływającego przez niego prądu ani od napięcia panującego na jego zaciskach. Element nieliniowy opisany jest równaniem nieliniowym. Podczas gdy charakterystyka I-U elementu liniowego jest linią prostą, to w przypadku elementu nieliniowego nie jest linią prostą. U I Elementy liniowe nieliniowe

Elementy nieliniowe Rezystor liniowy Dwukrotny wzrost napięcia powoduje dwukrotny wzrost prądu. Nachylenie prostej zależy od wartości rezystancji; w układzie (U, I) im większa wartość R, tym bardziej prosta bliższa poziomej. U I U1 2U1 I1 I2 I2 = 2I1 R1 R2 > R1

Elementy nieliniowe Żarówka U I U1 2U1 I1 I2 I2 < 2I1 Dwukrotny wzrost napięcia powoduje wzrost prądu mniejszy niż dwa razy. Wynika to z tego, że większe napięcie powoduje wprawdzie większy prąd, ale prąd ten bardziej nagrzewa włókno żarówki i jego rezystancja rośnie i ogranicza nieco wzrost prądu (U I R I).

Elementy nieliniowe Warystor U I U1 2U1 I1 I2 I2 > 2I1 Warystor to rezystor półprzewodnikowy, którego rezystancja silnie zależy od przyłożonego napięcia. Wzrost napięcia powoduje wzrost natężenia pola elektrycznego, które przemieszcza elektrony do pasma przewodnictwa. W efekcie rośnie konduktywność, czyli spada rezystancja. Zastosowanie: ochrona przepięciowa urządzeń.

Neonówka Neonówka ma charakterystykę I-U typu S. Elementy nieliniowe Neonówka Neonówka ma charakterystykę I-U typu S. Jeżeli będziemy zwiększać napięcie od zera, to neonówka początkowo prawie nie przewodzi prądu (gaz jest prawie niezjonizowany). Dostatecznie duże napięcie U2 wytwarza pole elektryczne wystarczające do lawinowej jonizacji gazu, który nagle staje się dobrym przewodnikiem − powoduje to nagły wzrost prądu do I2 (przeskok na górną gałąź). Zmniejszanie napięcia do U1 powoduje nagły spadek prądu do I1 – następuje rekombinacja jonów i gaz staje się znowu praktycznie izolatorem (przeskok na dolną gałąź). U I U1 U2 I2 I1

Elementy nieliniowe Dioda prostownicza U I Dioda rzeczywista idealna Dioda prostownicza ma charakterystykę typu odwrotne L. Dla ujemnych napięć płynie niewielki prąd. Dla dodatnich napięć prąd jest wielokrotnie większy. Prostownik idealny ma charakterystykę wyidealizowaną. Zastosowanie: zamiana napięcia przemiennego na wyprostowane. U I

Dioda tunelowa Dioda tunelowa ma charakterystykę typu N. Elementy nieliniowe Dioda tunelowa Dioda tunelowa ma charakterystykę typu N. U I

Połączenie szeregowe 2 Charakterystyki zastępcze Jeżeli dwa elementy połączymy szeregowo, to: prąd obydwu elementów równa się prądowi zasilania, napięcie na zaciskach połączenia jest jest sumą napięć na zaciskach elementów. Stąd wynika graficzny sposób uzyskiwania charakterystyki zastępczej połączenia szeregowo: dla stałych wartości prądu należy sumować napięcia na elementach. N1 N2 I U1 U2 U = U1 + U2 U1 U2 U = U1 + U2 I U N1 N2 N

Połączenie równoległe Charakterystyki zastępcze Połączenie równoległe N1 N2 I2 I = I1 + I2 U I1 Jeżeli dwa elementy połączymy równolegle, to: napięcie na zaciskach obydwu elementów jest równe napięciu zasilania, prąd zasilania równa się sumie prądów płynących przez elementy. Stąd wynika graficzny sposób uzyskiwania charakterystyki zastępczej połączenia równoległego: dla stałych wartości napięcia należy sumować prądy elementów. I1 I2 I = I1 + I2 I U N1 N2 N

Charakterystyki zastępcze Rezystor + idealna SEM E U R I I U E R+E R

Dioda idealna + rezystor Charakterystyki zastępcze Dioda idealna + rezystor U R D I U R D D+R

Dioda idealna + rezystor + idealna SEM Charakterystyki zastępcze Dioda idealna + rezystor + idealna SEM E U R D I U D+R E D+R+E

Punkt pracy 3 Punkt pracy Jeżeli przez element płynie prąd I, to na zaciskach elementu występuje napięcie U, które wynika z charakterystyki I-U. Parę (U, I), tj. napięcie U na zaciskach elementu i prąd I płynący przez element nazywamy punktem pracy elementu. W układzie współrzędnych (U, I) punkt pracy jest punktem znajdującym się na charakterystyce I-U. U I (U, I) Punkt pracy

Rezystancja statyczna i dynamiczna Punkt pracy Rezystancja statyczna i dynamiczna Rezystancją statyczną w punkcie pracy nazywamy iloraz napięcia i prądu elementu nieliniowego. Rezystancją dynamiczną w punkcie pracy nazywamy granicę przyrostu napięcia do przyrostu prądu w punkcie pracy. Zarówno rezystancja statyczna jak i dynamiczna zależą od punktu pracy. W przypadku rezystora liniowego rezystancja statyczna i dynamiczna są sobie równe.

Interpretacja geometryczna Punkt pracy Interpretacja geometryczna α β ch-ka I-U styczna sieczna U I ΔI ΔU

Punkt pracy Przykład Wyznaczyć rezystancję statyczną i dynamiczną elementu o charakterystyce

Problemy w obwodach nieliniowych 4 Metody analizy Problemy w obwodach nieliniowych Nie jest problemem ułożenie równań – zawsze prawdziwe są prawa Kirchhoffa. O ile jednak dla rezystora liniowego U = RI (prawo Ohma), to dla elementu nieliniowego U = f(I) lub I = f(U). Powstaje równanie lub układ równań nieliniowych. Zasadniczy problem: jak rozwiązać powstałe równanie nieliniowe? Równania nieliniowe są zwykle trudne do rozwiązania, mogą mieć więcej niż jedno rozwiązanie lub nie mieć ich wcale i niekiedy nie dają się rozwiązać w sposób ścisły. Sytuację komplikuje fakt, że ch-ki niektórych elementów podawane są tylko graficznie (brak wzoru).

Metody analizy obwodów nieliniowych Dokładne – możliwe gdy ch-ki elementów dane są w postaci wzorów, a powstałe równanie nieliniowe daje się rozwiązać dokładnie. Przybliżone: Numeryczne (np. metoda iteracji, metoda Newtona) – stosowane, gdy ch-ki elementów dane są w postaci wzorów, ale powstałe równanie nieliniowe nie daje się rozwiązać dokładnie, Graficzne (np. metoda przecięcia charakterystyk) – stosowane, gdy ch-ki elementów dane są w postaci graficznej lub tabelarycznej, Analityczne (np. metoda linearyzacji) – stosowane, gdy prawdziwą ch-kę przybliża się pewnym wyrażeniem.

5 Metoda dokładna Metoda dokładna Postępuje się tak, jak w metodzie równań Kirchhoffa, tj. Układa się równania Kirchhoffa, Dla rezystorów liniowych wykorzystuje się prawo Ohma U = RI, Dla elementów nieliniowych wykorzystuje się ich zadane ch-ki U = f(I) lub I = f(U), Powstały układ równań rozwiązuje się. Uwaga! Nie można stosować metod wykorzystujących zasadę superpozycji (np. metoda superpozycji, metoda oczkowa).

Przykład Wyznaczyć punkt pracy elementu nieliniowego, jeżeli: Metoda dokładna Przykład Wyznaczyć punkt pracy elementu nieliniowego, jeżeli: UN = kI|I|, k = 2 V/A2, R = 3 Ω, E = 14 V. I U E R N

Przykład – układamy równania Metoda dokładna Przykład – układamy równania Strzałkujemy prąd i spadki napięć. Układamy równanie (II prawo Kirchhoffa): UN = kI|I|, więc Po podstawieniu danych E R N I RI UN

Przykład – rozwiązujemy równania Metoda dokładna Przykład – rozwiązujemy równania Załóżmy, że I > 0, wtedy |I| = I, czyli Ponieważ założyliśmy, że I > 0, to otrzymujemy I = 2 A. Wtedy E R N I RI UN I U 2 A 8 V

Przykład – rozwiązujemy równania Metoda dokładna Przykład – rozwiązujemy równania Jeżeli założymy, że I < 0, to |I| = −I. Otrzymujemy brak rozwiązań: Jedyne rozwiązanie to I = 2 A. E R N I RI UN

6 Metody numeryczne Metody numeryczne Jeżeli otrzymanego równania nieliniowego nie da się rozwiązać metodami dokładnymi, to stosuje się numeryczne metody rozwiązywania. Podstawą numerycznych metod rozwiązywania równań nieliniowych jest proces iteracyjny. Stosuje się m.in.: Metodę iteracji prostych i złożonych, Metodę stycznych (Newtona), rzadziej stycznych.

Proces iteracyjny Równanie f(x) = 0 zapisuje się w postaci Metody numeryczne Proces iteracyjny Równanie f(x) = 0 zapisuje się w postaci Przyjmuje się pewną wartość startową x, oznaczaną przez x0. Nową wartość oblicza się z równania Jeżeli |xk − xk−1| ≤ ε|xk|, to uznajemy, że xk przybliża dokładne rozwiązanie z dokładnością względną ε i kończymy proces, w przeciwnym razie przechodzimy do poprzedniego kroku. Uwagi: proces jest zbieżny, jeżeli −1 < g′(x) < 1, istnieje nieskończona ilość sposobów wyboru funkcji g(x).

Metody numeryczne Przykład (ten sam) Wyznaczyć punkt pracy elementu nieliniowego, jeżeli: UN = kI|I|, k = 2 V/A2, R = 3 Ω, E = 14 V. I U E R N

Przykład – iteracje proste Metody numeryczne Przykład – iteracje proste E R N I RI UN Z poprzedniego przykładu mamy Znamy tutaj dokładne rozwiązanie (I = 2 A), co wykorzystamy do pokazania co się dzieje przy wyborze dwóch różnych funkcji g(I). Wyjściowe równanie można przekształcić np. do postaci:

Przykład – iteracje proste zbieżne Metody numeryczne Przykład – iteracje proste zbieżne

Przykład – iteracje proste rozbieżne Metody numeryczne Przykład – iteracje proste rozbieżne Proces rozbieżny

Metoda Newtona (stycznych) Metody numeryczne Metoda Newtona (stycznych) Funkcję f(I) rozwijamy w szereg Taylora wokół punktu Ik Bierzemy tylko wyrazy liniowe (linearyzujemy funkcję f(I) w otoczeniu punktu Ik) Stąd otrzymujemy wzór na przybliżenie k+1 Ik Ik+1 Ik+2 Id I f(I)

Przykład – metoda Newtona Metody numeryczne Przykład – metoda Newtona

Analiza obwodu nierozgałęzionego 7 Metody graficzne Analiza obwodu nierozgałęzionego Rozważmy obwód nierozgałęziony jak na rysunku. Elementy N1 i N2 mogą być zarówno liniowe jak i nieliniowe. Prąd jest jednakowy dla wszystkich elementów. Drugie prawo Kirchhoffa daje równanie czyli E N1 N2 I U N2 N1

Metoda przecięcia charakterystyk Metody graficzne Metoda przecięcia charakterystyk Równaniu E − U1 = U2 odpowiada następująca konstrukcja graficzna: W układzie U-I rysujemy ch-ki elementów N1 i N2. Na osi U zaznaczamy E. Jedną z ch-k, np. N1, przesuwamy do E i odbijamy lustrzanie (powstaje ch-ka połączenia E-N1). Punkt przecięcia tej ch-ki z ch-ką N2 wyznacza punkt pracy elementu N2, a przez to – pozostałych elementów. E N1 N2 I U1 U2 I U E−N1 E N1 N2 U1 U2 I U1

Przykład Wyznaczyć punkt pracy elementu nieliniowego, jeżeli: Metody graficzne Przykład Wyznaczyć punkt pracy elementu nieliniowego, jeżeli: UN = kI|I|, k = 2 V/A2, R = 3 Ω, E = 14 V. E R N

Przykład – metoda graficzna Metody graficzne Przykład – metoda graficzna E R N I UR UN UN = 2I|I|, R = 3 Ω, E = 14 V I, A U, V 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 18 N I = 2 A 3 V 1 A R = 3 Ω UN = 8 V UR = 6 V

Analiza obwodu ze źródłem prądowym Metody graficzne Analiza obwodu ze źródłem prądowym Rozważmy obwód jak na rysunku. Elementy N1 i N2 mogą być zarówno liniowe jak i nieliniowe. Napięcie jest jednakowe dla wszystkich elementów. Pierwsze prawo Kirchhoffa daje równanie czyli J N1 N2 I1 I2 U I U N2 N1

Metoda przecięcia charakterystyk Metody graficzne Metoda przecięcia charakterystyk J N1 N2 I1 I2 U Równaniu J − I1 = I2 odpowiada następująca konstrukcja graficzna: W układzie U-I rysujemy ch-ki elementów N1 i N2. Na osi I zaznaczamy J. Jedną z ch-k, np. N1, przesuwamy do J i odbijamy lustrzanie (powstaje ch-ka połączenia J-N1). Punkt przecięcia tej ch-ki z ch-ką N2 wyznacza punkt pracy elementu N2, a przez to – pozostałych elementów. I U J I1 J−N1 N1 N2 U I2 I1

Analiza obwodu rozgałęzionego z jednym elementem nieliniowym Metody graficzne Analiza obwodu rozgałęzionego z jednym elementem nieliniowym IN UN Dwójnik aktywny (liniowy) A B Ponieważ jest tylko jeden element nieliniowy, dwójnik działający na element nieliniowy jest sam w sobie liniowy. Dwójnik ten można zastąpić rzeczywistym źródłem napięcia (tw. Thevenina). Sprowadza to zagadnienie do analizy obwodu nierozgałęzionego. Po znalezieniu punktu pracy elementu nieliniowego stosujemy twierdzenie o kompensacji i otrzymujemy obwód liniowy. IN UN A B Rw E0 IN UN E0 Rw UN IN Dwójnik aktywny (liniowy) A B

Linearyzacja 8 Linearyzacja charakterystyki I-U Jeżeli rozpatrujemy pracę elementu nieliniowego w niewielkim otoczeniu punktu pracy, to jego charakterystykę U-I możemy w tym zakresie przybliżyć linią prostą. Mówimy wtedy, że element nieliniowy został zlinearyzowany. Prowadzi to do zastąpienia elementu nieliniowego zastępczym elementem liniowym (tylko w rozpatrywanym zakresie). ch-ka zlinearyzowana I U ch-ka rzeczywista U0 I0

Praca w przedziale linearyzacji Linearyzacja charakterystyki I-U Praca w przedziale linearyzacji Niewielkim zmianom napięcia ΔU odpowiadają pewne zmiany prądu. Na charakterystyce zlinearyzowanej jest to zakres ΔI. Prawdziwy zakres zmian prądu jest nieco inny, ale jest bardzo często ta różnica ma niewielkie znaczenie. Korzyść jest taka, że dostajemy obwód liniowy, który łatwo można rozwiązać. Po rozwiązaniu należy upewnić się, że element nieliniowy pracuje w zakresie zlinearyzowania. ch-ka zlinearyzowana I U ch-ka rzeczywista ΔI U0 I0 ΔU

Charakterystyka zlinearyzowana Linearyzacja charakterystyki I-U Charakterystyka zlinearyzowana Najogólniejsza linia prosta w układzie (U, I) ma równanie gdzie r oraz EN – stałe zależne od punktu lub przedziału linearyzacji. Wartości parametrów (EN, r) wyznacza się z ch-ki rzeczywistej przy zadanym punkcie (U0, I0) lub zadanym przedziale linearyzacji. ch-ka zlinearyzowana I U ch-ka rzeczywista ΔI U0 I0 ΔU

Ch-ka zlinearyzowana a szeregowe połączenie rezystora i idealnej SEM Linearyzacja charakterystyki I-U Ch-ka zlinearyzowana a szeregowe połączenie rezystora i idealnej SEM E U R I I U ch-ka rzeczywista ch-ka zlinearyzowana U0 I0 I U R E E+R

Linearyzacja charakterystyki I-U Parametr EN Parametr EN interpretuje się jako pewną SEM włączoną szereg z rezystancją r. Wartość EN można odczytać na osi U – zlinearyzowana ch-ka przecina oś U w punkcie EN. ch-ka zlinearyzowana I U ch-ka rzeczywista U0 I0 EN

Parametr r Parametr r interpretuje się jako rezystancję o wartości Linearyzacja charakterystyki I-U Parametr r Parametr r interpretuje się jako rezystancję o wartości Jest ona równa rezystancji dynamicznej w punkcie pracy. ch-ka zlinearyzowana I U ch-ka rzeczywista ΔI U0 I0 ΔU

Zlinearyzowany schemat zastępczy Linearyzacja charakterystyki I-U Zlinearyzowany schemat zastępczy Wniosek: W otoczeniu punktu pracy element nieliniowy może zostać zastąpiony szeregowym połączeniem idealnej SEM ze źródłem napięciowym. U I I U ch-ka rzeczywista ch-ka zlinearyzowana U0 I0 EN U r I

Metoda analityczna linearyzacji Linearyzacja charakterystyki I-U Metoda analityczna linearyzacji Jeżeli ch-ka I-U dana jest w postaci wzoru U(I), to rozwijając ją w szereg Taylora wokół punktu pracy I0, dostajemy Zatrzymując tylko wyrazy liniowe, otrzymujemy

Metoda analityczna linearyzacji Linearyzacja charakterystyki I-U Metoda analityczna linearyzacji Oznaczmy Wtedy Oznaczmy dalej

Linearyzacja charakterystyki I-U Przykład Metodą linearyzacji wyznaczyć zakres zmian prądu, jeżeli wartość napięcia zasilania E odchyla o 2 V w otoczeniu 14 V. UN = kI|I|, k = 2 V/A2, R = 3 Ω, E = E0  e, E0 = 14 V, e = 2 V. E R N

Przykład – linearyzacja Linearyzacja charakterystyki I-U Przykład – linearyzacja Rozwiązujemy obwód dla E0 = 14 V. Wcześniej otrzymaliśmy Przeprowadzamy linearyzację E0 R N IN UR UN

Przykład – interpretacja graficzna Linearyzacja charakterystyki I-U Przykład – interpretacja graficzna E R N I UR UN E R I UR EN r I, A U, V 1 A 3 V R = 3 Ω N UN = 8 V UR = 6 V I = 2 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 −1 −8 EN = −8 V 8 V r = 8 Ω

Przykład – obwód zlinearyzowany Linearyzacja charakterystyki I-U Przykład – obwód zlinearyzowany E R I UR EN r Teraz mamy obwód liniowy. Prąd I zmienia się w zakresie czyli w granicach od 1,82 do 2,18 A.

Linearyzacja charakterystyki I-U Metoda małosygnałowa Metoda linearyzacji jest podstawą tzw. metody małosygnałowej (przybliżonej metody rozwiązywania obwodów nieliniowych z „małymi” źródłami zmiennymi). W metodzie małosygnałowej zakłada się, elementy nieliniowe pracują w pobliżu ich punktów pracy. Punkt pracy ustala się rozwiązując nieliniowy obwód prądu stałego (bez „małych” źródeł). „Małe” źródła widzą wtedy elementy nieliniowe jako rezystancje (dynamiczne) – dla nich obwód jest liniowy. E0 R N e E0 R N IN R r e i

Podsumowanie Czego się nauczyliśmy? Poznaliśmy pojęcia stosowane do przedstawiania właściwości elementów nieliniowych (ch-ka I-U, punkt pracy, rezystancja statyczna i dynamiczna). Poznaliśmy niektóre metody analizy obwodów nieliniowych prądu stałego (dokładne, przybliżone, numeryczne, graficzne). Dowiedzieliśmy się, co to znaczy zlinearyzować element nieliniowy.