Wykład Rozwinięcie potencjału znanego rozkładu ładunków na szereg momentów multipolowych w układzie sferycznym Rozwinięcia tego można dokonać stosując funkcje kuliste Y lm (,  ), które są funkcjami własnymi operatora kwadratu krętu orbitalnego i stanowią układ zupełny i ortogonalny funkcji kątów i . Okazuje się, że (5.28)

r < to mniejszy wektor z pary. r > to większy wektor z pary. Dla otrzymujemy: (5.29) W układzie sferycznym momentem multipolowym układu ładunków nazywamy wyrażenie: (5.30)

l=0monopolowyq0q0 l=1dipolowyq1q1 l=2kwadrupolowyq2q2 l=3oktupolowyq3q3 l=4hexadekapolowyq4q4 Poniższa tabelka informuje nas o nazwach najniższego Rzędu momentów Ogólnie można powiedzieć, że momenty multipolowe informują nas o rozkładzie ładunków i odstępstwach tego rozkładu od symetrii sferycznej. Przykłady momentów najniższych rzędów dla kilku konfiguracji ładunków są podane na następnej stronie

q 1 = 0 L L L L L L L H _ _ _ q 0 = Q q 1 = 0 q 2 = 0 q 0 = Q q 2 = L 2 Q q 0 = 0 q 2 = 0 q 0 = 0 q 2 = 2LHQ q 1 = 2QL q 1 = LQ Q

q 2 = 0, q 3 = 0 q 2 > 0, q 3 = 0 q 2 < 0, q 3 = 0 q 2  0, q 3  0 a b

5.9 Dipol w polu elektrycznym Rozważmy jednorodne pole elektryczne i umieśćmy w nim dipol pod dowolnym kątem. + -  Wartość siły wypadkowej jest równa 0, ale para sił powoduje pojawienie się momentu obrotowego M. (5.31)

Dipol ustawia się równolegle do kierunku pola elektrycznego E. Wartość liczbowa tego momentu wynosi M = PE sin . Obrót dipola odpowiada wykonaniu pracy Znak minus oznacza, że to dipol wykonuje pracę (dla małych  ). Energia potencjalna V zmienia się więc o dV = -dW Otrzymujemy więc: Stałą C wyznaczamy z faktu, że dla  = 90 0, V=0.

(5.32) Umieśćmy teraz dipol w polu niejednorodnym. + -  Siły w tym przypadku już się nie równoważą, czyli poza pojawieniem się momentu obrotowego istnieje również wypadkowa siła x y Załóżmy, że po pewnym czasie dipol ustawił się w kierunku osi x.

Policzmy zmianę natężenia pola w miejscu, w którym znajduje się ładunek dodatni w stosunku do pozycji ładunku ujemnego. Czyli (Szereg Taylora) Wypadkowa siła w kierunku x będzie wynosiła:

Siła zależy więc bardzo mocno od orientacji dipola w polu. Jeśli dipol pod wpływem pola obróci się tak, że, to dipol zostanie przesunięty w kierunku rosnącego natężenia pola z siłą równą, (5.33) Czyli zgodnie z poprzednim rysunkiem w lewo. Składowa wektora siły w kierunku x wyrazi się następująco:

+- Przedstawia to poniższy rysunek. Tego rodzaje dipole indukują się w ciałach stałych, głównie dielektrykach.

6Energia potencjalna dowolnego układu ładunków 6.1 Energia układu ładunków punktowych Rozważmy układ trzech ładunków punktowych w dowolnej konfiguracji. q1q1 q2q2 q3q3 r 12 r 13 r 23 Obliczmy pracę potrzebną do przesunięcia z nieskończoności trzech ładunków swobodnych do dowolnego położenia takiego np. jak na rysunku obok.

Na początku w miejscu do którego ściągamy pierwszy ładunek nie ma pola elektrycznego. Praca potrzebna do ściągnięcia pierwszego ładunku jest więc zerowa. Inaczej jest z pozostałymi ładunkami. Drugi ładunek musi przezwyciężyć pole wytworzone przez pierwszy ładunek, a trzeci pole dwóch pierwszych. Korzystając ze wzoru (5.12) możemy policzyć pracę potrzebną do ściągnięcia trzech ładunków. (6.1) r ij w powyższym wzorze oznacza wzajemne odległości pomiędzy ładunkami. Wyrażenie (6.1) możemy przekształcić w następujący sposób:

(6.2) W nawiasach okrągłych znajdują się wyrażenia na potencjał wytworzony przez odpowiednie dwa ładunki w miejscu w którym znajduje się trzeci ładunek. Możemy więc wzór ten zapisać prosto następująco;

(6.3) Wynik ten można uogólnić dla N ładunków. Otrzymamy wtedy: (6.3a) Wróćmy z powrotem do naszego układu ładunków i spróbujmy napisać energię tego układu w oparciu o ich położenie w układzie współrzędnych.

q1q1 q2q2 q3q3 r 12 r 13 r 23 Widzimy z rysunku, że Wtedy dla układu N ładunków I oddziaływania każdego z każdym przy zachowaniu braku oddziaływania z polem wytworzonym przez samego siebie otrzymamy na energię tego układu ładunków wyrażenie:

(6.4) Korzystając z definicji potencjału otrzymujemy: (6.5) Dla dowolnego ciągłego rozkładu ładunku (6.6)

Jeśli do poprzedniego wzoru wprowadzimy wyrażenie na potencjał, to otrzymamy: (6.7) Jeśli w równaniu (6.6) wyrazimy gęstość ładunku z równania Poissona (5.14) to (6.8) Korzystając z następujących tożsamości:

Możemy równanie (6.8) przedstawić w postaci sumy dwóch całek W oparciu o twierdzenie Gaussa (r. (5.6) ) możemy drugą całkę napisać jako:

Ponieważ w lewej całce możemy zwiększać  do nieskończoności, należy się zapytać jak będzie się zachowywała całka po prawej stronie, która jest całką po powierzchni, gdy. V  1/r,  V  1/r 2, a dA  r 2 Widzimy więc, że druga całka  1/r, czyli całka ta dąży do zera gdy r dąży do nieskończoności. Otrzymujemy więc na energię rozkładu ładunków wzór (6.9) Całka rozszerza się po całej objętości w której występuje pole elektryczne.

Korzystając z zależności pomiędzy potencjałem a natężeniem pola elektrycznego otrzymujemy na energię pola wyrażenie: (6.10) Gęstość energii pola elektrycznego definiujemy jako: