INFORMACJA! Udostępniane materiały pomocnicze do nauki przedmiotu Wytrzymałość Materiałów są przeznaczone w pierwszym rzędzie dla wykładowców. Dla właściwego ich wykorzystania konieczny jest komentarz osoby rozumiejącej treści zawarte w prezentacjach. Dla studentów jest to tylko materiał uzupełniający do studiów w bezpośrednim kontakcie z prowadzącymi, a także ułatwiający zrozumienie treści podręczników. Przedstawiana wersja jest pierwszą edycją wykładów przeprowadzonych w roku ak. 2009/10 i wymagać może poprawek i uzupełnień. Pobierający te materiały proszeni są o przesyłanie swoich uwag na adres e-mailowy autora: mc@limba.wil.pk.edu.pl.

UGIĘCIA ZGINANEJ BELKI RÓŻNICZKOWE RÓWNANIE UGIĘTEJ OSI BELKI

Geometria ugięcia osi belki 1. Definicja odkształcenia: z  My My 2. Z rysunku: w z x 3. Z podstawienia 2 do 1 4. Odkształcenie liniowe 5. Hipoteza płaskich przekrojów 

Naprężenia normalne i krzywizna osi przy zginaniu 1. Odkształcenie liniowe 2. Z prawa Hooke’a 3. Naprężenie normalne przy zginaniu 4. Z porównania 2 i 3: 5. Krzywizna pręta 

Równanie różniczkowe ugiętej osi belki 1. Związek krzywizny i momentu: 2. Wzór na krzywiznę krzywej: 3. Równanie różniczkowe dla wyznaczenia ugięć osi belki w(x)

Znakowanie w równaniu ugiętej osi belki Znakowanie w(x), w’(x) i w’’(x) zależy od wyboru układu osi x i w oraz ich zwrotów: w(x) x w>0, w’<0 w(x) x w>0, w’>0 w(x) x w>0, w’>0 w(x) x w>0, w’<0

Znakowanie w równaniu ugiętej osi belki Niezależnie, znakowanie momentu M(x) wynika z przyjętej umowy (M jest dodatni gdy rozciąga „spody”) M>0 M<0 M<0 M>0

Znakowanie w równaniu ugiętej osi belki Przyjmiemy umowę, że zachowując przyjęte znakowanie momentów, równanie różniczkowe osi belki będziemy zapisywali w postaci: JEŚLI dodatni zwrot osi w będzie zgodny ze zwrotem dodatniego momentu t.j. będzie skierowany w stronę spodów: w(x) x My W przeciwnym przypadku w równaniu należy przyjąć znak +. Przyjęcie dodatniego zwrotu osi x nie ma wpływu na znak w pow. równaniu. Należy jednak pamiętać, że zmiana skrętności układu w,x powoduje zmianę znaku pierwszej pochodnej funkcji w(x).

Całkowanie równania ugiętej osi belki Dla belki z jednym przedziałem charakterystycznym wyznaczenie ugięcia osi belki i obrotu przekroju poprzecznego pręta (por. rys.), wymaga dwukrotnego scałkowania równania różniczkowego: Jednokrotne scałkowanie określa nachylenie stycznej do osi ugiętej belki (a więc obrót przekroju poprzecznego) w(x) x w Ponowne scałkowanie daje w wyniku ugięcia belki: Dla wyznaczenia dwu stałych całkowania konieczne jest określenie dwu warunków brzegowych.

Całkowanie równania ugiętej osi belki Dla wyznaczenia dwu stałych całkowania: C i D trzeba ustalić dwa warunki brzegowe wynikające z podparcia belki w sposób zapewniający jej geometryczną niezmienność w płaszczyźnie rysunku, np: w=0 A w=0 w’=0 B UWAGA: ponieważ nie uwzględniamy wpływu sil podłużnych na ugięcia, 3 przypadki w wierszu A i 3 przypadki w wierszu B są sobie równoważne (mimo, że niektóre belki są chwiejne lub statyczne niewyznaczalne!)

Całkowanie równania ugiętej osi belki W przypadku gdy równanie momentu nie da się zapisać w sposób analityczny jednym równaniem dla całej belki i musi być zapisywane w przedziałach charakterystycznych, dla każdego z tych przedziałów trzeba zapisać równanie różniczkowe ugięć (oznaczając ugięcia odpowiednim indeksem) i dokonać dwukrotnego całkowania w każdym przedziale. W rezultacie otrzymujemy 2n stałych całkowania (gdzie n oznacza liczbę przedziałów charakterystycznych) i trzeba ułożyć 2n-2 (2 warunki mamy z warunków podparcia belki) dodatkowych warunków „zszycia” na brzegach sąsiednich przedziałów charakterystycznych. W wyniku takiego postępowania otrzymujemy układ 2n algebraicznych równań liniowych dla wyznaczenia 2n stałych całkowania. Procedura ta jest uciążliwa i warta zastosowania tylko wtedy, gdy chcemy mieć równanie linii ugięcia dla całej belki (pozwala to na analityczne wyznaczenie maksymalnych ugięć i miejsca ich występowania.

Całkowanie równania ugiętej osi belki Ilustracja wykorzystania warunków brzegowych i warunków „zszycia” n 1 2 3 4 5 6 w1=w2 w2=w3 w3=w4 w4=w5 w5=w6 w6=0 w1=0 w’2=w’3 w’3=w’4 w’5=w’6 w’6=0 w’1=w’2 Całkowanie w przedziałach Zgodność pochodnych Zgodność przemieszczeń

UGIĘCIA ZGINANEJ BELKI METODA OBCIĄŻEŃ FIKCYJNYCH (MOHRA)

Statyka a ugięcia belek; podobieństwa formalne Zróżniczkujemy dwukrotnie związek wykorzystując związki M-Q-q Pierwsze zróżniczkowanie: Drugie zróżniczkowanie: Dwukrotne scałkowanie wyjściowego związku daje nam pozostałą pochodną w’ i samą wartość ugięć:

Statyka a ugięcia belek; podobieństwa formalne ? ? Równanie to ‘całkujemy’ wykorzystując definicje fizyczne wyznaczanych wielkości M(x) i Q(X) na podstawie znajomości q(x) i warunków podparcia (brzegowych). Czy nie można tej samej procedury zastosować i tutaj?

Statyka belki fikcyjnej a przemieszczenia belki rzeczywistej STATYKA Przestrzeń fikcyjna UGIĘCIA Przestrzeń rzeczywista J E Ś L I CF= CR , DF=DR T O wR(x)MF(x) , w’R  QF(x)

Dobór obciążenia i schematu belki fikcyjnej Podstawowym warunkiem wykorzystania analogii Mohra jest aby zmienna x w belce fikcyjnej miała taki sam zakres ważności jak w belce rzeczywistej (0 ≤ xR ≤ l, 0 ≤ xF ≤ l). Spełnienie warunku [1/m] oznacza, że jedynym obciążeniem belki fikcyjnej będzie obciążenie ciągłe o wymiarze [Nm/(Nm-2m4)]=[ m-1] rozłożone na belce tak jak przebieg wykresu momentów dla belki rzeczywistej. Wykresy momentów i sił poprzecznych od takiego obciążenia nie mogą więc zawierać nieciągłości (nie ma obciążenia w postaci skupionych momentów czy sił). Spełnienie warunków CF= CR , DF=DR polega na dobraniu podpór belki fikcyjnej tak, aby w charakterystycznych punktach były spełnione związki wR(x)MF(x) , w’R  QF(x) I tak, jeśli w jakimś punkcie belki rzeczywistej wR=0 , to na belce fikcyjnej musi być w tym punkcie MF=0. Podobnie jeśli w’R =0 to i QF =0 itd.

Dobór schematów belek fikcyjnych Przykład 1 Przykład 2 Schemat belki rzeczywistej Informacje o belce rzeczywistej Ugięcie wR Obrót w’R Informacje o belce fikcyjnej Moment MF Siła poprzeczna QF Schemat belki fikcyjnej

Dobór schematów belek fikcyjnych Przykład 3 Przykład 4 Schemat belki rzeczywistej Informacje o belce rzeczywistej Ugięcie wR Obrót w’R Informacje o belce fikcyjnej Moment MF Siła poprzeczna QF Schemat belki fikcyjnej

BELKA RZECZYWISTA BELKA FIKCYJNA Zamocowanie Przegub Podpora przegubowa Wolny koniec

Wykres momentów (z zastosowaniem SUPERPOZYCJI)

Wykres momentów dla belki fikcyjnej = wykres ugięć belki rzeczywistej Belka rzeczywista Wykres momentów dla belki rzeczywistej. Obciążenie belki fikcyjnej Korekta zwrotu obc. fikcyjnego Wykres momentów dla belki fikcyjnej = wykres ugięć belki rzeczywistej Statyka – ale obciążenie skomplikowane!!! Sposób niezwykle pracochłonny!!!

Zastosowanie metody Mohra dla wyznaczania ugięć i kątów obrotu przekroju w wybranych punktach EJ x wA= Pa3/3EJ w’A= Pa2/2EJ w B A a wB= Pa2/2EJ[l-a/3] w’B= Pa2/2EJ l Momenty od obc. fikcyjnego: Pa MAF=wA= Pa/EJ)(1/2)a(2a/3)= Pa3/3EJ MBF=wB= Pa/EJ)(1/2)a[l-a/3]= Pa2/2EJ[l-a/3] Pa/EJ 2a/3 a/3 Pa/EJ)(1/2)a Siły poprzeczne od obc. fikcyjnego: QAF=QBF=w’A=w’B= Pa/EJ)(1/2)a= Pa2/2EJ l-a/3 w Parabola 3-go stopnia Prosta

Zastosowanie metody Mohra dla wyznaczania ugięć i kątów obrotu przekroju w wybranych punktach a = l P EJ x B wB= Pl3/3EJ w’B= Pl2/2EJ w Moment od obc. fikcyjnego: Pl MBF=wB= Pl/EJ)(1/2)l[2l/3]= Pl3/3EJ Pl/EJ l/3 2l/3 Pl/EJ)(1/2)l Siły poprzeczne od obc. fikcyjnego: QAF=QBF=w’A=w’B= Pl/EJ)(1/2)l= Pl2/2EJ w Parabola 3-go stopnia

Wzory dla wyznaczania powierzchni i środkow ciężkości obciążeń ciągłych Parabola n-tego stopnia Powierzchnia: A= ab/(n+1) a Pozioma styczna Położenie środka ciężkości: c= b/(n+2) c b n A c 1 2 3 … ab ab/2 ab/3 ab/4 … b/2 b/3 b/4 b/5 …

Ugięcia belek o zmiennej sztywności Jeśli EJ zmienia się po długości belki tj. EJ(x), to równanie różniczkowe ugięć przyjmuje postać Punkt zmiany sztywności jest punktem charakterystycznym!

Przykład analizy ugięć belki o zmiennej sztywności > EJ2 x EJ l P K w x l wK= Pl3/3EJ Pl Pl Pl/EJ2 {Pl/EJ2} {1-J2/J1} Pl/EJ Pl/EJ1 Pa2/EJ2 {Pa2/EJ2} {1-J2/J1} {Pa2} {1-J2/J1} Pa2/EJ1 EJ2 LUB… a1 Pl/EJ2 EJ2 {P(l-a2)/a1} {1-J2/J1} wK= ? {Pl/EJ2} {1-J2/J1}