Modele wielorównaniowe - symulacja opracował: Grzegorz Szafrański

Co to są prognozy systemowe? Są to prognozy na podstawie modeli wielorównaniowych. Każde równanie opisuje pewien mechanizm gospodarczy (model przyczynowy) lub tylko dynamikę powiązanych zmiennych (modele statystyczne). Prognozy systemowe to rozwiązania tych modeli. Modele przyczynowe (opisowe) bazują na wiedzy a priori. Są to modele tradycyjnej szkoły ekonometrii. Cechuje je wyraźny podział na zmienne endogeniczne i egzogeniczne, stałość parametrów, dokładne dopasowywanie do danych empirycznych, stacjonarna dynamika). Modele statystyczne bazują na długich szeregach statystycznych i małej ilości założeń ekonomicznych. Są to modele dynamiczne typu ADL, modele o zmiennych skointegrowanych, czy modele wektorowej autoregresji tzw. VAR.

Dlaczego stosujemy prognozy systemowe? Prognoza kompetentnego eksperta jest na ogół bardziej dokładna od najlepszego modelu. Metody strukturalne i systemowe: dostarczają zbilansowanych (zgodnych ekonomicznie) prognoz, umożliwiają formułowanie i zmianę jawnych założeń, są testowalne i weryfikowalne, jasno precyzują przesłanki prognozy. Inne korzyści z posiadania modelu – zobacz Dodatek A2 do Gajda(2004)

Modele wielorównaniowe – zapis Dokonujemy denormalizacji każdego z liniowych równań modelu: wszystkie zmienne przenosimy na prawą stronę, po lewej zostają tylko zakłócenia , wyróżniamy w oddzielnych macierzach zmienne endogeniczne Y i egzogeniczne X.

Model Kleina I Składa się z równań behawioralnych konsumpcji (cons), inwestycji netto (invest) i płac w sektorze prywatnym (wp), oraz z tożsamości produkcji (prod), zysku (profit) i akumulacji kapitału (cas). Zmienne egzogeniczne w tym modelu to płace w sektorze państwowym (wg), wydatki rządowe bez płac (gexp), podatki łącznie z eksportem netto (tax), oraz trend (t).

Model Kleina I

Zapis macierzowy Przenosimy zmienne endogeniczne, oraz zmienne z góry ustalone (w tym endogeniczne opóźnione i egzogeniczne) na prawą stronę i grupujemy je w macierze Y, Y(t-1), i X. Ustalamy skład macierzy A, A-1 i B uwzględniając wszelkie ekonomiczne restrykcje, w tym restrykcje stochastyczne.

Rodzaje modeli Ze względu na postać, do jakiej możemy sprowadzić (zmieniając kolejność kolumn) macierz A wyróżniamy: modele proste, jeśli A jest diagonalna modele rekurencyjne, jeśli A można sprowadzić do macierzy trójkątnej modele łącznie współzależne, w pozostałych przypadkach. Można również zbudować graf powiązań między zmiennymi endogenicznymi, a na nim szukać związków między zmiennymi endogenicznymi (brak związków – przypadek 1), oraz sprzężeń zwrotnych między nimi (występowanie – przypadek 3).

Estymacja i rozwiązanie modeli Modele proste i rekurencyjne na ogół nie wymagają specjalnych sposobów ich estymacji i rozwiązania. Estymujemy je MNK, a prognozy budujemy przez podstawianie zmiennych równanie po równaniu (ewentualnie zgodnie z zachowaniem kolejności podstawiania zmiennych objaśnianych do kolejnego równania w modelach rekurencyjnych). Modele łącznie współzależne wymagają (formalnie) specjalnych metod estymacji tzw. metod systemowych (np. PMNK, 2MNK, MZI, 3MNK, odmiany MNW), gdyż metody równaniowe są na ogół obciążone i niezgodne. W praktyce „duże” modele szacowane są równanie po równaniu, gdyż większą wagę przykłada się do ich struktury deterministycznej niż stochastycznej. Również rozwiązanie tych modeli nie jest sprawą banalną (poza tym nie istnieje, jeśli model nie jest kompletny por. A.Welfe, 1995, s.206).

Modele statyczne i dynamiczne Modele statyczne możemy zapisać w postaci macierzowego równania (czyli układu równań): W modelach dynamicznych musimy jeszcze uwzględnić opóźnienia dla zmiennych endogenicznych Yt-p opóźnionych o p okresów. Przyjmiemy dalej, że p=1, bo każdy model można sprowadzić do modelu z p=1 przez podstawianie:

Rozwiązanie analityczne Modele statyczne możemy łatwo rozwiązać mnożąc przez A-1: W modelach dynamicznych otrzymujemy następującą postać zredukowaną modelu: W modelach dynamicznych tzw. postać końcową otrzymujemy przez podstawianie:

Problemy estymacji modelu Równania postaci zredukowanej możemy oszacować MNK, gdyż wśród zmiennych objaśniających nie występują zmienne losowe (za wyjątkiem opóźnionych zmiennych objaśnianych). Jeżeli składniki losowe nie będą skorelowane dla różnych równań i różnych okresów, to następująca metoda (pośrednia - PMNK) może okazać się wystarczająco efektywna: Oszacuj MNK parametry modelu postaci zredukowanej i na ich podstawie oblicz parametry modelu postaci strukturalnej.

Problem identyfikowalności Z uwagi na ograniczenia ekonomiczne macierze postaci strukturalnej A, A-1 i B są macierzami „rzadkimi”. Powstaje w związku z tym kwestia jednak kwestia, czy ilość tych ograniczeń (głównie zer) nie uniemożliwia wyznaczenia ocen ich elementów na podstawie układu równań : Układ ten może mieć dla każdego z równań dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele lub nie mieć rozwiązania.

Warunki identyfikowalności Warunkiem koniecznym identyfikowalności równania modelu jest, aby liczba zmiennych z góry ustalonych (łącznie z wyrazem wolnym) nie występujących w równaniu była większa (równanie przeidentyfikowane) lub równa (jednoznacznie identyfikowane) liczbie zmiennych endogenicznych występujących w równaniu po prawej stronie. Warunki wystarczające identyfikowalności związane są z rzędem podmacierzy A-1 A zatem zmienne z góry ustalone nie występujące w danym równaniu stają się w tym równaniu tzw. instrumentami w postaci zredukowanej (więc nie może ich być za mało).

Podwójna metoda najmniejszych kwadratów (2MNK) W sytuacji gdy układ wyznacza nieskończenie wiele rozwiązań (równanie nadmiernie identyfikowalne) PMNK nie może zostać zastosowana. Proponuje się wtedy stosować dwustopniową metodę najmniejszych kwadratów (2MNK): Oszacuj MNK parametry modelu postaci zredukowanej i wstaw uzyskane wartości teoretyczne zmiennych endogenicznych do tych równań strukturalnych, w których występują one po prawej stronie (jako zmienne objaśniające), a następnie oszacuj każde równanie strukturalne z osobna:

Mnożniki modelu Poszczególne elementy macierzy D2 są mnożnikami bezpośrednimi modelu, mierzą natychmiastową reakcję każdej ze zmiennych endogenicznych na zmianę każdej ze zmiennych egzogenicznych. W modelach dynamicznych wyróżniamy też miary reakcji y na zmianę x po upływie czasu: mnożniki pośrednie i ich sumy czyli mnożniki skumulowane i całkowite (długookresowe):

Syndrom dużego modelu Realistyczne i stosowane w praktyce modele ekonometryczne charakteryzuje na ogół tzw. „syndrom dużego modelu” Na czym on polega? por. Gajda (1992, s. 24-25): nieliniowość modelu (względem zmiennych, rzadziej względem parametrów) rozbudowana dynamika modelu (modele z pamięcią), mało zmiennych egzogenicznych w porównaniu do ilości zmiennych endogenicznych, silne współzależności między zmiennymi endogenicznymi (dużo sprzężeń zwrotnych)

Rozwiązanie analityczne trudne lub niemożliwe Nie zawsze opisane metody rozwiązania modelu są przydatne w praktyce, gdyż nie zawsze potrafimy rozwiązać model analitycznie: bo zmienne endogeniczne są silnie powiązane bo ma dużo zmiennych endogenicznych bo model jest nieliniowy względem zmiennych, parametrów lub/i zakłóceń, bo ma dynamikę, którą trudno sprowa-dzić do dynamiki 1. rzędu opóźnienia występuje syndrom dużego modelu:

Rozwiązanie numeryczne Porządkujemy znormalizowany układ równań (najpierw blok prerekurencyjny, współzależny i postrekurencyjny), w symulacji deterministycznej przyjmujemy, zakłócenia na poziomie „0”. określamy wartości zmiennych X we wszystkich okresach i zmiennych z góry ustalonych w okresie „0”, przyjmujemy startowe wartości dla bieżących Y

Rozwiązanie statyczne Należy pamiętać, że żadna metoda numeryczna nie pozwoli nam uzyskać takich y*, które są dokładnymi rozwiązaniami układu równań, a więc takich że:

Rozwiązanie dynamiczne Ani tym bardziej takich, w których przyjmiemy zamiast wartości zmiennych opóźnionych ich rozwiązania systemowe z poprzedniego okresu:

Symulacja metodą Gaussa Dla danego okresu t (zaczynając od t=1) rozpoczynamy iterację (k+1) kolejno wstawiając po prawej stronie poszczególnych równań odpowiednie zmienne z góry ustalone (na okres t) i wyznaczając zmienne endogeniczne w aktualnej iteracji. Za każdym razem za zmienne endogeniczne po prawej stronie wstawiamy ostatnie ich przybliżenia (z iteracji k). Po przejściu wszystkich równań wracamy do pierwszego i proces wielokrotnie powtarzamy.

Symulacja metodą Gaussa-Seidela Postępujemy tak samo jak poprzednio, ale za każdym razem za zmienne endogeniczne po prawej stronie wstawiamy najbardziej aktualne ich przybliżenia (z iteracji k lub k+1). Po przejściu wszystkich równań wracamy do pierwszego i proces powtarzamy. Tak metoda jest o wiele wydajniejsza.

Zakończenie symulacji Tak metoda jest o wiele wydajniejsza. To znaczy szybciej dostaniemy wystarczająco dobre przybliżenia prawdziwych rozwiązań. Należy przyjąć kryteria zatrzymania iteracji dla wszystkich zmiennych (niekoniecznie te same): kryterium liczby iteracji, kryterium zmian absolutnych lub zmian względnych dla kolejnych przybliżeń.

Problemy zakończenia symulacji Nie zawsze symulacja przynosi oczekiwane rezultaty tj. nie zawsze uzyskujemy zbieżność w kolejnych iteracjach. Warunek konieczny i dostateczny związany jest z promieniem spektralnym (por. Milo 2002, s. 169) Zazwyczaj pomóc może inne uporządkowanie równań modelu, zmiana wartości startowych, zmiana normalizacji równań, lub wprowadzenie współczynnika relaksacji, czy też zastosowanie innej metody (np. metody Newtona-Raphsona). Szczególnie modele nieliniowe mogą sprawić wiele kłopotów, bo mogą dawać tzw. rozwiązania wielokrotne, a więc różne rozwiązania lokalne. Zwykle niektóre z nich nie posiadają sensownej interpretacji ekonomicznej, więc je od razu odrzucamy.

Wyznaczenie mnożników bezpośrednich (statycznych) Dla nas najważniejsze, że symulacja pozwala w łatwy sposób wyznaczyć mnożniki modelu względem dowolnego z xk poprzez jego zaburzenie o jednostkową wartość xk.

Wyznaczenie mnożników pośrednich (dynamicznych) A także obserwowanie wpływ tej zmiany po dowolnej liczbie okresów r, co pozwala poznać dynamiczną reakcję modelu czyli wyznaczyć mnożniki pośrednie oraz ich sumy mnożniki skumulowane i całkowite.

Systemowe rozwiązanie kontrolne Rozwiązania dla zaburzonych równań (poprzez impulsową lub podtrzymaną zmianę wartości zmiennych egzogenicznych) powinny być porównywane do rozwiązania nie zaburzonego czyli do rozwiązania kontrolnego (tzw. bazowego), a w okresie prognozy do prognozy zamrożonej. Rozwiązanie bazowe z kolei można porównać do prawdziwych wartości empirycznych i do rozwiązań równaniowych (tj. dla każdego z równań osobno). Pozwala to poznać własności modelu i ocenić precyzję jego dopasowania. Rozwiązania systemowe (statyczne czy dynamiczne) są zawsze gorsze od rozwiązań równaniowych. Co więcej błędy w pojedynczych równaniach na ogół akumulują się w całym systemie równań. Dlatego ważne jest, aby poszczególne równania były bardzo precyzyjnie dopasowane – niekiedy kosztem ich treści ekonomicznej używamy zmiennych sztucznych i techniki constant adjustment.

Scenariusze Symulacja pozwala również prowadzić złożone analizy scenariuszowe typu „co by było gdyby”, w których zmieniamy więcej niż jedną zmienną egzo- w większej ilości okresów, a przede wszystkim w okresie prognozy i obserwujemy zmiany zmiennych endogenicznych.