LISREL Witold Miszczak Wrocław

LISREL Podstawy analizy przyczynowości 1.Model i oryginał. Modele powinny odzwierciedlać naszą wiedzę o badanym zjawisku, której potwierdzeniem ma być analiza danych empirycznych otrzymanych z badanej populacji Modele powinny odzwierciedlać naszą wiedzę o badanym zjawisku, której potwierdzeniem ma być analiza danych empirycznych otrzymanych z badanej populacji.

LISREL Podstawy analizy przyczynowości 2.Podejście konfirmatywne. Budowę modelu poprzedza analiza otrzymanych danych i wiedzy na temat badanego problemu. Wyniki analizy wiedzy służą za podstawę budowy zbioru hipotez statystycznych stanowiących bardziej lub mniej istotne ograniczenia dla rozważanych modeli. Sformułowanie wszystkich dostępnych naszej wiedzy hipotez upoważnia do estymacji parametrów wybranego modelu. Po wyestymowaniu modelu analizuje się jego zgodność ze sformułowanymi wcześniej hipotezami.

LISREL Podstawy analizy przyczynowości 3.Podejście eksploratywne. Budowa modeli najlepiej dopasowanych do danych.

LISREL Podstawy analizy przyczynowości Przykład 1. Hipoteza: „Poprawa zdrowotności mieszkańców spowodowana jest aktywnym wypoczynkiem w czasie wolnym od pracy.” Oznaczmy „Aktywność” przez  „Zdrowotność” przez . „Zdrowotność” przez .

LISREL Podstawy analizy przyczynowości Zmienne ukryte (latentne). Są to zmienne, które nie są bezpośrednio obserwowalne, o których znaczeniu dowiadujemy się za pośrednictwem innych zmiennych bezpośrednio obserwowalnych. Zmienne ukryte w modelach takich jak powyższy będziemy nazywali konstruktorami hipotetycznymi. Wyrażają one pewną abstrakcyjną treść, z której nie można rozstrzygnąć bezpośrednio czy opisany stan rzeczy zachodzi w rzeczywistości. Najważniejszym zadaniem jest ustalenie wzajemnego wpływu badanych zmiennych ukrytych.

LISREL Podstawy analizy przyczynowości Układ modelu: 1.Model struktury Jest to opis związków między konstruktorami hipotetycznymi ustalony na podstawie rozważań teoretycznych. 2.Modele pomiarowe Rola ich polega na dostarczeniu możliwie najlepszego opisu zmiennych ukrytych za pomocą wskaźników. Wskaźniki należy rozumieć jako bezpośrednio obserwowalne zachowania, które z założenia wykazują pewien pośredni związek ze zjawiskami w inny sposób nie obserwowanymi.

LISREL Podstawy analizy przyczynowości Rozszerzymy model struktury o proste modele pomiarowe. Zakładamy: ukryta zmienna endogeniczna „Zdrowotność” rejestrowana jest za pośrednictwem dwu wskaźników:ukryta zmienna endogeniczna „Zdrowotność” rejestrowana jest za pośrednictwem dwu wskaźników: Y 1 : „Długość życia” Y 1 : „Długość życia” Y 2 : „Liczba dni w roku niezdolności do pracy z powodu choroby”; ukryta zmienna egzogeniczna „Aktywność” również rejestrowana jest za pośrednictwem dwu wskaźników:ukryta zmienna egzogeniczna „Aktywność” również rejestrowana jest za pośrednictwem dwu wskaźników: X 1 : „Ilość czasu w tygodniu poświecona na amatorskie uprawianie sportu” X 2 : „Liczba godzin w ciągu doby spędzonych przed telewizorem”

LISREL Podstawy analizy przyczynowości Pełny model LISREL Model pomiarowy ukrytych zmiennych endogenicznych  1    X 1 X 2 Y 1 Model pomiarowy ukrytych zmiennych egzogenicznych Model struktury  2  1  2 Y 2

LISREL Podstawy analizy przyczynowości Podstawowe pojęcia analizy przyczynowości. Zmienna X w modelu przyczynowym tylko wtedy jest bezpośrednią przyczyną Y ( ), gdy zmiana Y wywoływana jest przez zmianę w X, podczas gdy pozostałe zmienne, które nie są związane przyczynowo z Y pozostają niezmienne (Blalock 1985). 2: Zmienna Y jest przyczyną takiej a nie innej wartości zmiennej X: 1: Zmienna X jest przyczyną zmian w zmiennej Y:

LISREL Podstawy analizy przyczynowości Podstawowe pojęcia analizy przyczynowości. 3: Związek między zmiennymi X i Y jest częściowo uwarunkowany przez wpływ pewnej egzogenicznej wielkości Z, która stoi za tymi zmiennymi (rys z lewej) 4: Związek między zmiennymi X i Y wynika jedynie z pewnej egzogenicznej wielkości Z, która stoi za tymi zmiennymi (rys. po prawej). 4: Związek między zmiennymi X i Y wynika jedynie z pewnej egzogenicznej wielkości Z, która stoi za tymi zmiennymi (rys. po prawej).

LISREL Weryfikacja zależności przyczynowych Całą werbalnie sformułowaną wiedzę w postaci układu hipotez można przedstawić w formie grafu. Zalety: Graficzne przedstawienie hipotez w postaci ciągu zależności ułatwia zrozumienie modelu.Graficzne przedstawienie hipotez w postaci ciągu zależności ułatwia zrozumienie modelu. Łatwiej wyprowadzić potrzebne równania opisujące związki między zmiennymi w modelu.Łatwiej wyprowadzić potrzebne równania opisujące związki między zmiennymi w modelu. Łatwiejsze jest wprowadzanie nowych zmiennych i ustalenie ich wzajemnych związków z wcześniej wprowadzonymi zmiennymi.Łatwiejsze jest wprowadzanie nowych zmiennych i ustalenie ich wzajemnych związków z wcześniej wprowadzonymi zmiennymi. Ułatwione jest odkrycie brakujących relacji między zmiennymi w kompleksowym układzie hipotez.Ułatwione jest odkrycie brakujących relacji między zmiennymi w kompleksowym układzie hipotez.

LISREL Weryfikacja zależności przyczynowych Równania otrzymane z formalizacji grafu nazywamy równaniami struktury. Jeżeli formalizacja wymaga użycia do opisu wielu równań mówimy o systemie wielorównaniowym. Empiryczne współczynniki równania liniowego oznacza się a ij, gdzie pierwszy element indeksu wskazuje na zmienną objaśnianą, a drugi na zmienną objaśniającą. W przypadku współczynników wyestymowanych na podstawie zestandaryzowanych danych używa się symbolu p ij. Nazywane są one (standaryzowanymi) współczynnikami grafu. Dla zmiennych centrowanych mówi się o niestandaryzowanych współczynnikach grafu lub „regresji ścieżkowej” („path regressions”).

LISREL Weryfikacja zależności przyczynowych Zwykle naszą niewiedzę o rzeczywistości, jak też wyniki błędów pomiarowych, lokuje się w zmiennej resztkowej lub zmiennej błędu e, która łączy w jedną wielkość możliwe błędy pomiaru i efekty zmiennych drugorzędnych (tzn. takich, które nie zostały przez nas zidentyfikowane).

LISREL Weryfikacja zależności przyczynowych Równania powyższe dla obserwacji zapisujemy następująco: U 2 = p 21 U 1 + p 22 e 2 U 3 = p 31 U 1 + p 32 U 2 + p 33 e 3

LISREL Weryfikacja zależności przyczynowych Każde z równań należy pomnożyć skalarnie przez wektor odpowiadający każdej zmiennej determinującej. X 1 jest bezpośrednio determinującą zmienną dla X 3, gdy zachodzi: Mówimy o pośrednio determinującej zmiennej X 1, gdy X 1 np. przez X 2 wpływa na X 3 :

LISREL Weryfikacja zależności przyczynowych W wyniku otrzymamy z dwóch równań struktury trzy nowe: Dodatkowe założenie: Zmienne resztkowe e i są nieskorelowane ze zmiennymi U j, przy czym i oraz j przyjmują dowolne wartości.

LISREL Weryfikacja zależności przyczynowych Powyższe równania, można wyprowadzić ze wzoru Wrighta (1934) postaci Rozwiązaniem tego układu jest:

LISREL Weryfikacja zależności przyczynowych Między U 3 i U 1 występuje bezpośredni efekt przyczynowy o wartości p 31. Zmienna U 1 wywiera pośredni efekt przyczynowy na U 3 poprzez U 2. Siła pośredniego efektu jest równa iloczynowi odpowiednich współczynników grafu ( wystarczy obliczyć różnicę r 31 – p 31, gdyż na r 31 składa się suma efektów przyczynowych pośrednich i bezpośrednich ). W związku z tym pośredni efekt przyczynowy z U 1 na U 3 jest równy

LISREL Weryfikacja zależności przyczynowych Bezpośredni efekt przyczynowy między zmiennymi U 2 i U 3 ma wartość p 32. Wartość korelacji empirycznej między nimi wynosi r 32. Różnica między empiryczną korelacją, a całkowitym efektem przyczynowym jest składową nieprzyczynową tej korelacji, która jest równa

LISREL Weryfikacja zależności przyczynowych

LISREL W powyższym przykładzie mamy do czynienia z korelacjami między U 1, U 3 i między U 2, U 3 za przyczyną bezpośredniego efektu przyczynowego równego co do wartości współczynnikom grafu, jak też pośrednich efektów przyczynowych, które są powodowane skorelowaniem U 1 i U 2. Skorelowanie U 1 i U 2 ma pośredni wpływ poprzez U 2 na U 3, lecz z pewnością nie może być ono interpretowane jako przyczyna. Przyczynowy udział korelacji między U 1 i U 3 stał się z tego powodu o p 32 p 21 mniejszy. To samo dotyczy korelacji między U 2 i U 3, gdzie U 2 wpływa na U 3 poprzez U 1. Tu przyczynowy udział korelacji między U 2 i U 3 stał się z tego powodu o p 31 p 21 mniejszy.

LISREL Opis modelu Model LISREL składa się z trzech części, z których najważniejszą jest model struktury. Do modelu struktury dołączane są modele pomiarowe dla ukrytych zmiennych egzogenicznych i ukrytych zmiennych endogenicznych. Ogólne zasady konstrukcji. 1.Związek między dwoma powiązanymi przyczynowo zmiennymi przedstawiony jest w postaci strzałki. 2.Kierunek strzałki wskazuje na zmienną interpretowaną jako skutek. Strzałka łączy tylko pojedyncze zmienne. 3.Hipotezach formułują związki przyczynowe. 4.Wpływ zmiennych resztkowych (zmienne błędów pomiarowych) przedstawiany jest za pomocą strzałki, przy czym jej początek jest przy zmiennej resztkowej, a koniec wskazuje na zmienną obserwowaną z błędem. 5.Związki nie interpretowane przyczynowo przedstawiane są za pomocą podwójnej strzałki (  i dopuszczalne są tylko między ukrytymi zmiennymi egzogenicznymi  lub zmiennymi resztkowymi.

LISREL Opis modelu Oznaczenia. 1.Dowolne związki między zmiennymi przedstawiane są za pomocą małych liter alfabetu greckiego i zazwyczaj oznaczane są podwójnym wskaźnikiem liczbowym. 2.W związkach przyczynowych pierwszy numer indeksu dotyczy zmiennej, na którą wskazuje strzałka, a drugi wskazuje na zmienną, będącą przyczyną wskazywanej zmiennej. 3.Zmienne obserwowalne przedstawiane są na grafie jako prostokąty, zmienne ukryte jako koła. Błędy resztkowe nie są otaczane żadną figurą. 4.Związki między zmiennymi wskaźnikowymi i zmiennymi ukrytymi przedstawiamy za pomocą kreskowanych strzałek. Zmienna wskaźnikowa jest zmienną zależną, a zmienna ukryta zmienną niezależną.

LISREL Opis modelu Reguły konstrukcyjne modelu LISREL. 1.Pełny model LISREL składa się z dwu modeli pomiarowych i jednego modelu struktury. 2.Graf dla modelu LISREL zbudowany jest z następujących elementów: - Z lewej strony mamy model pomiarowy ukrytej zmiennej egzogenicznej. W jego skład wchodzą zmienne X i  i powiązania między nimi. - Środkową część zajmuje model struktury. Składa się ze zmiennych ukrytych  i  i powiązań między nimi. - Po prawej mamy model pomiarowy ukrytej zmiennej endogenicznej. Składa się on ze zmiennych Y i  i związków między nimi. 3.Dla związków przyczynowych oznaczeniami są następujące małe litery alfabetu greckiego: : oznacza związek przyczynowy między zmienną ukrytą i odpowiadającą jej zmienną wskaźnikową, : oznacza związek przyczynowy między zmienną ukrytą i odpowiadającą jej zmienną wskaźnikową,  : oznacza związek przyczynowy między zmiennymi ukrytymi  i   : oznacza związek przyczynowy między ukrytymi zmiennymi endogenicznymi .

LISREL Opis modelu Reguły konstrukcyjne modelu LISREL (c.d.) 4.Związki nie interpretowalne przyczynowo między zmiennymi egzogenicznymi są oznaczane literą . 5.Powiązania między zmiennymi resztkowymi i odpowiednimi zmiennymi endogenicznymi oznaczane są literami  z odpowiednimi indeksami z oznaczeniami odpowiadających im standaryzowanych błędów pomiarowych. Np. oznaczenie   11 oznacza wpływ na ukrytą zmienną endogeniczną  1 błędu pomiarowego  1.

LISREL Opis modelu Przykładowy model struktury można przedstawić następująco: Przykładowy model struktury można przedstawić następująco:

LISREL Opis modelu Model pomiarowy dla ukrytych zmiennych egzogenicznych przedstawia się następująco:

LISREL Opis modelu Model pomiarowy dla ukrytych zmiennych endogenicznych można opisać jak poniżej:

LISREL Opis modelu Budowa układu równań 1.Dokładnie jedno równanie liniowe odpowiada zmiennej zależnej X i, Y j lub  l,. 2.Zmienne, na które wskazuje strzałka, stoją po lewej stronie znaku równości, a zmienne, od których strzałka wychodzi, stoją po prawej stronie znaku równości. Strzałka zawsze wskazuje na zmienne zależne. 3.Współczynniki grafu reprezentują strzałki grafu i ich wartość liczbowa przedstawia siłę odpowiedniego związku liniowego. 4.Jeżeli zmienne zależne X i, Y j lub  l, zależą od wielu zmiennych niezależnych, to na podstawie własności modelu liniowego zmienne niezależne będą powiązane ze zmienną zależną addytywnie.

LISREL Opis modelu Wzajemne związki między zmiennymi ukrytymi zaobserwujemy analizując korelacje między zmiennymi obserwowalnymi w modelach pomiarowych. Obliczamy macierz korelacji Obliczamy macierz korelacji R x :    zawiera korelacje między ukrytymi zmiennymi egzogenicznymi.    jest macierzą korelacji standaryzowanych zmiennych resztkowych nazywanych inaczej czynnikami specyficznymi. Przyjmując założenie o nieskorelowaniu ukrytych zmiennych egzogenicznych wyrażenie powyższe upraszcza się do:

LISREL Opis modelu Obliczamy macierz korelacji Obliczamy macierz korelacji R y :    zawiera korelacje między ukrytymi zmiennymi endogenicznymi. Wyznaczymy też macierz korelacji R xy między wskaźnikami z obu modeli pomiarowych: Macierz R  zawiera korelacje między ukrytymi zmiennymi egzogenicznymi i endogenicznymi.

LISREL Opis modelu Korelacje w macierzy R xy są „quasi” pomostem między obu modelami pomiarowymi i przy ich pomocy możliwe jest ujawnienie związków w modelu struktury przy pomocy metod analizy regresji. Wypiszmy założenia pełnego modelu LISREL:  jest standaryzowane i nieskorelowane z   jest standaryzowane i nieskorelowane z   jest standaryzowane i nieskorelowane z  ,  i  nie korelują ze sobą wzajemnie.

LISREL Opis modelu Gdy np. zmienna resztkowa  jest skorelowana z jedną ze zmiennych niezależnych, to przypuszczalnie  składa się z co najmniej jednej zmiennej, która wpływa na  jak też na zmienną objaśniającą X. W tym przypadku model pomiarowy ukrytych zmiennych egzogenicznych będzie fałszywy, ponieważ brakuje w nim co najmniej jednej zmiennej niezależnej. Można sobie wyobrazić, że korelacja między  i  jest spowodowana przez pewną zmienną „drugorzędną” zawartą w . W tym przypadku korelację między zmienną resztkową a zmienną niezależną można usunąć eliminując z  zmienną drugorzędną. Pojawi się ona jako nowa zmienna w modelu wpływająca na zmienną egzogeniczną. Rozumowanie to można powtórzyć w przypadku założenia 4. Podczas estymacji parametrów za pomocą procedury LISREL możliwe jest między innymi, obliczenie ewentualnych korelacji między zmiennymi resztkowymi. Korelacje te są wyrażone w macierzy   dla zmiennych , w macierzy   dla zmiennych  i w macierzy   dla zmiennych . Przy dopuszczeniu występowania tego zjawiska macierze te pozostają symetryczne ale przestają być przekątniowe. Jeżeli między błędami pomiarowymi występują wysokie korelacje, to założenie 4 staje się nieaktualne. Może to być spowodowane tym np., że podczas pomiaru popełniane są błędy systematyczne, które jednocześnie wpływają na zmienną  lub . Podobnego rodzaju efekty są skutkiem działania zmiennych drugorzędnych. W takich okolicznościach należy się liczyć z tym, że trzeba będzie wprowadzić dalsze zmienne hipotetyczne  lub  w zależności od tego, którego modelu pomiarowego to dotyczy. Te nowe zmienne jako zmienne przyczynowe wpływają na wszystkie zmienne wskaźnikowe, których odpowiednie zmienne resztkowe wzajemnie korelują. Takie wielkości nazywa się czynnikami metody. Po wprowadzeniu czynników metody, które są w związku przyczynowym ze wszystkimi zmiennymi wskaźnikowymi korelacje między zmiennymi resztkowymi zostaną usunięte. Stosując procedurę LISREL zakłada się jednakże, że efekty zmiennych drugorzędnych nie są istotne, i nie ma obawy, że z ich przyczyny parametry modelu będą źle oszacowane. Macierze  ,   i   służą do weryfikacji tego założenia. Z tego powodu mówi się w analizie modeli zmiennych ukrytych nie o zmiennych resztkowych, a o zmiennych błędów pomiarów.

LISREL Przykład pełnego modelu LISREL H1: Poprawę zdrowotności określa aktywny wypoczynek. H2: Poprawę zdrowotności określa Y 1 : „Długość życia” i Y 2 : „Liczba dni w roku niezdolności do pracy z powodu choroby”; H3: Aktywny wypoczynek powiązany jest ze wskaźnikami: X 1 : „Ilość czasu w tygodniu poświecona na amatorskie uprawianie sportu” i X 2 : „Liczba godzin w ciągu doby spędzonych przed telewizorem” Zakładamy, że rozpatrywany model jest liniowy i zachodzą w nim następujące zależności: H4: Aktywny wypoczynek wpływa stymulująco na poprawę zdrowotności. H5: Długość życia z dokładnością do roku można określić bez błędów pomiarowych. H6: Zmienną Y 2 nie można określić bez błędów pomiarowych. Niestety nie wszystkie nieobecności w pracy tak naprawdę są spowodowane chorobą. H7: Większa wartość Y 2 wynika z pogarszającej się zdrowotności. H8: Mniejsza wartość Y 1 wynika z pogarszającej się zdrowotności. H9: Większa wartość wskaźnika X 1 w modelu pomiarowym dla zmiennej egzogenicznej, stymulowana jest zwiększoną aktywnością podczas wypoczynku. H10: Mniejsza wartość X 2 spowodowana jest większą aktywnością podczas wypoczynku. H11: Obie zmienne X nie mogą być zmierzone bez błędów.

LISREL Przykład pełnego modelu LISREL H4: Aktywny wypoczynek  wpływa stymulująco na poprawę zdrowotności . H5: Długość życia Y 1 z dokładnością do roku można określić bez błędów pomiarowych.H6: Zmienną Y 2 nie można określić bez błędów pomiarowych. Niestety nie wszystkie nieobecności w pracy tak naprawdę są spowodowane chorobą. H7: Większa wartość Y 2 wynika z pogarszającej się zdrowotności.H8: Mniejsza wartość Y 1 wynika z pogarszającej się zdrowotności.H9: Większa wartość wskaźnika X 1 w modelu pomiarowym dla zmiennej egzogenicznej, stymulowana jest zwiększoną aktywnością podczas wypoczynku. H10: Mniejsza wartość X 2 spowodowana jest większą aktywnością podczas wypoczynku.H11: Obie zmienne X nie mogą być zmierzone bez błędów.

LISREL Przykład pełnego modelu LISREL Układ równań modelu LISREL: „Model struktury” „Model pomiarowy ukrytej zmiennej egzogenicznej” „Model pomiarowy ukrytej zmiennej endogenicznej”

LISREL Estymacja parametrów Układ równań modelu LISREL: „Model struktury” „Model pomiarowy ukrytej zmiennej egzogenicznej” „Model pomiarowy ukrytej zmiennej endogenicznej” Macierz R zawiera macierze R x, R y i macierz R yx zawierającą korelacje miedzy wskaźnikami obu modeli pomiarowych. Jest to macierz empiryczna estymująca rzeczywistą nieznaną macierz  Zadanie polega na obliczeniu  możliwie najlepiej dopasowanej do empirycznej macierzy korelacji R.

LISREL Estymacja parametrów Na podstawie równań modelu wyznaczone elementy macierzy  wyglądają następująco: || R –  || = min

LISREL Estymacja parametrów Przykład obliczeń elementów macierzy  :

LISREL Estymacja parametrów Rozwiązując układ równań nieliniowych otrzymujemy: Nadidentyfikowalny układ równań nie może zostać rozwiązany jednoznacznie. W tym przypadku dla wybranych arbitralnie wartości początkowych szacowanych parametrów szuka się iteracyjnie rozwiązania spełniającego warunek

LISREL Interpretacja wyników Na podstawie równania struktury można wyznaczyć odchylenie standardowe błędu resztkowego: skąd

LISREL Interpretacja wyników Korelacja między zmiennymi ukrytymi jest interpretowana przyczynowo, ponieważ mamy tylko jedną zmienną egzogeniczną deklarowaną jako zmienna sprawcza. Korelacja między X 1 i X 2 jest przypadkiem korelacji przyczynowo nie interpretowalnej ponieważ

LISREL Podsumowanie 1.Postawienie hipotez. Konieczne jest dokładne rozeznanie, jakie zmienne należy uwzględnić w modelu i jak powinny wyglądać powiązania między tymi zmiennymi. 2.Wykreślenie grafu. Układ hipotez zawiera często złożone współzależności przyczynowo skutkowe, dlatego zaleca się ich graficzne przedstawienie. 3.Specyfikacja struktury modelu. Werbalnie sformułowane hipotezy i ich wzajemne powiązania przedstawione w grafie, muszą być zapisane w postaci równań macierzowych. 4.Identyfikacja struktury modelu. Trzeba sprawdzić czy model przedstawiony w postaci równań jest rozwiązywalny. Informacje, których dostarczają dane empiryczne muszą wystarczyć do jednoznacznego wyestymowania nieznanych parametrów. 5.Szacowanie parametrów. Jeżeli uznamy model za identyfikowalny, możemy przystąpić do estymacji poszczególnych parametrów modelu. W pakietach programowych mamy do dyspozycji wiele metod, które wymagają spełnienia rozmaitych założeń.

LISREL Podsumowanie 6.Ocena wyników estymacji. Po oszacowaniu parametrów modelu trzeba jeszcze sprawdzić dobroć dopasowania modelu do danych empirycznych. Procedura LISREL przewiduje taką ocenę w stosunku do całej struktury modelu jak też do jego poszczególnych części, np. weryfikację modeli pomiarowych. W tym miejscu należy zwrócić uwagę na to, że przyjmując za podstawę wyniki estymacji parametrów powinno się mieć możliwość wskazania jak powinna się zmienić struktura modelu, by wybrane kryteria weryfikacji można było poprawić. Gdyby jednak kryteria weryfikacji służyły za podstawę do zmiany struktury modelu, to procedura LISREL straci swój konfirmatywny charakter i stanie się narzędziem eksploracyjnej analizy danych, gdzie na podstawie danych empirycznych dąży się do modyfikacji hipotez. Hipotezy te nie powstają już z rozważań teoretycznych, ale są wynikiem badania wzajemnych powiązań w materiale empirycznym i uzasadnienie teoretyczne może być otrzymane tylko w ramach wiary, że dane empiryczne dobrze opisują populację. 7.Modyfikacja struktury modelu.

LISREL Witold Miszczak