Analiza wariancji

Wprowadzenie Powiedzmy, że badamy pewną populację , w której cecha Y ma rozkład N o średniej m i odchyleniu standardowym  Powiedzmy dalej, że istnieje pewien czynnik A wpływający na wartości cechy Y w taki sposób, że może wystąpić zróżnicowanie populacji  na szereg podpopulacji i odpowiadających poszczególnym poziom czynnika A

Cecha Y jest Czynnik A nie różnicuje populacji  na podpopulacje m

Cecha Y jest Czynnik A różnicuje populacji  na podpopulacje i m m1 ma

Cecha Y jest Czynnik A różnicuje populację  na podpopulacje i m m1 ma

Problem: czy czynnik A różnicuje populację  ? a1 = m1 - m aa = ma - m m1 m2 m ma a2 = m2 - m

Problem: czy czynnik A różnicuje populację  ? (2) Ogólnie efekt wpływu i-tego poziomu czynnika A można zapisać jako różnicę między średnią generalną dla tej i-tej podpopulacji i a średnią generalną w populacji : ai = mi – m dla i=1, 2, ..., a

Problem: czy czynnik A różnicuje populację  ? (3) Jeżeli czynnik A nie różnicuje populacji na podpopulacje, to wszystkie jego efekty są zerowe, czyli: ai = mi – m = 0 dla każdego i, tym samym: mi = m Mówimy wtedy, że wpływ czynnika A na wartości cechy Y jest nieistotny statystycznie.

Problem: czy czynnik A różnicuje populację  ? (4) Jeżeli jednak warunek ai = 0 nie będzie spełniony dla każdego i = 1, 2, ..., a , to tym samym czynnik A różnicuje populację  na co najmniej 2 podpopulacje. Mówimy wtedy, że wpływ czynnika A na wartości cechy Y jest istotny statystycznie.

Czym jest analiza wariancji? Jest metodą statystyczną pozwalającą na podstawie wyników zaplanowanego eksperymentu zbadanie, czy czynnik A wpływa istotnie na wartości analizowanej cechy. Metodę analizy wariancji na potrzeby doświadczeń rolniczych wprowadził R. Fisher, a podstawowym testem stosowanym w tej metodzie jest test F Fishera-Snedecora

Podstawowe pojęcia (1) Czynnik badany, np. model samochodu, model automatu produkcyjnego, rodzaj reklamy, dodatek owoców do jogurtu itp. Poziom czynnika badanego, np. dla takiego czynnika jak model samochodu będzie to konkretny model (Lanos, Peugeot 306, Ford Mondeo itd.)

Podstawowe pojęcia (2) Czynnik badany może mieć charakter czynnika jakościowego, np. model samochodu, rodzaj reklamy. Czynnik badany może mieć także charakter czynnika ilościowego, np. ilość owoców dodawanych do jogurtu.

Podstawowe pojęcia (3) Eksperyment – specjalnie zaprojektowane działanie zmierzające do uzyskania prób losowych o zadanych liczebnościach z poszczególnych poziomów czynnika badanego. Wyniki uzyskane w takim eksperymencie możemy oznaczyć jako

Podstawowe pojęcia (4) Dowolny wynik uzyskany w takim eksperymencie można zapisać jako sumę trzech elementów: Wzór ten przedstawia tzw. model liniowy analizy wariancji

Podstawowe pojęcia (5) Model pozwala na rozdzielenie ogólnej sumy kwadratów odchyleń na dwa składniki: Analogicznie rozdzielamy liczby stopni swobody:

Podstawowe pojęcia (6) Jak wiemy iloraz sumy kwadratów odchyleń przez odpowiadającą mu liczbę stopni swobody jest średnim kwadratem odchyleń. ale z równości sum kwadratów i liczb stopni swobody nie wynika równość średnich kwadratów, czyli:

Hipoteza zerowa (1) Model liniowy analizy wariancji pozwala na weryfikację hipotezy zerowej o braku wpływu czynnika badanego na wartości analizowanej cechy.

Hipoteza zerowa (2) Przy prawdziwości hipotezy zerowej statystyka (funkcja wyników próby) postaci: Ma rozkład F z liczbami stopni swobody vA i vE

Wnioskowanie Jeżeli to hipotezę zerową o braku wpływu czynnika badanego odrzucamy. Powiemy, że czynnik badany jest istotny statystycznie. Jeżeli powyższy warunek nie jest spełniony, to nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Powiemy, że czynnik badany jest nieistotny statystycznie.

Obliczenia analizy wariancji Na podstawie danych eksperymentalnych budujemy tabelę analizy wariancji Zmienność st. sw. var F Czynnika vA varA Błędu vE varE Całkowita vT varT

Obliczenia analizy wariancji Dalsze wzory analizy wariancji:

Wnioskowanie w analizie wariancji Przy prawdziwości statystyka ma rozkład F-Fishera z liczbami stopni swobody vA i vE. Jeżeli więc , to H0 odrzucamy jako zbyt mało prawdopodobną. Merytorycznie formułujemy wniosek, że czynnik klasyfikacyjny istotnie wpływa na wartości badanej cechy. Oznacza to jednocześnie, że co najmniej jedna średnia grupowa (obiektowa) różni się od pozostałych.

Wnioskowanie w analizie wariancji (c.d.) W dalszej części zajmiemy się sposobami szczegółowego porównania średnich grupowych w takiej sytuacji. W sytuacji, gdy (lub krytyczny poziom istotności jest większy od przyjętego ) nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej i tym samym badanie statystyczne wpływu czynnika klasyfikacyjnego jest zakończone. Oznacza to, że ewentualne różnice między średnimi grupowymi (w próbie) mają tylko charakter losowy.

Porównania szczegółowe W przypadku odrzucenia hipotezy zerowej wiemy, że co najmniej jedna średnia grupowa różni się od pozostałych. Problemem pozostaje rozdzielenie średnich na tzw. grupy jednorodne. Pod pojęciem grupy jednorodnej będziemy rozumieć taki zestaw średnich w populacjach, w którym dla każdej pary średnich próbkowych zachodzi związek:

Porównania szczegółowe (c.d.) Najmniejsza istotna różnica może być skonstruowana z użyciem różnych statystyk (najczęściej): t-Studenta (LSD) t studentyzowanego rozstępu (NIR Tukey’a -HSD, Newmana-Keulsa) F (NIR Scheffego) Ogólnie NIR będziemy wyznaczać wg wzoru: gdzie jest wartością tablicową odpowiedniej statystyki, a Sr błędem różnicy średnich.

Porównania szczegółowe (c.d.) W sytuacji, gdy w próbie losowej w każdej podgrupie mamy taką samą liczbę obserwacji (powiedzmy równą n) błąd różnicy średnich wyznaczamy z wzoru: W tych przypadkach, gdy liczba obserwacji w podgrupach jest różna, można skorzystać z wzoru: gdzie

Przykład liczbowy W celu porównania oceny ogólnej 5 wybranych produktów spożywczych zaplanowano odpowiedni eksperyment, w wyniku którego uzyskano poniższe wyniki: P1 P2 P3 P4 P5 1 8 8 7 7 7 2 7 9 7 9 6 3 7 8 8 7 7 4 8 9 7 8 6 Dane powyższe zostaną opracowane zgodnie z modelem liniowym jednoczynnikowej analizy wariancji:

Przykład liczbowy (c.d.) Obliczamy odpowiednie sumy i średnie: P1 P2 P3 P4 P5 1 8 8 7 7 7 37 2 7 9 7 9 6 38 3 7 8 8 7 7 37 4 8 9 7 8 6 38 Sumy 30 34 29 31 26 150 średnie 7.50 8.50 7.25 7.75 6.50 7.50 Obliczamy dalej: Poprawka = 150*7.50 = 1125 SST = (82 + 72 + ... + 62) - P = 1140 - 1125 = 15 SSA = (30*7.50 + ... + 26*6.50) - P = 1133.50 - 1125 = 8.5

Przykład liczbowy (c.d.) Pozostałe obliczenia zestawiamy już w tabeli analizy wariancji. Zmienność St. sw. S.S M.S Femp. F0.05 Produkt 4 8.5 2.125 4.904* 3.06 Błąd 15 6.5 0.43 Całkowita 19 15 Wnioskowanie: Ponieważ hipotezę o braku zróżnicowania między produktami odrzucamy. Oznacza to jednocześnie, że istnieją co najmniej 2 grupy jednorodne.

Przykład liczbowy, szczegółowe porównania Obliczamy i dalej NIR Tukey’a Poniżej mamy uporządkowane średnie dla produktów i ich podział na grupy jednorodne. P2 8.50 a P4 7.75 0.75 ab P1 7.50 1.00 0.25 ab P3 7.25 1.25 0.50 ab P5 6.50 2.00 1.25 b