Metody analizy decyzji Wykład 13 – wybór grupowy

Dyscypliny naukowe a wybór grupowy Teoria gier kooperatywnych [cooperative game theory] Podział wartości gry pomiędzy graczy z możliwością zawierania koalicji Negocjacje [bargaining] W ramach podejścia interaktywnego bądź aksjomatycznego (propozycja podziału wartości pomiędzy strony negocjacji) Teoria dobrobytu [welfare economics] co jest dobre dla grupy? Teoria wyboru grupowego [social choice theory] / Teoria głosowania [voting theory] jakie reguły wyboru grupowego prowadzą do pożądanych wyników Zarządzanie jak wspierać proces wyboru grupowego/eksperckiego

Metody wyboru grupowego w życiu Głosowanie: większościowe z progiem (konklawe) większościowe z drugą turą (wybory prezydenckie w Polsce) większościowe z jedną turą (wybory prezydenckie w USA) większościowe w porównaniach parami większościowe z możliwością dokupienia głosów (Mam talent – publiczność)

Jak podejmować decyzje grupowe? Głosowanie w porównaniach parami Tabela pokazuje korzyści z poszczególnych wariantów Niestety – cykl (paradoks) Condorcet: możliwa manipulacja (dowolny wynik/brak wyniku) możliwe nieskończone głosowanie Polityka: 1/3 społeczeństwa A 1000 500 B C

Jak podejmować decyzje grupowe? Zawodniczki konkurują w programie Taniec z gwizdami 3 sędziów buduje własny ranking zawodniczek (nie można ex aequo) Następnie przydziela punkty od 4 do 1 (metoda Bordy) Sędzia 1 Sędzia 2 Sędzia 3 A.M I III N.U. II O.J. IV I.W.

Decyzje grupowe – zwyciężczyni pierwszej edycji Sędzia 1 Sędzia 2 Sędzia 3 A.M I III N.U. II O.J. IV I.W. Sędzia 1 Sędzia 2 Sędzia 3 Suma A.M 4 2 10 N.U. 3 9 O.J. 1 5 I.W. 6

Gwiazdy tańczą na głodzie – druga edycja Zachęcone miejscem na podium I.W., doszły jej 2 koleżanki: W.R. i G.W. Koleżanki są podobne – zajmują sąsiednie miejsca w rankingu u każdego sędziego Rozszerz poniższą tabelę Dokonaj wyboru Co ciekawego się stało? Czemu? Sędzia 1 Sędzia 2 Sędzia 3 Suma A.M 4 2 10 N.U. 3 9 O.J. 1 5 I.W. 6

Wpływ nowych wariantów na wybór Sędzia 1 Sędzia 2 Sędzia 3 Suma A.M 6 2 14 N.U. 4 5 15 O.J. 1 7 I.W. 3 W.R. 9 G.W. 12

Głosowanie strategiczne Sędzia 1 Sędzia 2 Sędzia 3 Suma A.M 6 2 14 N.U. 4 5 15 O.J. 1 7 I.W. 3 W.R. 9 G.W. 12 Sędzia 1 Sędzia 2 Sędzia 3 Suma A.W. 6 2 14 C.L. 4 5 3 15 13 E.M. 5 1 7 L.L. 3 B.S. 3 5 9 11 N.R. 12

Głosowanie większościowe (plurality rule) Wybieramy wariant, który uzyskał najwięcej głosów (w jedynej turze) Wybory prezydenckie w USA, 2000 (Floryda): George W. Bush: 2 912 790 (48,847%) Al Gore: 2 912 253 (48,838%) Ralph Nader: 97 421 (1,634%) Wyborcy Nadera głosowaliby: w 25% na Busha w 38% na Gore’a w 37% w ogóle by nie głosowali Co niepokojącego się dzieje? Jaka własność jest naruszona?

Porównanie Większościowe: Bush Większościowe z drugą turą: Gore Paradoks braku uczestnictwa Metoda Bordy: Gore 49 + 40 + 40 + 11 > 98 + 20 > 20 + 22 Metoda Condorcet (czy wygrywa parami): Gore

Podsumowanie dotychczasowych obserwacji Naturalne metody dokonania wyboru grupowego mają niepożądane własności: możliwość manipulacja wynikiem, brak koherencji money pump głosowanie strategiczne Czy istnieje dobra metoda wyboru? Co znaczy „dobra”?

Twierdzenie Arrowa o niemożliwości Dobra metoda głosowania: daje taki sam ranking dla dowolnych rankingów cząstkowych zachowuje zasadę Pareto (jednomyślność preferencji zachowana) ranking końcowy dwóch alternatyw nie zależy od pozostałych alternatyw Dobra wiadomość i zła wiadomość (dla >2 wariantów): istnieje! jest to dyktatura!

Twierdzenia Gibbarda-Satterthwaite’a (b. zbliżone do twierdzenia Arrowa) Jeśli metoda wyboru wariantu na podstawie rankingów cząstkowych: ma dawać każdemu wariantowi możliwość wygrania ma być odporna na głosowanie strategiczne, to … … jest to dyktatura

Kiedy się udaje w głosowaniu parami, czyli jak ustalić podatki zaspokojenie potrzeby warianty

Czemu u nas nie działało? zaspokojenie potrzeby A B C warianty

Inna dobra sytuacja dla głosowania parami Wyrazisty wariant – zawsze na 1. lub na ostatnim miejscu w rankingu jeśli A+B > 50%, to wygrywa „Czacha dymi” jeśli A+B < 50%, to decyduje A+C: jeśli A+C > 50%, to „American Beauty”, jeśli A+C < 50%, to „Powrót do przyszłości” Film: A% B% C% D% American Beauty 2 3 1 Powrót do przyszłości Czacha dymi

Wybór ekspercki Panel delficki prognozowanie i decydowanie rozwinięte w latach 1950-1960 przez RAND etapy (powtarzane cyklicznie): anonimowe opinie ekspertów podsumowania moderatora

Wybór ekspercki Wariant metody Data Envelopment Analysis (DEA) Kejs: Assurance Region Method Kejs: przeniesienie stolicy Japonii w 1992 wybór spomiędzy 9 alternatyw konieczność uzyskania konsensusu przy wyborze wielokryterialnym: odległość od Tokyo, ryzyko trzęsienia ziemi/wybuchu wulkanu, dostęp do międzynarodowego lotniska, dostępność gruntów, krajobraz, dostępność wody, …

Uproszczone dane Wariant Kryterium 1 Kryterium 2 Kryterium 3 Kryterium 4 Suma A 5 10 3 23 B 7 30 C 8 D 4 25 E 9 2 19 F 28 G 26 Kryteria oceniane w skali 0-10 (lepszą są wyższe wartości) Wartości ocen dane (jeden zestaw) – zmierzone obiektywnie Eksperci różnią się oceną ważności kryterium!

Ważność kryteriów Ekspert Kryterium 1 Kryterium 2 Kryterium 3 Kryterium 4 Suma I 1,67 3,33 10 II 2,11 3,16 1,58 III 2,5 1,88 3,75 IV 2 4 V 2,4 1,9 3,8 średnia 2,14 2,45 1,81 3,61 Uwzględnienie średnich wag nie bierze pod uwagę zróżnicowania ocen

Assurance region method Idea: każdy wariant może „dobrać” wagi kryteriów najkorzystniej dla siebie, ale w zakresie wskazanym przez ekspertów Oznaczenia: ui – waga kryterium i (u1, u2, u3, u4) u2/u1 jest dla kolejnych ekspertów jest równe: 2; 1,5; ¾; 1; 0,79 nakładamy ograniczenie ¾ ≤ u2/u1 ≤ 2

Względna ważności kryteriów Kryteria Dolne ograniczenie Górne ograniczenie u2/u1 0,75 2 u3/u1 0,74 1 u4/u1 1,5 u3/u2 0,5 u4/u2 u4/u3

Zadanie programowania liniowego Oznaczmy: 𝑥 𝑖,𝑗 – ocena wariantu i według kryterium j 𝑢 𝑗 – waga kryterium j 𝑘 – liczba kryteriów 𝑛 – liczba wariantów Wówczas dla wariantu 1. rozwiązujemy zadanie: f. celu: 𝑢 1 𝑥 1,1 + 𝑢 2 𝑥 1,2 +…+ 𝑢 𝑘 𝑥 1,𝑘 →𝑚𝑎𝑥 zm. dec.: 𝑢 1 ,…, 𝑢 𝑘 przy warunkach: 𝑢 1 𝑥 1,1 + 𝑢 2 𝑥 1,2 +…+ 𝑢 𝑘 𝑥 1,𝑘 ≤1 … 𝑢 1 𝑥 𝑛,1 + 𝑢 2 𝑥 𝑛,2 +…+ 𝑢 𝑘 𝑥 𝑛,𝑘 ≤1 𝑢 𝑖 ≥0 𝑢 𝑖 𝑢 𝑗 zawiera się w dopuszczalnym przedziale

Rozwiązania ZPL Wariant Waga 1 Waga 2 Waga 3 Waga 4 Efektywność Ranking A 0,02 0,04 0,76 6 B 0,03 0,028 0,022 0,045 1 C 0,031 0,024 0,047 0,89 2 D 0,025 0,05 0,875 3 E 0,567 7 F 0,81 5 G 0,85 4 Uwaga – w powyższej tabeli wagi i miary efektywności są wynikiem różnych zadań programowania liniowego! Tutaj otrzymaliśmy ten sam wynik, co dla średnich wag. Dla innych wartości ocen może wskazać kilka wariantów jako efektywnych

Zalety Assurance Region Method Dla wariantów dobór optymalnych dla siebie wag Dla ekspertów wagi względne kryteriów uwzględnione w analizie – powiększają dopuszczalny obszar wag Dla wariantów nieoptymalnych wskazuje skalę braków

Problemy sprawiedliwego podziału (fair division) Problemy podziału ciastka (3 osoby) Pierwszy sposób Adaś dzieli ciastko na 2 części Bodziu wybiera część Adaś i Bodziu dzielą swoje połowy na 3 części Czesio wybiera jedną część od Adasia i jedną od Bodzia Drugi sposób (Banach, Knaster) Adaś wycina część Bodziu ma prawo (ale nie obiowiązek) zmniejszyć tą część Czesio ma prawo (nie obowiązek) zmniejszyć tą część Ten kto ostatnio zmniejszył musi wziąć

Jak podzielić spadek? Knaster Ojciec zostawia w spadku 4 niepodzielne rzeczy dla swoich 3 synów do podziału po równo Obiekty A, B, C i D mają następującą wartość dla synów Załóżmy, że wartość monetarna dla każdego syna i dla jakiegokolwiek podzbioru obiektów to po prostu suma wartości poszczególnych obiektów Obiekty \ Synowie 1 2 3 A 10000 4000 7000 B 2000 1000 C 500 1500 D 800

Wartość monet. obiektów Procedura Obiekty \ Synowie 1 2 3 A 10000 4000 7000 B 2000 1000 C 500 1500 D 800 Łącznie 13300 8500 14000 Sprawiedliwy udział 4425 2833.33 4666.67 Otrzymane obiekty B i C Wartość monet. obiektów 6000 Nadwyżka +5575 -833.33 +1333.33 Końcowy podział A - 3550 D + 2858.33 B,C + 691.67 Łączna nadwyżka = 6908.33 Spłacamy deficyt 2 syna zostaje 6075 Dzielimy na 3 = 2025

Uogólnienia Prcoedurę można uogólnić na nierówne udziały Np. 0.5 dla 1, 0.375 dla 2 oraz 0.125 dla 3 Wówczas sprawiedliwe udziały to 0.5*13300, 0.375*8500 oraz 0.125*14000 Następnie analiza jest kontynuowana podobnie Niestety procedura ma w sobie bodźce do fałszywego podawania wartości oraz do wchodzenia w koalicje Np. załóżmy, że 1 zna wyceny 2 i 3 Wówczas opłaca mu się wycenić A na 7001, B na 3999, C na 1999 oraz D na 1999. Wtedy jego sprawiedliwy udział to 4999, posiadanie A prowadzi do nadwyżki tylko 2002. Zatem końcowy przydział to A – 1135 zamiast A – 3550 Jeśli 1 nie zna wycen pozostałych, to fałszywe podanie wycen jest niebezpieczne Jednak wówczas wejście w koalicję i wspólne fałszywe podanie wycen jest mniej niebezpieczne

Obejście problemu – Dziel i zdobywaj Niech każdy z synów doda do garnuszka 10000 Wówczas do podziału jest (A, B, C, D, 30000) I teraz zastosuj algorytm Banacha, Knastera do podziału ciastka Kolejność dzielenia ustalamy w sposób losowy Od tego, ile wiemy o wycenach innych zależy nasza korzyść bądź niekorzyść bycia pierwszym

Dziękuję!