„Są plusy dodatnie i plusy ujemne.” Lech Wałęsa

Działania na liczbach wymiernych. Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie liczb to podstawowe umiejętności bez których nie da się poznać głębiej matematyki. Rachunki na liczbach oparte są na kilku prostych zasadach, które poznaje się już w szkole podstawowej. W tej lekcji przypomnimy te zasady i pokażemy jak je stosować w działaniach na liczbach wymiernych – czyli wszystkich dodatnich i ujemnych, które da się dokładnie zmierzyć i zaznaczyć na osi liczbowej.

DEFINICJA LICZBY WYMIERNEJ. Liczby wymierne to takie, które można przedstawić w postaci ilorazu liczb całkowitych, innymi słowy są to liczby, które można przedstawić w postaci ułamka zwykłego: gdzie m i n są liczbami całkowitymi i n ≠ 0. PRZYKŁADY LICZB WYMIERNYCH:

KOLEJNOŚĆ WYKONYWANIA DZIAŁAŃ. Działania na liczbach wykonujemy w następującej kolejności: Działania w nawiasach (zaczynamy od „najmniejszych” czyli (…) ). Potęgowanie i pierwiastkowanie. Mnożenie i dzielenie. Dodawanie i odejmowanie. W podpunkcie 3 i 4 działania wykonujemy według kolejności występowania od lewej do prawej. PRZYKŁAD: 2 + 2 · 2 = 2 + 4 = 6 najpierw mnożenie, potem dodawanie

DODAWANIE I ODEJMOWANIE LICZB WYMIERNYCH DODATNICH. Dodając lub odejmując ułamki zwykłe należy sprowadzić je do wspólnego mianownika. Wspólny mianownik powinien być najmniejszą wspólną wielokrotnością mianowników dodawanych ułamków (najmniejszą liczbą podzielną przez wszystkie mianowniki dodawanych ułamków). Dodając liczby mieszane możemy osobno dodawać całości i osobno ułamki. Przy odejmowaniu liczb mieszanych, gdy odejmowany ułamek jest większy niż ten od którego odejmujemy, możemy „pożyczyć” 1 z całości.

PRZYKŁADY. Wspólny mianownik: 12. Pierwszy ułamek rozszerzamy przez 3, a drugi przez 4. Wspólny mianownik: 14. Osobno dodajemy całości i osobno ułamki. Wspólny mianownik: 6. „Pożyczamy” 1 z 3 i dodajemy do ułamka. 1 zapisane w postaci ułamka o mianowniku 24 to

„EKSPRESOWY” SPOSÓB NA WSPÓLNY MIANOWNIK. Poniższe przykłady pokazują uniwersalny sposób na znalezienie wspólnego mianownika. Wystarczy „górę” i „dół” pierwszego ułamka pomnożyć przez „dół” drugiego i na odwrót.

DODAWANIE I ODEJMOWANIE LICZB WYMIERNYCH DODATNICH. Przy dodawaniu i odejmowaniu ułamków dziesiętnych możemy działania wykonywać pisemnie pamiętając o podpisywaniu ułamków „przecinek pod przecinkiem”. Kiedy w jednym wyrażeniu występują liczby zapisane w postaci ułamków zwykłych i dziesiętnych przed obliczeniem zapisujemy je w jednej postaci (ułamków zwykłych lub dziesiętnych).

PRZYKŁADY. 346,23 + 21,487 = 357,717 Obliczenia wykonujemy pisemnie pamiętając o zasadzie „przecinek pod przecinkiem”.

MNOŻENIE I DZIELENIE LICZB WYMIERNYCH DODATNICH. Mnożąc ułamki zwykłe mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik („góra” razy „góra”, „dół” razy „dół”). Zanim pomnożymy lub podzielimy ułamki zapisane w postaci liczb mieszanych, należy zapisać je jako ułamki niewłaściwe. Skracać ułamki można tylko przy mnożeniu. Dzielenie ułamków zwykłych zamieniamy na mnożenie przez odwrotność.

PRZYKŁADY. Licznik razy licznik, mianownik razy mianownik. Liczby mieszane zamieniamy na ułamki niewłaściwe. Przy mnożeniu możemy skracać ułamki po przekątnej. Dzielenie zamieniamy na mnożenie przez odwrotność.

MNOŻENIE I DZIELENIE LICZB WYMIERNYCH DODATNICH. Ułamki dziesiętne możemy mnożyć pisemnie, pamiętając, że w wyniku należy odciąć tyle miejsc po przecinku ile miały wszystkie czynniki. Dzieląc ułamki dziesiętne pamiętajmy, żeby doprowadzić je do takiej postaci, aby dzielnik nie był ułamkiem. Gdy w wyrażeniu występują ułamki dziesiętne i zwykłe, zapisujemy wszystkie w jednej postaci i dopiero wykonujemy działania.

PRZYKŁADY. 2,25 ∙ 1,2 = 2,7 1,26 : 0,003 = Aby dzielnik był liczbą całkowitą i dzielną i dzielnik pomnóżmy przez 1000: 1260 : 3 = 420

PRZYKŁADY. 5,17 : 4,7 Aby dzielnik był liczbą całkowitą i dzielną i dzielnik pomnóżmy przez 10: 51,7 : 47

DODAWANIE I ODEJMOWANIE LICZB WYMIERNYCH. Dla przypomnienia kilka prostych przykładów działań na liczbach całkowitych dodatnich i ujemnych: 2 + (-3) = -(3–2)= -1 -3 + 5 = 2 -4 + (-7) = -11 -5 – (-12) = -5 + 12 = 7 (-2) · 4 = -8 (-3) · (-7) = 21 (-15) : (-3) = 5 Dodając liczby o przeciwnych znakach zakrywamy znaki następnie od większej odejmujemy mniejszą i zapisujemy znak, który stał przy większej. Suma liczb ujemnych jest liczbą ujemną. Odejmowanie zastępujemy dodawaniem liczby przeciwnej do odjemnika. Mnożenie lub dzielenie liczb o przeciwnych znakach daje liczbę ujemną. Mnożenie lub dzielenie liczb o jednakowych znakach daje liczbę dodatnią.

DODAWANIE I ODEJMOWANIE LICZB WYMIERNYCH. Dodając lub odejmując liczby wymierne należy postępować według następujących zasad: Aby dodać dwie liczby o różnych znakach należy: od większej liczby odjąć mniejszą (działając tak, jakby obie były dodatnie) zapisać znak stojący przy większej liczbie Suma dwóch liczb ujemnych jest liczbą ujemną. Odejmowanie liczb można zamienić na dodawanie liczby przeciwnej do odjemnika.

PRZYKŁADY. Dodając lub odejmując liczby wymierne należy postępować według następujących zasad: Suma liczb ujemnych jest liczbą ujemną. Dodając liczby o przeciwnych znakach od większej odejmujemy mniejszą (po zakryciu znaków) i zapisujemy znak, który stał przy większej.

PRZYKŁADY. Odejmowanie liczb można zamienić na dodawanie liczby przeciwnej do odjemnika.

MNOŻENIE I DZIELENIE LICZB WYMIERNYCH. W przypadku mnożenia i dzielenia liczb wymiernych określanie znaku jest bardzo proste: Iloczyn/iloraz dwóch liczb o tych samych znakach jest liczbą dodatnią. „-” · „-” → „+” „+” · „+” → „+” „-” : „-” → „+” „+” : „+” → „+” Iloczyn/iloraz dwóch liczb o przeciwnych znakach jest liczbą ujemną „-” ·„+” →„-” „+” · „-” →„-” „-” : „+” →„-” „+” : „-” →„-”

PRZYKŁADY. 2,5 : (-0,25) = -(250 : 25) = -10 „+” · „-” →„-” „-” · „-” → „+” „-” : „-” → „+” 2,5 : (-0,25) = -(250 : 25) = -10 „+” : „-” →„-”