Projekt „AS KOMPETENCJI” jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie

ID grupy: 97/2 _MF_G2 Opiekun: Mariola Freyter Kompetencja: MATEMATYCZNO – FIZYCZNA Temat projektowy: KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Semestr IIi / rok szkolny : 2010 / 2011

Prezentacja zawiera : Trochę historii i definicję kombinatoryki. Regułę mnożenia. Regułę dodawania. Permutacje. Kombinacje. Wariacje bez powtórzeń i z powtórzeniami. Przykłady zadań z rozwiązaniami. Chcielibyśmy, aby prezentacja pomogła naszym kolegom zrozumieć podstawy kombinatoryki.

Kombinatoryka Jest efektem zamiłowania pewnego francuskiego szlachcica do gry w kości… Ten nałogowy hazardzista poprosił znakomitego francuskiego matematyka Blaise Pascala o obliczenie prawdopodobieństwa wygrania w wymyślonej przez siebie odmianie gry w kości. Pascal problem rozwiązał. Tak zgubny nałóg stał się przyczynkiem do powstania teorii prawdopodobieństwa… Blaise Pascal (1623 – 1662 )

Na wiek przed Pascalem grami hazardowymi zajmował się Geronimo Cardano – włoski lekarz, fizyk i matematyk. W książce „Liber de ludo aleae” przedstawił pierwsze systematyczne obliczenia prawdopodobieństw. Do rozwoju teorii prawdopodobieństwa przyczynili się także znakomici matematycy : Bernoulli, Laplace, Poisson, Gauss i inni. Geronimo Cardano ( 1501 – 1576 )

Kombinatoryka stanowi jeden z działów matematyki dyskretnej. Matematyka dyskretna - zbiorcza nazwa wszystkich działów matematyki, które zajmują się badaniem struktur nieciągłych, to znaczy zawierających zbiory co najwyżej przeliczalne (tzw. dyskretne). Niektóre z tych działów to: algebra liniowa, kombinatoryka, kryptografia, logika matematyczna. Kombinatoryka posługuje się terminologią, która nie występuje w innych działach matematyki, stąd pozorna jej odrębność. Najważniejszym jej zadaniem jest konstruowanie spełniających pewne określone warunki odwzorowań jednego zbioru skończonego w drugi oraz znajdowanie wzorów na liczbę tych odwzorowań. Kombinatoryka to teoria obliczania liczby elementów zbiorów skończonych.

Przykład: Szkolny sklepik oferuje uczniom na śniadanie: 3 rodzaje kanapek oraz 2 rodzaje napojów. Ile różnych zestawów złożonych z kanapki i napoju może zamówić uczeń? Schemat rozwiązania można przedstawić na „drzewku”: Wprowadźmy oznaczenia: K₁, K₂, K₃ - rodzaje kanapek K₁ K₂ K₃ N₁, N₂ - rodzaje napojów N₁ N₂ N₁ N₂ N₁ N₂ Wybór zestawu może przebiegać w dwóch etapach: I etap : wybieramy kanapkę, II etap : wybieramy napój ( kolejność może być odwrotna). Kanapkę można wybrać na 3 sposoby i do każdej kanapki napój na 2 sposoby. Zatem liczba wszystkich wyników wyboru wynosi 3·2. Odp. W sklepiku można zakupić 6 różnych zestawów śniadaniowych.

Przykład : Dziecko składa „ ludziki ” z klocków Lego. Ile różnych postaci może złożyć, jeśli ma do dyspozycji : 5 różnych główek, 6 nakryć głowy, 7 korpusów i 4 pary nóg? Odp. Z takiego zestawu części można złożyć 5 · 6 · 7 · 4, czyli 840 różnych postaci. Jeżeli wykonywany przez nas wybór przebiega w dwóch ( n ) etapach i w I etapie możemy podjąć decyzję na k₁ sposobów, zaś w II etapie - na k₂ sposobów ( itd., zaś w ostatnim etapie na sposobów ), to liczba wszystkich wyników naszego wyboru jest równa k₁ · k₂ (k₁ · k₂ ·…· ). Jest to tzw. reguła mnożenia.

Przykład: W Empiku podobają nam się 3 książki i 4 płyty. Na ile sposobów możemy zrobić sobie prezent, jeżeli : a)zaplanowaliśmy kupno 1 płyty i 1 książki; b)stać nas na zakup 1 płyty albo 1 książki ? W przypadku a) wybieramy 1 książkę spośród 3 i do niej 1 płytę spośród 4, czyli mamy 3 · 4 = 12 możliwych zestawów. Zastosowaliśmy regułę mnożenia. W podpunkcie b) kupujemy 1 rzecz : musimy wybrać: 1 książkę mając 3 możliwości albo 1 płytę spośród 4. Zakup zrobimy na = 7 sposobów. Wykorzystaliśmy intuicyjnie regułę dodawania.

Reguła dodawania : Jeżeli zbiór wszystkich wyników wyboru możemy podzielić na 2 rozłączne podzbiory i w pierwszym podzbiorze jest k₁ wyników, zaś w drugim podzbiorze jest k₂ wyników, to wszystkich wyników jest k₁ + k₂. Regułę dodawania można uogólnić na większą liczbę parami rozłącznych podzbiorów.

Permutacje Permutacją zbioru n-elementowego nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru. Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć następujące permutacje: (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a). Permutacja spełnia następujące warunki: - każda permutacja obejmuje wszystkie dane elementy, - istotna jest tylko kolejność elementów permutacji. Z permutacjami zbioru mamy do czynienia wówczas, gdy porządkujemy elementy tego zbioru. Permutacja to każde ustawienie wszystkich elementów zbioru w dowolnej kolejności. Liczba permutacji zbioru złożonego z n elementów jest równa n!. P n = n!

Przykłady permutacji Wszystkie możliwe permutacje 3-elementowego zbioru {,, } to : Pierwsze miejsce w ciągu mogliśmy uzupełnić na 3 sposoby, drugie – na dwa, a na ostatnim mieliśmy tylko 1 możliwość. Zatem liczba tych permutacji wyniosła : 3 · 2 · 1 = 6

Liczba permutacji P Gdy tworzymy permutację zbioru n-elementowego, pierwszy element możemy wybrać na n sposobów, drugi na n-1 sposobów, trzeci na n-2 itd. Liczba wszystkich takich permutacji wynosi :

Przykład: Na ile sposobów można posadzić w kolejce 5 osób? 5·4·3·2·1 = 5! = 120

Przykład : Ile różnych wyrazów, mających sens lub nie, można utworzyć z liter wyrazu matematyka, przestawiając ich kolejność? Jeżeli ma znaczenie kolor powtarzającej się litery, np. MATEMATYKA, to takich ustawień jest 10 !, ( bo na 10 miejscach przestawiamy 10 liter). Jednak MATEMATYKA, czy MATEMATYKA czytamy tak samo - niezależnie od koloru litery M, więc należy liczbę wcześniej wyznaczonych ustawień podzielić przez liczbę permutacji zbioru dwuelementowego P 2 =2!, ze względu na powtarzającą się na dwóch miejscach literę M; następnie znowu podzielić przez 2! z powodu powtarzającej się dwukrotnie litery T, oraz podzielić przez 3 !, bo litera A powtarza się trzy razy. Ostatecznie można utworzyć różnych wyrazów.

Kombinacje Kombinacją k-elementową utworzoną ze zbioru n-elementowego (k ≤ n) nazywamy każdy k-elementowy podzbiór tego zbioru. Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć następujące dwuelementowe kombinacje: {a, b}, {a,c}, {b, c}. Kombinacje spełniają następujące warunki: -obejmują jedynie określoną liczbę k spośród danych n elementów. - nie jest istotna kolejność elementów kombinacji. Kombinacja, to jedna z możliwości wyboru kilku elementów z większego zbioru, przy czym kolejność wyboru elementów nie ma znaczenia. Dwa podzbiory złożone z tych samych elementów, a różniące się tylko ich porządkiem, stanowią tę samą kombinację. Liczba k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego wyraża się wzorem:

Przykład: Na ile sposobów można wybrać trzyosobową komisję z grupy 6 osób? Każda taka komisja to trzyelementowy podzbiór wybrany ze zbioru 6 osób, zatem jest to 3-elementowa kombinacja zbioru 6-elementowego. Liczbę tych kombinacji obliczamy ze wzoru :

Przykład: Na zajęcia przyszło 14 osób; witają się podając sobie ręce. Ile nastąpi powitań? Osoby witają się podając sobie ręce w parach, więc będzie tyle powitań, ile można utworzyć różnych par : czyli 2-elementowych kombinacji zbioru 14-elementowego. Uścisków będzie :

Wariacje bez powtórzeń Wariacją k-wyrazową bez powtórzeń utworzoną ze zbioru n-elementowego (k ≤ n) nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg różnych elementów z tego zbioru. Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć następujące dwuelementowe wariacje bez powtórzeń : (a, b), (a, c), (b, a), (b, c), (c, a), (c, b). Wariacje spełniają następujące warunki: -obejmują jedynie określoną liczbę k spośród danych n elementów, -istotna jest kolejność elementów wariacji. Z k-wyrazowymi wariacjami bez powtórzeń zbioru złożonego z n elementów mamy do czynienia, gdy k razy wybieramy bez zwracania po jednym elemencie z danego zbioru. Liczba k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego wyraża się wzorem:

Przykład: Ile trzycyfrowych liczb o różnych cyfrach można utworzyć z cyfr : 1,2,3,4,5,6,7 ? Kolejność wybieranych cyfr jest istotna i żadna z nich nie może się powtarzać; tworzymy więc trójelementowe różnowartościowe ciągi, w których wyraz pierwszy (cyfrę setek) możemy wybrać na 7 sposobów (bo tyle jest cyfr do dyspozycji), wyraz drugi ( cyfrę dziesiątek) – na 6 sposobów ( cyfry setek nie można użyć drugi raz) i wreszcie cyfrę jedności (ostatni wyraz ciągu) - na 5 sposobów. Odp. Z podanych cyfr można utworzyć 7·6·5 = 210 trzycyfrowych liczb o niepowtarzających się cyfrach.

Rozwiązaliśmy zadanie nie korzystając ze wzorów, a tworzyliśmy różnowartościowy 3-wyrazowy ciąg spośród 7-elementowego zbioru cyfr. Zgodnie z definicją były to 3-wyrazowe wariacje zbioru 7-elementowego. Takich wariacji jest : Teraz policzmy, ile byłoby trzycyfrowych liczb o różnych cyfrach, jeżeli cyfry moglibyśmy wybierać ze zbioru { 0,1,2,3,4,5,6 }? Zbiór nadal jest 7-elementowy, a ciąg 3-wyrazowy i różnowartościowy; tylko mamy kłopot z cyfrą 0 - nie może być cyfrą setek.

Przykład: Ile można utworzyć trzycyfrowych liczb o różnych cyfrach, jeżeli dysponujemy cyframi ze zbioru { 0,1,2,3,4,5,6 }? I sposób: Tworzymy 3-wyrazowe różnowartościowe ciągi spośród 7 elementów zbioru ( nie przejmując się zerem jako cyfrą setek, bo te ciągi odejmiemy od liczby wszystkich). Jest ich: Teraz policzymy, w ilu ciągach spośród powyższych 0 jest pierwszym wyrazem – jest ich tyle, ile 2-wyrazowych (uzupełniamy tylko cyfry dziesiątek i jedności) ciągów utworzonych ze zbioru 6-elementowego {1,2,3,4,5,6}, czyli: Ostatecznie takich liczb jest: 210 – 30 = 180.

Przykład: Ile można utworzyć trzycyfrowych liczb o różnych cyfrach, jeżeli dysponujemy cyframi ze zbioru { 0,1,2,3,4,5,6 }? II sposób: Musimy uzupełnić 3 miejsca w 3-wyrazowym ciągu tak, aby cyfry się nie powtarzały i na pierwszym miejscu nie stało 0 : pierwszy wyraz ciągu wybieramy spośród cyfr 1,2,3,4,5 i 6, więc na 6 sposobów, cyfra teraz wybrana nie będzie już uwzględniana przy wyborze cyfry dziesiątek (cyfry nie mogą się powtarzać), za to musimy wziąć pod uwagę 0 – zatem cyfrę dziesiątek znowu wybieramy na 6 sposobów, zaś cyfrę jedności – na 5 sposobów – po wyborze cyfr setek i dziesiątek dysponujemy tylko pięcioma cyframi. Zgodnie z regułą mnożenia liczb spełniających warunki zadania jest : 6·6·5 = 180.

Wariacje z powtórzeniami Wariacją k-wyrazową z powtórzeniami utworzoną ze zbioru n-elementowego nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg różnych lub nie różniących się elementów z tego zbioru. Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć następujące dwuelementowe wariacje z powtórzeniami: (a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c). Z k-wyrazowymi wariacjami z powtórzeniami zbioru n-elementowego mamy do czynienia wówczas, gdy k razy wybieramy po jednym elemencie ze zwracaniem z danego zbioru. Liczba k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego wyraża się wzorem:

Przykład: Wykonujemy dwa rzuty monetą. Ile różnych wyników możemy otrzymać? Łatwo wypisać wszystkie możliwości : (O,O), (O,R), (R,O), (R,R), gdzie O oznacza wypadł orzeł, zaś R – wypadła reszka. Różnych wyników jest 4. Przykład: Wykonujemy trzy rzuty monetą. Ile różnych wyników możemy otrzymać? Nadal wypisanie wszystkich możliwości nie sprawia kłopotów : (O,O,O),(O,O,R),(O,R,O),(R,O,O),(O,R,R),(R,O,R),(R,R,O),(R,R,R). Szybciej można policzyć ich ilość : za pierwszym rzutem są 2 możliwości, za drugim znowu 2 i za trzecim też 2, czyli. Tworzyliśmy 3-wyrazowe ciągi używając dwóch elementów: O albo R. Elementy mogły (a nawet musiały) się powtarzać. Gdyby rzutów było n, wyników uzyskalibyśmy.

Przykład: Rzucamy dwiema kostkami do gry. Ile jest takich wyników, w których suma oczek jest podzielna przez 5? ( 1, 1 )( 1, 2 )( 1, 3 )( 1, 4 )( 1, 5 )( 1, 6 ) 2( 2, 1 )( 2, 2 )( 2, 3 )( 2, 4 )( 2, 5 )( 2, 6 ) 3( 3, 1 )( 3, 2 )( 3, 3 )( 3, 4 )( 3, 5 )( 3, 6 ) 4( 4, 1 )( 4, 2 )( 4, 3 )( 4, 4 )( 4, 5 )( 4, 6 ) 5( 5, 1 )( 5, 2 )( 5, 3 )( 5, 4 )( 5, 5 )( 5, 6 ) 6( 6, 1 )( 6, 2 )( 6, 3 )( 6, 4 )( 6, 5 )( 6, 6 ) I rzut II rzut Wyrzucenie ścianki z 1 oczkiem oznaczamy symbolem 1, itd. W tabeli mamy przedstawione wszystkie możliwe wyniki rzutów, każdy wynik to 2-wyrazowy ciąg, w którym elementy zbioru 6-elementowego mogą się powtarzać – wyników jest tyle, ile 2-wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru 6-elementowego, czyli 6²=36. Nas interesują tylko te, w których suma oczek jest podzielna przez 5. W tabeli zaznaczyliśmy je przez podkreślenie, takich wyników jest 7.

Aby ułatwić sobie korzystanie ze wzorów przy rozwiązywaniu zadań można skorzystać z algorytmu postępowania :

Przykłady zadań z rozwiązaniami Zad.1 Na ile sposobów można posadzić 6 osób przy okrągłym stole ? Zadanie ma dwa rozwiązania w zależności od tego czy : a)ważne jest krzesło, na którym osoba siedzi; b)ważny jest tylko sąsiad. W przypadku a) sadzając pierwszą osobę mamy do wyboru 6 krzeseł, drugą – 5 krzeseł, itd. Mamy więc 6·5·4·3·2·1 = 6! = 720 możliwości. Gdy ważny jest tylko sąsiad, a nie krzesło na którym się siedzi – przypadek b) - możliwości jest 6 razy mniej; bo wszyscy trzymając się za ręce i jednocześnie przesiadając się na kolejne krzesło np. w lewo 6 razy mają tych samych sąsiadów, poprzedni wynik trzeba więc podzielić przez 6 :

Zad.2 Na ile sposobów można z talii 52 kart wyciągnąć 13 kart tak, aby wśród nich były: a) dokładnie 3 asy; b) 2 asy i 2 damy; c) co najmniej 3 króle ? Rozwiązanie: a)Wśród 13 kart mamy 3 asy wybrane spośród 4 oraz 10 kart nie-asów – wybranych spośród 48 kart nie-asów występujących w talii. Mamy zatem możliwości. b) 2 asy wybieramy spośród 4 asów, 2 damy spośród 4 dam, a brakujące 9 kart bierzemy spośród = 44 pozostałych kart. Możliwości jest więc :. c) Wyciągnąć co najmniej 3 króle oznacza dwa rozłączne przypadki: 3 króle i 10 nie-króli lub 4 króle i 9 nie-króli. Jest więc sposobów wyboru.

Zad.3 Ile dzielników ma liczba ? Rozwiązanie : Liczbę można przedstawić jako 9·10³ = 3²·2³·5³. Każdy dzielnik ma zatem postać :, gdzie. Ponieważ przyjmuje 3 wartości; przyjmują po 4 wartości, więc liczba ma 3 · 4 · 4 = 48 dzielników.

Zad.4 Pięć osób wsiada do windy na parterze 10-ciopiętrowego wieżowca. Na ile sposobów mogą oni opuszczać windę, jeśli : a) każdy wysiądzie na innym piętrze; b) mogą wysiąść na dowolnym piętrze; c) wszyscy wysiądą na dwóch piętrach ? Rozwiązanie : a)Pierwsza osoba ma 10 możliwości wyboru, druga – 9, trzecia 8, czwarta – 7, a piąta – 6. Układamy 5-wyrazowe różnowartościowe ciągi – wariacje bez powtórzeń. Zatem jest 10 · 9 · 8 · 7 · 6 = możliwości. b)Każda osoba ma 10 możliwości wyboru, zatem wszyscy pasażerowie mogą opuścić windę na 10⁵ sposobów – wariacje z powtórzeniami. c)Najpierw trzeba wybrać 2 piętra, na których wysiądą pasażerowie (są to 2-elementowe kombinacje zbioru 10-elementowego);potem policzyć, na ile sposobów osoby mogą opuścić windę (każdy wybiera 1 piętro z dwóch – wariacje z powtórzeniami; trzeba odjąć te 2 ciągi, gdy wszyscy zdecydują się na to samo piętro z dwóch możliwych) :

Zad.5. W turnieju karate rozegrano 55 walk. Każdy walczył z każdym dokładnie raz. Ilu zawodników brało udział w turnieju? Rozwiązanie: Niech n oznacza liczbę zawodników, oczywiście. Rozegranych walk było tyle, ile 2-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego. Otrzymujemy równanie : Odp. W turnieju brało udział 11 zawodników.

W trakcie pracy nad prezentacją korzystaliśmy z następujących zasobów: %C5%84_z_zakresu_matematyki Włodzimierz Krysicki, Poczet wielkich matematyków, Nasza Księgarnia, Warszawa 1975 Danuta i Marek Zakrzewscy, Rachunek prawdopodobieństwa, Quadrivium 1994 Marcin Kurczab, Elżbieta Kurczab, Elżbieta Świda, Matematyka Podręcznik do liceów I techników, Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro, Warszawa 2010 Stanisław Kowal, 500 zagadek matematycznych, Wiedza Powszechna, Warszawa 1975 Wszystkie zdjęcia umieszczone w prezentacji zostały wykonane przez uczestników naszej grupy projektowej. Dziękujemy za uwagę.

Projekt „AS KOMPETENCJI” jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie