Wykład 6 Dr Aneta Polewko-Klim https://play.google.com

Obliczenia numeryczne. Wykonując obliczenia numeryczne zakładamy: operujemy na liczbach, dopuszczając możliwość występowania niedokładności w ich reprezentacji, podczas obliczeń mogą występować pewne niedokładności.

Miejsca zerowe i minima funkcji.

Opcje Wszystkie te funkcje można wywołać z opcjonalnym parametrem opcje, np.: x1 = fzero(‘cos(x) - 0.2’, 3, opcje) Opcje określają parametry wywołania tych funkcji. Ustawienia tych parametrów można zmienić poprzez funkcję optimset. opcje = optimset(parametr, wartość, ... ) Argumenty funkcji optimset to pary parametr – wartość, Parametr jest łańcuchem znakowym.

Funkcja optimset - lista parametrów i ich możliwych wartości (kilka):

Wywołanie z nazwą funkcji (wyświetla parametry dla konkretnej funkcji)

Przykłady parametrów funkcji optimset:

Miejsca zerowe Przykład: >> fzero('cos(2*x)-.2',8) ans = 8.7401 >> cos(2*ans)-.2 2.8866e-015

>> op=optimset('Diagnostics','on',... 'Display','Iter'); Looking for a zero in the interval [7.0949, 8.9051] 12 7.91238 -1.19319 interpolation 13 8.70207 -0.0749546 interpolation 14 8.74193 0.00367162 interpolation 15 8.74007 2.49516e-005 interpolation 16 8.74006 -1.30267e-009 interpolation 17 8.74006 2.88658e-015 interpolation 18 8.74006 -4.05231e-015 interpolation Zero found in the interval: [7.0949, 8.9051]. ans = 8.7401 >> fzero('cos(2*x)-.2',8,op) Func-count x f(x) Procedure 1 8 -1.15766 initial 2 7.77373 -1.18715 search 3 8.22627 -0.935369 search 4 7.68 -1.14007 search 5 8.32 -0.7962 search 6 7.54745 -1.01789 search 7 8.45255 -0.565028 search 8 7.36 -0.750391 search 9 8.64 -0.19876 search 10 7.0949 -0.252615 search 11 8.9051 0.30677 search

Minimum – funkcja 1 zmiennej Przykład >> funkcja=inline('sin(2*x)+cos(x)/2'); >>fplot(funkcja,[-2*pi, 2*pi]) >> x1=fminbnd(funkcja,-2,4) x1 = 2.4375 >> funkcja(x1) ans = -1.3679

Minimum – funkcja 2 zmiennej Do znalezienia minimum musimy Podać postać tej funkcji lub funkcję inline oraz punkt startowy. Jak widać na rysunku funkcja ta ma dwa minima. W zależności od tego jaki punkt startowy podamy, znajdziemy albo pierwsze albo drugie. Przykład >> fun=inline('-exp(-(x(1)-2).^2-x(2).^2)-exp(-(x(1)+2).^2-x(2).^2)'); >> x0=fminsearch(fun,[2 2]) x0 = 2.0000 -0.0000 >> fx0=fun(x0) fx0 = -1.0000

Pierwiastki wielomianów. Ogólna postać wielomianu: W(x) = a1xn + a2xn-1 + ... + anx + an+1 współczynniki wielomianu a1, a2, ... są uszeregowane według malejących potęg zmiennej x.

Przykład: W(x) = x2 + 3x – 4 >> roots([1 3 -4]) ans = -4 1 >> poly(ans) 1 3 -4 W(x) = 3x5 – 2x4 + 4x3 – 6x + 1 >> roots([3 -2 4 0 -6 1]) 0.2084 + 1.4463i 0.2084 - 1.4463i -0.9198 1.0000 0.1697

Układy równań liniowych Zapis macierzowy, każdy układ równań możemy przedstawić: A*X = B lub X*A = B Matlab dysponuje dwoma operatorami dzielenia, które odpowiednio rozwiązują przypadki: A*X = B mamy X = A\B – musi być równa liczba wierszy A i B X*A = B mamy X = B/A – musi być równa liczba kolumn A i B W technice częściej spotyka się pierwszy z tych przypadków. Macierz A w ogólnym przypadku może mieć w wierszy i k kolumn. Istnieją więc trzy możliwości: w = k – macierz kwadratowa, jeśli jest nieosobliwa X można wyznaczyć dokładnie; w > k – układ jest nadokreślony; w < k – układ jest nieoznaczony (rozwiązanie zawiera najwyżej w niezerowych elementów;

Układ kwadratowy. Przykład 2 -3 -4 -1 2 1 3 -2 -1 >> B=[-5 -1 5]' B = -5 -1 5 >> X=A\B X = 2.0000 -1.0000 3.0000 Mamy układ trzech równań z trzema niewiadomymi. Musimy zdefiniować macierze A i B, a następnie obliczyć wynik.

Układ nieoznaczony cz.1 Przykład >> A=[6 8 7 3;3 5 4 1] A = 6 8 7 3 3 5 4 1 >> B=[1 2]' B = 1 2 >> X=A\B X = 0.7143 -1.5714 Liczba równań jest mniejsza od liczby niewiadomych

Układ nieoznaczony cz.2 Ogólne rozwiązanie takiego układu otrzymamy dodając do otrzymanego rozwiązania iloczyn macierzy Z będącej jądrem macierzy A i dowolnego wektora q. Jądro: Z = null(A) A*Z = 0 Przykład cd. >> Z=null(A) Z = -0.4253 -0.6519 -0.3981 0.3942 0.8126 -0.1607 0.0163 0.6276 >> q=[2 17]' q = 2 17 >> X1=X+Z*q X1 = -11.9324 6.6186 -1.1066 9.1306

>> A=[1 -1 2; 1 -2 -1; 3 -1 5; -2 2 3] Układ nadokreślony. Gdy chcemy otrzymać n współczynników funkcji opisującej przebieg jakiegoś zjawiska. Dokonujemy wtedy np. dużo więcej niż n pomiarów i na ich podstawie szukamy wyniku. Przykład >> A=[1 -1 2; 1 -2 -1; 3 -1 5; -2 2 3] A = 1 -1 2 1 -2 -1 3 -1 5 -2 2 3 >> B=[1 2 3 -4]' B = 1 2 3 -4 >> X=A\B X = 1.4286 -0.1429 -0.2857

Interpolacja. Zagadnienie dotyczy przechodzenia funkcji przez zadane punkty, tzw. węzły interpolacji. Standardowe procedury Matlaba realizują interpolację za pomocą wielomianów pierwszego i trzeciego stopnia, oraz funkcjami sklejanymi trzeciego stopnia. Funkcje interpolacyjne:

Metody interpolacji ‘nearest’— interpolacja najbliższy sąsiad ‘linear’ – interpolacja liniowa; ‘cubic’ – interpolacja wielomianem trzeciego stopnia; ‘spline’ – interpolacja funkcjami sklejanymi trzeciego stopnia;

Przykład: x=0:.4:2; y=exp(-.5*x).*cos(5*x); xi=0:.05:2; y1=interp1(x,y,xi,'nearest'); y2=interp1(x,y,xi,'linear'); y3=interp1(x,y,xi,'cubic'); y4=interp1(x,y,xi,'spline'); plot(x,y,'*',xi,exp(-.5*xi).*cos(5*xi),... xi,y1,':',xi,y2,':',xi,y3,':',xi,y4,':') legend('wezly','funkcja','nearest',… 'linear','cubic','spline')

Aproksymacja. Zagadnienie aproksymacji polega na znalezieniu pewnej funkcji, której wykres z pewnym przybliżeniem przechodzi w pobliżu pewnych punktów. Sama funkcja minimalizuje wartość pewnego kryterium dopasowania, np. aproksymacja średniokwadratowa, czyli minimalizujemy błąd średniokwadratowy. Standardową metodą aproksymacji w Matlabie jest aproksymacja wielomianem: polyfit(x,y,n) polecenie to znajduje wektor współczynników wielomianu aproksymującego dane zawarte w wektorach x i y. Wartość wielomianu możemy obliczyć funkcją polyval.

Aproksymacja. Przykład 1: x=1:8; a=polyfit(x,y,1) xx=1:.01:8; yy=polyval(a,xx); plot(x,y,'o,xx,yy) Otrzymaliśmy funkcję y=0.5121x+0.9304

Przykład 2: x=0:.4:2*pi; y1=sin(x); blad=rand(1,length(x))/10; y=y1+blad;   a1=polyfit(x,y,2) a2=polyfit(x,y,3) xx=0:.01:2*pi; yy1=polyval(a1,xx); yy2=polyval(a2,xx); plot(x,y,'o',xx,sin(xx),':',xx,yy1,xx,yy2) Dla wielomianu drugiego stopnia mamy: y = – 0.0323x2 – 0.0982x + 0.7252 Dla wielomianu trzeciego stopnia mamy: y = 0.0921x3 – 0.8611 x2 + 1.8274x – 0.0793

Pochodna funkcji Do znajdowania pochodnej możemy posłużyć się funkcją: diff Zwraca ona wektor różnic sąsiednich elementów wektora będącego jej argumentem. Czyli pochodna funkcji danej w postaci tablicy (np. pomiary), obliczymy jako: diff(y)./diff(x). Należy przy tym pamiętać, że liczba elementów wektora zwracanego przez funkcję diff, jest o jeden mniejsza, niż liczba elementów argumentu.

Pochodna funkcji Przykład x=72:.5:90; 6225 5875 5449 4950 4376 3789 3202 2614 2082 1639 1290 1000 ... 758 581 470 394 328 284 241 191 146 103 52 0];   yprim=diff(y)./diff(x); subplot(2,1,1),plot(x,y,'+'),grid on ylabel('Dane') subplot(2,1,2),plot(x, [yprim 0],'o'),grid on ylabel('Pochodna')

Pochodna wielomianu Jeśli mamy dany wielomian, do obliczenia wartości pochodnej możemy użyć funkcji: polyder Zwraca ona współczynniki wielomianu pochodnego. Wywołanie: a_prim = polyder(a) [L_prim, M_prim] = polyder(L,M)

Pochodna wielomianu a=[-1 3 5 -2]; x=0:.05:3; y=polyval(a,x);   a1=polyder(a); y1=polyval(a1,x); subplot(2,1,1); plot(x,y) grid on ylabel('Dane') subplot(2,1,2) plot(x,y1) ylabel('Pochodna')

Pochodna wielomianu - funkcja wymierna Dodatkowo należy musimy zdefiniować licznik i mianownik: Przykład: L=[1 -3]; M=[1 5 -2 1]; x=-3:.05:3; y=polyval(L,x)./polyval(M,x);   [L1,M1]=polyder(L,M); y1=polyval(L1,x)./polyval(M1,x); subplot(2,1,1),plot(x,y),grid on ylabel('Dane') subplot(2,1,2),plot(x,y1),grid on ylabel('Pochodna')

Całkowanie – całki oznaczone. Funkcja Opis Q=quad(f,a,b) Q=quad(f,a,b,tol) Q=quad(f,a,b,tol,tr) oblicza wyrażenie za pomocą prostej kwadratury Simpsona Q=quad8(f,a,b,tol,tr) oblicza wyrażenie za pomocą złożonej kwadratury Newtona rzędu 8; daje lepsze wyniki niż poprzednia Parametry: f – łańcuch znaków określający nazwę funkcji; a, b – przedział całkowania; tol – tolerancja błędu (domyślnie 10-3); tr – jeśli jest różny od 0, rysowany jest wykres obrazujący postęp w obliczeniach lub wypisywane kolejne iteracje.

Całkowanie Przykład: >> quad('sin(x)',1,10)  ans = 1.3794 >> quad8('sin(x)',1,10) Gdy dodamy kolejne parametry: >> quad('sin(x)',1,10,1e-3,1) 5 1.0000000000 9.00000000e+000 2.1980581837 7 1.0000000000 4.50000000e+000 -0.1666251940 9 1.0000000000 2.25000000e+000 1.5343093586 11 1.0000000000 1.12500000e+000 1.0665674753 13 2.1250000000 1.12500000e+000 0.4678628302 15 3.2500000000 2.25000000e+000 -1.7026633720 17 3.2500000000 1.12500000e+000 -0.6631045444 19 4.3750000000 1.12500000e+000 -1.0396930457 21 5.5000000000 4.50000000e+000 1.5317252037 23 5.5000000000 2.25000000e+000 0.6048270787 25 7.7500000000 2.25000000e+000 0.9427905376  ans = 1.3793

Całkowanie Przykład: W przypadku funkcji quad8 otrzymamy wykres: >> quad8('sin(x)',1,10,1e-3,1) ans = 1.3794

Równania różniczkowe Równania różniczkowe możemy podzielić na 3 grupy: - równania różniczkowe zwyczajne gdzie szukamy rozwiązania równania różniczkowego dla zadanego warunku początkowego; - równania różniczkowe zwyczajne gdzie szukamy rozwiązania równania dla zadanych warunków granicznych; - równania różniczkowe cząstkowe

Równania różniczkowe I rzędu W rozwiązaniach wielu problemów fizycznych, ekonomicznych wymagana jest znajomość funkcji y=y(t) przy znajomości funkcji y'=f(t, y) oraz warunków początkowych y(a)=y0, gdzie: a oraz y0 są liczbami rzeczywistymi f funkcją w postaci jawnej. W takim przypadku mamy do czynienia z równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu

Przykład: Szukamy rozwiązania numerycznych y = y(t) dla wartości t = 0, .25, .5, .75, 1 dla równania różniczkowego y' = -2ty2, przy warunku początkowym y(0) = 1. dy = @(t,y)(-2*t.*y(1).^2); tspan = [0 .25 .5 .75 1]; y0 = 1; [t1 y1] = ode23('eq1', tspan, y0); [t2 y2] = ode45('eq1', tspan, y0); [t1 y1 y2] % porównanie wyników