Biomechanika przepływów WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ

WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ Czym jest odkształcenie ? Jedną z metod podejścia jest traktowanie odkształcenia jako „odwzorowanie” pierwotnego stanu ciała na stan ciała odkształconego. W Mechanice Ośrodków Ciągłych (MOC) konfiguracja ciała stałego opisana jest przez ciągły model matematyczny, którego punkty geometryczne identyfikuje się z położeniami cząstek materialnych danego ciała. Gdy takie ciało zmienia swą konfigurację wskutek pewnych oddziaływań fizycznych, zakładamy, że zmiana ta jest ciągła; znaczy to iż punkty będące sąsiadami przed odkształceniem pozostają sąsiadami i po odkształceniu. Pęknięcia które prowadzą do powstawania nowych powierzchni granicznych muszą być traktowane oddzielnie i wymagają oddzielnego opisu !!!!

WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ Niech układ współrzędnych a1, a2, a3 będzie tak wybrany, że punkt P w danej chwili czasu jest określony za pomocą współrzędnych ai . W następnym momencie ciało odkształca się. Czyli przechodzi do nowej konfiguracji. Punkt P przechodzi do punktu Q ze współrzędnymi xi. względem nowego układu współrzędnych (a1,a2,a3) (x1,x2,x3) (w ogólności mogą być to układy krzywoliniowe) Założymy że , zmiana konfiguracji ciała jest ciągła oraz odwzorowanie punktu P na Q jest zależnością jednoznaczną. Prawo transformacji: (3.1)

WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ Jeśli P, P`, i P`` są punktami sąsiednimi tworzącymi trójkąt w konfiguracji pierwotnej i jeśli w wyniku odkształcenia przechodzą one w punkty Q, Q`, Q``, to zmiana powierzchni i kątów omawianego trójkąta jest całkowicie określona jeśli znamy zmiany długości boków trójkąta. Odkształcenia ciała mają fizyczny związek z naprężeniami. Opis zmian odległości między dwoma dowolnymi punktami ciała jest kluczem do analizy odkształceń !!!! Rozważmy nieskończenie mały element liniowy łączący punkt P(a1,a2,a3) z punktem P`(a1 + da1, a2 + da2, a3 + da3 ). Kwadrat długości ds0 odcinaka PP` w konfiguracji pierwotnej jest dany przez zależność Pitagorasa ( przestrzeń jest Euklidesowa) lub w notacji tensorowej gdzie aij obliczone dla punktu P jest euklidesowym tensorem metrycznym dla układu współrzędnych ai

WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ Przypomnienie : ANALIZA TENSOROWA Oznaczenia i umowa sumacyjna W rachunku tensorowym szeroko stosuje się oznaczenia wskaźnikowe. Zbiór n zmiennych x1, x2,…,xn oznacza się zwykle xi, i=1,…,n. Równanie płaszczyzny w przestrzeni 3-wymiarowej x1,x2,x3 ma postać (ai, i p to stałe): Można to zapisać krócej: Jeszcze krótszy jest zapis przy użyciu tzw. konwencji sumacyjnej

WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ Konwencja ta brzmi : Powtórzenie jakiegokolwiek wskaźnika ( niezależnie czy jest to wskaźnik dolny czy górny) w pewnym wyrażeniu oznacza sumowanie względem tego wskaźnika w całym jego zakresie. Wskaźnik względem którego odbywa się sumowanie nosi nazwę wskaźnika niemego. Wskaźnik względem którego nie ma sumowania, nosi nazwę wskaźnika wolnego. Koniec Przypomnienia : ANALIZA TENSOROWA Gdy punkty P i P` po odkształceniu przechodzą w punkty Q(x1,x2,x3) i Q`(x1 + dx1, x2 + dx2, x3 + dx3) kwadrat długości ds n owego elementu QQ` wynosi: albo gdzie gij obliczone dla punktu Q jest euklidesowym tensorem metrycznym dla układu współrzędnych xi korzystając z równań (3.1) odpowiednie przyrosty możemy wyznaczyć z:

WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ Czyli kwadraty długości odpowiednio wyniosą: Różnica między kwadratami długości elementów może być zapisana, po kilku zmianach wskaźników niemych jako: albo:

WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ Określmy teraz tensor odkształcenia: tak, że (3.2) (3.3)

WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ Tensor odkształcenia (strain tensor) Eij został wprowadzony przez Greena i Sain-Venanta i nosi nazwę tensora odkształcenia Greena. Tensor odkształcenia (strain tensor) eij został wprowadzony przez Cauchy`ego dla nieskończenie małych odkształceń oraz przez Almansiego i Hamela dla odkształceń skończonych i znany jest jako tensor odkształceń Almansiego. Przez analogię do terminologii stosowanej w hydrodynamice Eij jest często nazywany tensorem odkształcenia we współrzędnych Lagrangea, podczas gdy eij nazywany jest tensorem odkształcenia we współrzędnych Eulera. Tensory Eij i eij są tensorami symetrycznymi to jest:

WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ Z równań (3.2) i (3.3) wynika fundamentalne stwierdzenia że, koniecznym i dostatecznym warunkiem na to by odkształcenie ciała było ruchem sztywnym ( to znaczy by składało się z translacji i obrotu bez zmian odległości między poszczególnymi cząstkami) jest, by wszystkie składowe tensora odkształcenia Eij lub eij były równe zeru w całym obszarze ciała W powyższym opisie wykorzystywaliśmy dwa układy współrzędnych ai i xi Istnieją dwa szczególnie korzystne sposoby wyboru współrzędnych: Używamy jednego i tego samego układu prostokątnych współrzędnych kartezjańskich zarówno dla pierwotnej konfiguracji jak też dla konfiguracji ciała odkształconego. w tym przypadku tensor metryczny jest nadzwyczaj prosty:

WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ II. Zniekształcamy układ odniesienia w konfiguracji ciała odkształconego w taki sposób aby współrzędne x1, x2, x3 danej cząsteczki miały te same wartości liczbowe jak w konfiguracji pierwotnej tj. a1, a2, a3. W tym przypadku: i równania (3.2) i (3.3) redukują się do postaci: Wszystkie informacje o odkształceniu są zawarte w zmianie tensora metrycznego przy przejściu od układu odniesienia dla konfiguracji pierwotnej do zniekształconego układu odniesienia dla konfiguracji końcowej. Tak wybrane współrzędne noszą nazwę współrzędnych unoszenia lub współrzędnych wewnętrznych.

WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ Znaczenie poszczególnych składowych tensora odkształcenia. ( wybór I) Tensor odkształcenia w prostokątnych współrzędnych kartezjańskich Jeśli korzystamy z tego samego kartezjańskiego prostoliniowego i ortogonalnego układu współrzędnych do opisu zarówno konfiguracji pierwotnej jak też końcowej to: Wprowadźmy wektor przemieszczenia u ze składowymi: a3, x3 (a1, a2, a3) (x1, x2, x3) a2, x2 wówczas: a1, x1

WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ oraz tensory odkształcenia redukują się do prostej postaci:

WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ Podstawmy oznaczenia nieskrócone ( x, y, z zamiast x1, x2, x3 oraz u, v, w zamiast u1, u2, u3) Jeśli składowe przemieszczenia ui są takie, iż ich pierwsze pochodne są na tyle małe, że kwadraty i iloczyny pochodnych cząstkowych ui można zaniedbać wówczas eij redukuje się do tensora nieskończenie małego odkształcenia Cauchy`ego W przypadku przemieszczeń nieskończenie małych znika różnica między tensorami odkształcenia Lagrange`a i Eulera

WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ Geometryczna interpretacja składowych nieskończenie małego odkształcenia Niech x, y, z będą współrzędnymi prostokątnego układu współrzędnych. Rozważmy element dx Zmiana kwadratu długości tego elementu wskutek odkształcenia wynosi rów. (3.2): W tym szczególnym ds = dx a ds0 różni się od ds tylko o nieskończenie małą wielkość drugiego rzędu. Stąd: i przedstawia to wydłużenie względne

WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ Rozważmy nieskończenie mały element o bokach dx i dy. przedstawia zmianę konta xOy będącego pierwotnie katem prostym suma W praktyce inżynierskiej podwójne składowe odkształcenia eij noszą nazwę odkształceń postaciowych

WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ Przypadek 3 nosi nazwę odkształcenia czysto postaciowego Wielkość nosi nazwę elementarnego obrotu elementu dxdy. Nazwa tak ajest sugerowana przez przypadek 4 bo jeśli: to i ωz jest istotnie katem obrotu elementu prostokątnego jako ciała sztywnego.

WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ Jeśli tensor odkształcenia znika w punkcie P, można dowieść, że dla pola nieskończenie małych odkształceń nieskończenie mały obrót otoczenia punktu P jako ciała sztywnego przedstawia wektor ωi Weźmy punkt P` z otoczenia punktu P. Niech współrzędne punku P i P` będą odpowiednio xi i xi + dxi. Przemieszczenie P` względem P wynosi: (vorticity tensor) tensor obrotu