Liniowy Model Tendencji Rozwojowej Szeregów Czasowych Autor: Grzegorz Przydatek

Definicja szeregu czasowego Szereg czasowy lub inaczej chronologiczny jest zbiorem wartości badanej cechy lub wartości określonego zjawiska zaobserwowanym w różnych momentach (przedziałach) czasu.

Przykładowy szereg czasowy Miesiące Lata I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII 1991 13,6 12,3 9,8 9,5 9,3 9,4 9,9 10,9 12,7 12,9 13,5 13,0 11,5 9,1 8,7 8,9 10,7 12,8 12,2 13,4 13,2 12,0 9,7 9,0 9,6 11,0 12,5 13,3 12,1 11,2 9,2 10,6 11,3 14,0 1992 1993 1994

Definicja modeli tendencji rozwojowej Modele tendencji rozwojowej są bardziej zaawansowaną metodą analizy szeregów czasowych; Służą do prognozowania przyszłych wartości w szeregu czasowym; Wyjaśniają kształtowanie się badanego zjawiska w czasie; Są w istocie modelami regresji, w których występuje zmienna czasowa t.

Modele tendencji rozwojowej Łatwo można zbudować model tendencji rozwojowej na podstawie szeregu czasowego {Yt; t=1,2,...,n}, gdy elementy Yt nie zawierają wahań okresowych Przy założeniu, że wahania przypadkowe nakładają się na trend zjawiska w sposób addytywny, model wyjaśniający wartości zmiennej Yt formułuje się następująco: Yt=H(t)+εt (t=1,2,...,n)

Objaśnienia do wzoru We wzorze na poprzednim slajdzie H(t)=E(Yt) jest tzw. funkcją trendu I rodzaju opisującą tendencję rozwojową badanego zjawiska, natomiast εt jest zmienną losową reprezentującą wahania przypadkowe.

Modele tendencji rozwojowej Jeżeli funkcja trendu I rodzaju jest liniowa, a składniki losowe modelu mają także właściwości jak w klasycznym modelu regresji liniowej, to odpowiedni model (bez wahań okresowych) ma postać: ( ) = a + b + e = Y t t 1 , 2 , K , n , t t E e = , t ( ) D 2 e = s 2 , t ( ) e e = e e = ¹ cov , E dla s t s t s t

Modele tendencji rozwojowej Jeżeli w szeregu czasowym (Yt) występują wahania okresowe, to model musi zawierać wtedy parametry i zmienne charakteryzujące te wahania w poszczególnych podokresach cyklu.

Modele tendencji rozwojowej Zakładając, że funkcja trendu jest liniowa a wahania okresowe (kwartalne) nakładają się na tendencję rozwojową w sposób addytywny, odpowiedni model można sformułować następująco: = a + b + g + g + g + g + e Y t X X X X t 1 t 1 2 t 2 3 t 3 4 t 4 t ( ) = t 1 , 2 , K , n PRZEJŚCIE DO SLAJDU 11

Objaśnienia do wzoru ì 1 = X í î POWRÓT DO WZORU Objaśnienia do wzoru Xti (i=1,...,4) są zmiennymi zero-jedynkowymi reprezentującymi poszczególne podokresy cyklu: ì 1 dla obserwacji dotyczących i-tego kwartału = X í ti î dla obserwacji dotyczących pozostałych kwartałów Parametry γi (i=1,...,4) stojące przy zmiennych zero-jedynkowych charakteryzują absolutną wielkość wahań okresowych w poszczególnych okresach

Modele tendencji rozwojowej Założenia dotyczące składników losowych εt są takie, jak w modelu nie uwzględniającym wahań okresowych, czyli: ) , 2 ( n t = 1 K = t + e b a Y t E e = , t ( ) D 2 e = s 2 , t ) ( , e t s = cov s E t e = ¹ dla s t

Modele tendencji rozwojowej Jeśli dodatkowo przyjmiemy założenie: ( ) e s : N , t to otrzymamy model tendencji rozwojowej równoważny klasycznemu modelowi normalnej regresji linowej.

DZIĘKUJE ZA UWAGE