o granicy funkcji przy obliczaniu granic Twierdzenia i ich zastosowanie przy obliczaniu granic Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym.

Tw. 1 Tw. 2 Tw. 3 Tw. 4 Czy obliczanie granic funkcji jest trudne ? Oczywiście jest to retoryczne pytanie, gdyż wiadomo, że to zależy od postaci funkcji, od znajomości twierdzeń o granicach funkcji, od umiejętności przekształcania wyrażeń dzięki którym otrzymamy wyrażenia o prostszej postaci. Przypomnijmy podstawowe twierdzenia o granicach funkcji, które są analogiczne do twierdzeń o granicach ciągów. Tw. 1 o ile one istnieją Tw. 2 j.w Tw. 3 j.w . Następne twierdzenie najczęściej stosowane Tw. 4 gdzie c - constans W oparciu o te twierdzenia można obliczyć tylko granice bardzo prostych funkcji, ale tu trzeba mieć pewne doświadczenie. 2

Granice te zależą od przepisów tych funkcji. Jak wiemy obliczając granice bardzo prostych funkcji , np. natrafiamy na granice pewnych typów, które nazwaliśmy symbolami nieoznaczonymi : i inne np. W powyższych przypadkach możemy tak dobrać funkcje, aby ich granice były z góry dowolnie zadanymi liczbami. Zatem, w takich sytuacjach, gdy nic więcej nie wiemy o funkcjach tych granic nie możemy wyznaczyć. Granice te zależą od przepisów tych funkcji. W tych przypadkach, należy przekształcić postać funkcji tak, by po skorzystaniu z odpowiednich twierdzeń, pozbyć się granic postaci nieoznaczonej. Przekształcenia te, są zależne od typu granicy i postaci funkcji.

Zad 1. Wyznaczmy granice funkcji uzasadniając każdy krok. Czasem wystarczy wyłączyć przed nawias, innym razem skrócić lub rozszerzyć ułamek ( np. przez sumę czy różnicę ) bądź, rozłożyć na czynniki licznik i mianownik i.t.p. Czasem a szczególnie przy granicach jednostronnych musimy znać twierdzenie : Tw. 5 Zastosujmy powyższe twierdzenia o granicach funkcji w przykładach: Zad 1. Wyznaczmy granice funkcji uzasadniając każdy krok.

Powyższego zapisu na ogół nie stosujemy, jest on długi, niewygodny i w trakcie obliczeń ciągle wykorzystujemy te same twierdzenia. Dlatego też w następnych przykładach będziemy pisać krócej ( ale, mam nadzieję, że nie trzeba nikogo przekonywać o konieczności znajomości tych twierdzeń i uzasadnieniu obliczeń ). Ponadto w takich przypadkach jak powyżej, granice wyznaczamy prościej, korzystając z faktu, że funkcja taka jest ciągła w D. Gdy punkt w którym obliczamy granicę należy do dziedziny funkcji ciągłej to granica w tym punkcie jest wartością funkcji w tym punkcie. Zad 2. Zad 3. Analizujemy jakiego typu jest to granica Jak widać nie ma problemu ( do czego dążą wyrazy danego wyrażenia ). Zad 4. Typ granicy ? Symbol nieoznaczony W trzech składnikach trzeba pozbyć się nieskończoności. Wyłączyć „największy” składnik przed nawias. Jak ?

Czy uwagi, które przekazywałem były Wam potrzebne ? Nie, jeżeli umiecie obliczać granice ciągów bo czynności, przekształcenia wyrażeń są dokładnie takie same. Zad 5. Zad 6. Zad 7. Zad 8. Wykonywaliśmy te same czynności co poprzednio i niestety mamy znowu symbol nieoznaczony. Co zrobić ? Kto pamięta jak obliczaliśmy granice ciągów podobnej postaci, wie. Wyrażenie pomnożyć i podzielić przez sumę wyrażeń.

Zad 9 Zad 10. Zad 11. 2 jest pierwiastkiem licznika i mianownika licznik i mianownik rozkładamy na czynniki Zad 12. Spróbujmy rozszerzyć przez ……

Zad. 13. Zad. 14 Zad. 15 Zad. 16 Pamiętamy takie wyrażenia ? Rozszerzamy przez sumy Skracamy przez

Zad. 17 Po jakich znakach dąży do zera ? Zad. 18 Zad. 19 bo mianownik dąży do 0 po wartościach dodatnich i ujemnych, co widać na wykresie mianownika W takich przypadkach rozpatrujemy granice jednostronne . 19 a. 19 b. Dlaczego w mianowniku przy 0 dopisaliśmy + , _ , widać na wykresie. Podobnie, 19 c. 19 d. Zad. 20

Zad. 21 Zad. 22 Zad. 23

W następnych zadaniach będziemy korzystać z twierdzenia o granicy funkcji szczególnej postaci : Dowód w prezentacji : @ Granice szczególnych funkcji @ Zad. 24 Niestety, do tych zadań trzeba znać trygonometrię. Zad. 25 Aby znikł tgx, rozszerzamy przez cosx Zad. 26 ? Zad. 27 Zad. 28

Zad. 29 Zad. 30 Pomimo, że obliczyliśmy 30 granic różnych funkcji, chyba zdajemy sobie sprawę z tego, że jak na razie potrafimy obliczać granice funkcji tylko bardzo prostych, funkcji szczególnych postaci ( tak samo było przy granicach ciągów ). Ale, aby można było powiedzieć, że umiemy wyznaczać granice nawet dla niewielkiej rodziny funkcji, należy przerobić trochę ćwiczeń. Proponuję obliczyć granice funkcji : a ) b ) c )

d ) e ) f ) g ) h ) i ) Wykonanie tych zadań daje dużą szansę, że na poziomie szkoły średniej obliczanie granic funkcji nie będzie sprawiało kłopotu. Zainteresowani matematyką ( uczniowie klas matematycznych ) poznają później twierdzenia, dzięki którym będzie można obliczyć granice bardziej skomplikowanych funkcji.

Na koniec tej prezentacji jeszcze raz lecz w skróconym zapisie, przedstawmy twierdzenia o granicy funkcji w szczególnych przypadkach : Symbol oznacza: dąży do 0 po wartościach dodatnich ( ujemnych ). gdy dąży do 0 po wartościach o różnych znakach Aby widzieć po jakich znakach mianownik dąży do 0 warto narysować jego wykres. Opr. WWW. i-lo. tarnów. Bardzo proszę o krytyczne przeanalizowanie prezentacji i przekazanie uwag, by po korekcie, można było ją uznać za poprawną. Z góry dziękuję. belferwww.one.pl Koniec prezentacji