Moc i zagadnienia wybrane w obwodach prądu sinusoidalnego Wykłady z podstaw elektrotechniki i elektroniki Paweł Jabłoński

Co było do tej pory? W zakresie prądów stałych: Poznaliśmy podstawy teorii obwodów liniowych i nieliniowych. W zakresie prądów sinusoidalnych: Wprowadziliśmy pojęcia wartości skutecznej, wskazu, impedancji, kąta fazowego. Znamy związki między wskazami prądu i napięcia na elementach RLC. Umiemy rozwiązywać nierozgałęzione obwody RLC.

Na tym wykładzie Cel: Zapoznanie się z wybranymi zagadnieniami obwodów prądu sinusoidalnego. Zakres: Moc w obwodach prądu sinusoidalnego Metoda klasyczna analizy obwodów Rezonans Kompensacja mocy biernej

1 Moc Moc chwilowa Mocą chwilową nazywamy iloczyn chwilowych wartości napięcia i prądu Jeżeli dla pewnego dwójnika to można pokazać, że gdzie φ = ψu − ψi jest kątem fazowym dwójnika.

Moc chwilowa – wyprowadzenie Będzie nam potrzebna tożsamość trygonometryczna Otrzymamy wtedy

Przebieg czasowy mocy chwilowej Moc chwilowa oscyluje z częstotliwością dwukrotnie większą (w porównaniu do częstotliwości napięcia i prądu) wokół wartości średniej równej UIcosφ: φ ψi ψu UIcosφ UI p u i ωt

Moc czynna i pozorna Średnią mocy chwilowej nazywamy mocą czynną Amplitudę mocy chwilowej nazywamy mocą pozorną φ ψi ψu P = UIcosφ S = UI p u i ωt

Prąd czynny i bierny Wskaz prądu można uważać za sumę dwóch wskazów: równoległego do wskazu napięcia, prostopadłego do wskazu napięcia. Składowa równoległa Ic to tzw. składowa czynna; odpowiada ona sinusoidzie będącej w fazie z sinusoidą napięcia, a jej wartość skuteczna wynosi Składowa prostopadła Ib to tzw. składowa bierna; odpowiada sinusoidzie przesuniętej o 90°, a jej wartość skuteczna wynosi U I Ic Ib φ t

Moc czynna i bierna Ponieważ P = UIcosφ, a Icosφ = Ic, moc czynną można obecnie wyrazić jako Wniosek: moc czynna przenoszona jest jedynie przez składową czynną prądu (stąd i nazwa „czynna”). Składowa bierna prądu nie wytwarza mocy czynnej, niesie natomiast tzw. moc bierną

Jak nie dać się (ciemnej stronie) mocy? W obwodach prądu sinusoidalnego wyróżnia się zatem: moc chwilową p(t) = u(t)i(t) – jest to wartość zmienna w czasie oscylująca sinusoidalnie z amplitudą S i podwojoną częstotliwością wokół wartości średniej P, moc czynną P = UIcosφ – jest to średnia wartość mocy (za okres) realnie pobieranej przez urządzenie, możliwa do przetworzenia na inną formę (np. mechaniczną, cieplną), moc ta jest zawsze nieujemna, moc bierną Q = UIsinφ – jest to wielkość czysto umowna związana okresowymi zmianami w energii zmagazynowanej w elementach reaktancyjnych (cewka, kondensator), moc ta może być dodatnia (indukcyjna, gdy φ > 0) lub ujemna (pojemnościowa, gdy φ < 0), moc pozorną S = UI – moc wynikająca z amplitud napięcia i prądu, uwzględniająca zarówno moc czynną jak i bierną.

Jednostki mocy Jednostką mocy w układzie SI jest wat (W), Nominalnie W = J/s = A∙V, Moc chwilową p i czynną P, jako wielkości realne, wyrażamy w watach (W), Moc pozorną S wyrażamy z woltoamperach (VA, nominalnie jest to wat), Moc bierną Q wyrażamy w warach (VAr – woltoamper reaktancyjny, nominalnie jest to wat), Rozróżnianie jednostek W, VA, VAr ma na celu uwypuklenie tego, że dotyczą one różnych wielkości.

Trójkąt mocy Ze wzorów dostajemy związki Możemy je zobrazować za pomocą tzw. trójkąta mocy. S P Q φ

Współczynnik mocy Moc czynną można zapisać jako Występującą tą wielkość nazywamy współczynnikiem mocy. Przyjmuje on wartości z przedziału od 0 do 1: 1 dla φ = 0 (rezystor), 0 dla φ = 90° (cewka lub kondensator). Współczynnik mocy typowych urządzeń: Żarówka, grzałka, żelazko – około 0,95 do 0,99, Silniki od 0,1 w stanie jałowym do około 0,8 w stanie nominalnym.

Moc rezystora Dla rezystora φ = 0, więc Moc chwilowa rezystora jest zawsze nieujemna, zatem rezystor w sposób pulsacyjny pobiera energię ze źródła (średnio PT w jednym okresie T). Rezystor nie pobiera mocy biernej, a tylko moc czynną.

Moc cewki Dla cewki φ = 90°, więc Moc chwilowa cewki oscyluje wokół zera, zatem cewka przez ćwierć okresu pobiera energię i magazynuję ją w polu magnetycznym, a przez następne ćwierć okresu oddaje ją do obwodu. Cewka nie pobiera mocy czynnej, a tylko dodatnią moc bierną.

Moc kondensatora Dla kondensatora φ = −90°, więc Moc chwilowa kondensatora oscyluje wokół zera, zatem kondensator przez ćwierć okresu pobiera energię i magazynuje ją w polu elektrycznym, a przez następne ćwierć okresu oddaje ją do obwodu. Kondensator nie pobiera mocy czynnej, a tylko ujemną moc bierną (czyli wytwarza dodatnią moc bierną).

Elementy RLC – podsumowanie

Bilans mocy Bilans mocy przeprowadza się oddzielnie dla mocy czynnej i oddzielnie dla mocy biernej Moc bierną sumujemy z uwzględnieniem znaku (ujemna dla kondensatora, dodatnia dla cewki). Nie wolno sumować mocy pozornych, moc pozorną należy obliczać ze związku

Metoda klasyczna – ogólna idea 2 Metoda klasyczna Metoda klasyczna – ogólna idea Metoda klasyczna analizy obwodów prądu sinusoidalnego opiera się na wskazach wielkości sinusoidalnych: Oblicza się reaktancje cewek i kondensatorów, ewentualnie ich susceptancje. Wartości skuteczne napięć i prądów na poszczególnych elementach wyrażają się związkami typu prawo Ohma. Prawa Kirchhoffa spełniane są nie dla wartości skutecznych, lecz dla wskazów (lub wartości chwilowych). Na podstawie wykresu wskazowego uzyskuje się zależności na wartość skuteczną sumy napięć lub prądów oraz na ich kąty fazowe.

Przykład Wyznaczyć prąd płynący przez rezystor, moduł impedancji i kąt fazowy dwójnika. Obliczyć moc czynną, bierną i pozorną oraz współczynnik mocy. R C iR u A B L

Przykład – rozwiązywanie XC iR u A B XL Obliczamy reaktancję cewki: Obliczamy reaktancję kondensatora: Wartość skuteczna napięcia zasilania:

Przykład – rozwiązywanie XC IR U A B XL IL IC UL URC Rysujemy obwód dla wartości skutecznych. Strzałkujemy prądy i napięcia. Jeżeli napięcie na rezystorze wynosi URC, to prąd rezystora wynosi Prąd kondensatora wynosi

Przykład – rozwiązywanie XC IR U A B XL IL IC UL URC Mając prądy IR i IC możemy obliczyć prąd sumaryczny IL, ale należy to zrobić geometrycznie (za pomocą wskazów): Dowolnie rysujemy wskaz napięcia URC. Równolegle do niego rysujemy wskaz prądu IR. Wskaz prądu IC rysujemy jako wyprzedzający napięcie URC o 90°. Jaką długość ma mieć ten wskaz? Taką jak wskaz IR, gdyż IC = IR. Prąd cewki IL jest sumą geometryczną prądów IR i IC. IL IC IR URC

Przykład – rozwiązywanie XC IR U A B XL IL IC UL URC Z wykresu mamy: Obliczamy napięcie na cewce URC IR IC IL

Przykład – rozwiązywanie XC IR U A B XL IL IC UL URC Aby wyznaczyć U, należy teraz geometrycznie zsumować napięcie URC i UL: Zaznaczamy wskaz napięcia UL jako wyprzedzający prąd IL o 90°. Jaką długość ma mieć ten wskaz? Musi być √2 razy dłuższy od URC. Do jego narysowania możemy wykorzystać fakt, że przekątna kwadratu jest √2 razy dłuższa od jego boku. Sumujemy wskazy URC i UL, otrzymując wskaz U. U UL URC IR IC IL

Przykład – wykres wskazowy XC IR U A B XL IL IC UL URC Z wykresu mamy Narysowany wykres wskazowy ustala związki między wskazami. Zauważmy, że napięcie na cewce jest większe niż napięcie zasilania. Wniosek: przy zasilaniu sinusoidalnym napięcie na niektórych elementach może być większe od napięcia zasilania! URC IR IC IL UL U

Przykład – wartości skuteczne XC IR U A B XL IL IC UL URC Znamy U = 60 V, więc potrafimy teraz obliczyć pozostałe wielkości. Napięcia Prądy URC IR IC IL UL U

Przykład – wartość chwilowa prądu iR u A B L Aby zapisać wartość chwilową prądu iR, zauważmy, że: Wartość skuteczna IR = 6 A. Kąt fazowy napięcia U wynosi 30° (z danych). Kąt pomiędzy wskazami U i IR wynosi −90° (z wykresu). Zatem URC IR IC IL UL U

Przykład – impedancja Moduł impedancji iR u A B L Moduł impedancji Kąt fazowy (kąt między wskazami napięcia i prądu zasilania) – z wykresu URC IR IC IL UL U φ

Przykład – moce R XC IR U A B XL IL IC UL URC Moce URC IR IC IL UL U

3 Rezonans Co to jest rezonans? Rezonans to zjawisko polegające na powstawaniu oscylacji o bardzo dużej amplitudzie wskutek działania wymuszenia o relatywnie niewielkiej amplitudzie. Warunkiem wystąpienia rezonansu jest odpowiednia częstotliwość oscylacji wielkości wymuszającej (napięcia, siły). Częstotliwość ta nazywa się częstotliwością rezonansową układu (częstotliwością drgań swobodnych nietłumionych).

Drgania swobodne Układ mechaniczny wychylony ze stanu równowagi i pozostawiony sam sobie próbuje do niego wrócić. Jeżeli czynniki tłumiące (np. tarcie, lepkość) nie są zbyt duże, powrót do stanu równowagi następuje oscylacyjnie. Częstotliwość tych drgań to częstotliwość drgań swobodnych. Jeżeli nie ma tłumienia, to mamy drgania swobodne nietłumione. Jeżeli czynniki tłumiące są zbyt duże, oscylacji nie ma.

Kiedy występuje rezonans? Jeżeli w takim układzie wystąpi czynnik okresowy pobudzający układ do drgań (np. siła) o częstotliwości równej lub bliskiej częstotliwości drgań swobodnych nietłumionych, to amplituda drgań zostanie spotęgowana. W kolejnych okresach działania wymuszenia układ pobiera porcje energii i magazynuje ją, co prowadzi do narastania amplitudy oscylacji. Amplituda drgań przestaje narastać, gdy pobrana w jednym okresie energia jest rozpraszana w czasie jednego okresu drgań (dotychczas zmagazynowana energia pozostaje zaś w układzie). Taki stan to właśnie rezonans.

Rezonans w układach elektrycznych W teorii obwodów rezonansem nazywamy stan, w którym odbiornik zawierający elementy reaktancyjne nie pobiera mocy biernej. W stanie rezonansu: prąd nie ma składowej biernej – jest zatem w fazie z napięciem, odbiornik nie pobiera mocy biernej – cała dostarczana energia zamienia się na ciepło, dlatego już niewielkie wymuszenie może spowodować relatywnie duże oscylacje prądu lub napięcia.

Rezonans w szeregowym układzie RLC uR uL R uC C L Moc bierna wynosi Moc ta zeruje się, jeżeli XL = XC, czyli Stan taki nazywamy rezonansem napięć, gdyż wtedy wartości skuteczne napięcia cewce i kondensatorze są takie same, ale z powodu przesunięcia fazowego wartości chwilowe napięć sumują się do zera. I U = UR UC UL

Pulsacja rezonansowa Z warunku rezonansu otrzymujemy pulsację rezonansową Częstotliwość rezonansowa szeregowego dwójnika RLC wynosi u i uR uL R uC C L

Stan rezonansu napięć W stanie rezonansu napięć: uR uL R uC C L W stanie rezonansu napięć: Reaktancja pojemnościowa XC i indukcyjna XL są sobie równe: XL = XC, Moduł impedancji Z = R, a więc prąd osiąga maksymalną wartość równą U/R, Kąt fazowy φ = 0, a więc prąd jest w fazie z napięciem zasilania, Napięcie zasilania U odkłada się na rezystorze: UR = U, Wartości skuteczne napięcia na cewce i kondensatorze są sobie równe UL = UC, Wartości chwilowe napięcia na cewce kondensatorze znoszą się (uL + uC = 0). I U = UR UC UL

Dobroć układu rezonansowego Dobrocią szeregowego układu rezonansowego RLC nazywamy stosunek napięcia na cewce do napięcia na rezystorze w stanie rezonansu Dobroć jest wielkością niemianowaną i przyjmuje wartości nieujemne. Dobroć zależy od L, C i R, ale nie zależy od napięcia zasilania. W układach rezonansowych dąży się do uzyskania jak największej dobroci, czyli rezystancja powinna być jak najmniejsza. Dobroć dedykowanych układów rezonansowych wynosi od kilkudziesięciu nawet do kilku tysięcy.

Przepięcia W stanie rezonansu wartość skuteczna napięcia na cewce i kondensatorze wynosi Jeżeli Q > 1, to napięcie na cewce i kondensatorze jest większe od napięcia zasilania. Taki stan nazywamy przepięciem. Przepięcia są pożądane w układach selekcji sygnałów (telekomunikacja), natomiast niepożądane i niebezpieczne w układach energetycznych.

Prądy i napięcia w funkcji pulsacji

Wpływ dobroci (rezystancji) Q = 2 Q = 1 Q = 10 Q = 100

Kąt fazowy gałęzi Kąt fazowy szeregowego układu RLC wyraża się jako: Jeżeli ω < ωr, to φ < 0 (układ ma charakter rezystancyjno-pojemnościowy), Jeżeli ω > ωr, to φ > 0 (układ ma charakter rezystancyjno-indukcyjny), Jeżeli ω = ωr, to φ = 0 (układ ma charakter rezystancyjny).

Zastosowanie Pozwala selektywnie wybrać sygnały o częstotliwości bliskiej częstotliwości rezonansowej (np. układy dostrajania w TV, radiu, telefonie komórkowym, CB, itd.), Układy zapłonowe (np. świec w silniku benzynowym, świetlówek) – tam celowo doprowadza się do przepięć, aby uzyskać znaczne napięcie na cewce zapłonowej. Do wzmacniacza Małe napięcie Duże

Wpływ niekorzystny Może prowadzić do przepięć, niszcząc urządzenia i stanowiąc zagrożenia dla życia. Rezonans mechaniczny może prowadzić do wielkoamplitudowych drgań w układzie – efektem są nieprzyjemne drgania a nawet zniszczenie układu (np. zawalenie budynku, mostu). Katastrofa mostu w Tacoma, 1940.

Rezonans w równoległym układzie RLC iR iL R iC C L Moc bierna wyraża się wzorem Zeruje się ona jeżeli BL = BC, czyli XL = XC, a stąd pulsacja rezonansowa wynosi Jest ona taka sama jak w układzie szeregowym. Rezonans w układzie równoległym nazywa się rezonansem prądów, gdyż IL = IC, co prowadzi do wzajemnej kompensacji prądów cewki i kondensatora. I I = IR IL IC

Stan rezonansu prądów W stanie rezonansu prądów: iR iL R iC C L W stanie rezonansu prądów: Susceptancja pojemnościowa BC i indukcyjna BL są sobie równe: BL = BC, Moduł admitancji Y = G, a więc prąd osiąga minimalną wartość równą UG, Kąt fazowy φ = 0, a więc prąd jest w fazie z napięciem zasilania, Prąd zasilania I płynie tylko przez rezystor: IR = I, Wartości skuteczne prądów cewki i kondensatora są sobie równe IL = IC, Wartości chwilowe prądów cewki i kondensatora znoszą się (iL + iC = 0). Jeżeli BL = BC > G, to IL = IC > I – dochodzi do tzw. przetężeń (prądy cewki i kondensatora większe od prądu zasilania).

Częstotliwości rezonansowe W ogólności częstotliwości rezonansowe dwójnika RLC wyznacza się z warunku zerowania kąta fazowego dwójnika. C L R C L R C L R C L R C L RL R C L RL

Przesył energii elektrycznej 4 Kompensacja mocy biernej Przesył energii elektrycznej Podłączając odbiornik energii elektrycznej do sieci nie zastanawiamy się zwykle, jaką drogę pokonuje energia elektryczna. Pomijając wszelkie szczegóły, wystarczy, że wyobrazimy sobie, że po wyprodukowaniu w elektrowni jest przesyłana liniami energetycznymi do odbiorników. Elektrownia Odbiorniki

Koszty przesyłu Jedno z najważniejszych zagadnień energetyki to: Przesłać zadaną moc czynną jak najtańszym kosztem. Główne składniki kosztów to: Bezpowrotne straty energii spowodowane wydzielaniem ciepła w przewodach linii energetycznych wskutek przepływu prądu, Koszty budowy linii energetycznych, Koszty eksploatacyjne (np. naprawa uszkodzonych linii). Obniżenie tych kosztów jest możliwe dzięki tzw. kompensacji mocy biernej.

Kompensacja mocy biernej Większość odbiorników energii elektrycznej ma charakter rezystancyjno-indukcyjny (φ > 0, cosφ < 1, Q = QL > 0). Idea jest taka: zamiast produkować moc bierną w elektrowni i przesyłać ją linią energetyczną, lepiej wyprodukować ją tuż przy odbiorniku. Ponieważ w ogólności Q = QL – QC, to aby uzyskać Q ≈ 0, równolegle do odbiornika wystarczy podłączyć odpowiedni kondensator. Takie postępowanie nazywa się kompensacją mocy biernej, albo poprawą współczynnika mocy (jako, że po takim zabiegu cosφ wzrasta).

Jak to działa? Rozważmy odbiornik o charakterze rezystancyjno-indukcyjnym (np. silnik indukcyjny, piec indukcyjny, łukowy). Prąd I0 spóźnia się za napięciem U o kąt φ, zatem zawiera zarówno składową czynną Ic, jak i bierną Ib. Jeżeli równolegle do odbiornika podłączymy kondensator, to popłynie przez niego prąd IC. Prąd ten kompensuje całkowicie lub częściowo składową bierną prądu pobieraną z sieci, czyli zmniejsza prąd I płynący w sieci. I IC C U I0 R L U Ib Ic I I0 φ′ φ IC

Jak to działa? – c.d. Moc bierna indukcyjna potrzebna odbiornikowi RL jest częściowo wytwarzana na miejscu przez kondensator – stąd nazwa kompensacja mocy biernej. Odbiornik wypadkowy ma kąt fazowy φ′ < φ, czyli cosφ′ > cosφ – stąd inna nazwa poprawa współczynnika mocy. Dla odbiornika nic się nie zmieniło – płynie przez niego taki prąd I0 jak przed kompensacją. Zmienił się natomiast prąd pobierany z sieci z I0 na I, czyli zmalał. I IC I0 U C R L U Ib Ic I I0 φ′ φ IC

Kompensacja częściowa, całkowita i przekompensowanie Jeżeli w wyniku kompensacji mocy biernej wypadkowy kąt fazowy φ′ > 0 (cosφ′ < 1), to mówimy o kompensacji częściowej. Jeżeli φ′ = 0 (cosφ′ = 1), to kompensację nazywamy całkowitą; w tym stanie układ ma charakter rezystancyjny (zachodzi w istocie rezonans prądów w odbiorniku wypadkowym). Jeżeli zaś φ′ < 0 (cosφ′ < 1), to mówimy o przekompensowaniu – w tym stanie układ ma charakter rezystancyjno-pojemnościowy. φ U I0 I IC φ′ φ U I0 I IC φ U I0 I IC φ′

Dobór kondensatora Aby uzyskać kompensację ze współczynnika mocy cosφ na cosφ′, należy użyć kondensatora o pojemności Wyprowadzenie:

Co daje kompensacja mocy biernej? Najważniejszym efektem jest zmniejszenie prądu przesyłanego linią energetyczną, w efekcie czego: Zmniejszają się straty energii wydzielanej w liniach przesyłowych, transformatorach itp. (P = RI2), Zmniejszają się spadki napięcia w przewodach linii, transformatorach – u odbiorcy jest zapewnione odpowiednie napięcie (np. 230 V zamiast 210 V), Można użyć przewodów o mniejszym przekroju poprzecznym, co obniża koszty budowy linii, transformatorów, generatorów, Można przesyłać większą moc czynną. Wszystkie zakłady przemysłowe muszą mieć instalację kompensacji mocy biernej; jeżeli pobierają z sieci moc bierną większą niż dopuszczalna, to płacą kary.

Podsumowanie Czego się nauczyliśmy? Dowiedzieliśmy się co to jest moc czynna, bierna i pozorna, Poznaliśmy metodę klasyczną analizy obwodów z prądem sinusoidalnym, Dowiedzieliśmy się co to jest rezonans w obwodach elektrycznych i jakie jest jego zastosowanie, Dowiedzieliśmy się na czym polega poprawa współczynnika mocy i po co się ją stosuje.