MATEMATYKA Ministerstwo Edukacji Narodowej PODSTAWA PROGRAMOWA KSZTAŁCENIA OGÓLNEGO MATEMATYKA ZBIGNIEW SEMADENI Żerków, 27-28 XI 2008 i Kraków, 3-4 XII 2008

Przydział godzin na matematykę: klasy IV-VI – po 4 godziny tygodniowo (razem 12 na ten szczebel), gimnazjum – po 4 godziny tygodniowo (razem 12 na ten szczebel), liceum klasa pierwsza – po 4 godziny tygodniowo, liceum klasy II-III zakres podstawowy po 3 godziny tygodniowo (uczniowie wybierający ten zakres mają więc razem 4+3+3=10 godzin na całe liceum), liceum klasy II-III zakres rozszerzony po 6 godzin tygodniowo (uczniowie wybierający ten zakres mają więc razem 4+6+6=16 godzin na całe liceum). 2

NOWA PODSTAWA PROGRAMOWA Podstawa programowa to zapis tego, czego państwo polskie zobowiązuje się nauczyć przeciętnie uzdolnionego ucznia. Nowa podstawa określa to, co uczeń powinien umieć. Podstawa nie opisuje tego, co ma być przerabiane na lekcjach, lecz to, czego uczeń ma być nauczony, a ściślej: czego będzie się od niego wymagać. Teraz więc standardy będą identyczne z nową podstawą. 3

NOWA PODSTAWA PROGRAMOWA W przypadku gimnazjum – nowa podstawa określa to, czego będzie się wymagać na egzaminie na koniec tego etapu. Natomiast wiedzę, jakiej od ucznia będzie mógł oczekiwać nauczyciel na początku gimnazjum, określa podstawa dla klas IV-VI. Podstawa dla edukacji początkowej określa minimalną wiedzę i minimalne umiejętności, jakie powinien posiadać uczeń przechodzący z klasy III do IV. 4

NOWA PODSTAWA PROGRAMOWA W podstawie wyróżnia się: cele kształcenia (sformułowane jako wymagania ogólne) i treści nauczania (sformułowane jako wymagania szczegółowe) 5

Wykorzystanie i tworzenie informacji. Wymagania ogólne W wymaganiach ogólnych dla gimnazjum, dla liceum zakres podstawowy i dla liceum zakres rozszerzony jest 5 działów, tak samo zatytułowanych dla każdego z tych trzech poziomów: Wykorzystanie i tworzenie informacji. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji. Modelowanie matematyczne. Użycie i tworzenie strategii. Rozumowanie i argumentacja. 6

W każdym z tych 5 działów wymagania są opisane zwięźle, Wymagania ogólne W każdym z tych 5 działów wymagania są opisane zwięźle, dostosowane do danego poziomu kształcenia. W praktyce szkolnej największą uwagę przypisuje się wymaganiom szczegółowym. Wymagania ogólne są jednak też ważne, m.in. recenzenci MEN, oceniając podręcznik, będą mogli nie rekomendować go do akceptacji MEN, jeżeli uznają, że podręcznik, choć zawiera wymagane treści, nie zapewnia realizacji postulowanych celów ogólnych. 7

Wymagania szczegółowe Czytając cele szczegółowe, należy pamiętać o dwóch zasadach, które zostały przyjęte przy ich redagowaniu: I. Jeżeli jakieś wymaganie znajduje się w podstawie dla szczebla n, to automatycznie jest też wymagane na szczeblu n + 1 (n = 1, 2, 3). II. Jeżeli jakieś wymaganie znajduje się w podstawie dla szczebla n + 1, to automatycznie wynika stąd, że nie jest wymagane na szczeblu n. Powtórki są niezbędne, ale nie ma to być przerabianie znów wszystkiego od początku na wyższym szczeblu. 8

Wymagania szczegółowe NOWA PODSTAWA PROGRAMOWA Ogólnym założeniem jest to, że nauczyciel ma prawo uczyć więcej, niż jest zapisane w podstawie, ale nie kosztem tego, czego się będzie wymagać. Jeśli nauczyciel uważa, że jakiś temat jest ważny i jego uczniowie są w stanie to opanować oprócz tego, co jest wymagane, to może włączyć ten temat do swego programu pomimo, że nie ma go w podstawie. 9

Wymagania szczegółowe NOWA PODSTAWA PROGRAMOWA Ogólnikowe hasło często prowadzi do zawyżania wymagań. Dlatego wymagania w nowej podstawie są sformułowane tak dokładnie, jak to się dało zrobić. Precyzyjne określenie treści ma chronić ucznia przez interpretacją zawyżającą wymagania, m.in. próbować ograniczać tendencję do zbyt trudnych podręczników.

NOWA PODSTAWA PROGRAMOWA Podstawa określa zakres materiału dla danego etapu edukacyjnego – nie dzieli go na poszczególne klasy. Wyjątkiem jednak będzie nowa klasa I, do której mają pójść 6-latki. Specjalnie opracowane zostały osobne wymagania po I klasie, aby chronić dzieci przed zawyżonymi wymaganiami. Nowe wymagania po I klasie są zbliżone do tych, które dotąd były w ostatnim roku przedszkola lub klasy zerowej, ale są znacznie lepiej opracowane. Wymagania te są dostosowane do naturalnego rozwoju dziecka. 11

NOWA PODSTAWA PROGRAMOWA Należy stale pamiętać, że do nowej klasy IV będą chodzić dzieci w wieku obecnej klasy III. Materiał klasy IV powinien więc, w pierwszym przybliżeniu, odpowiadać dotychczasowemu materiałowi klasy III. 12

W wyniku zmian z ostatnich 10 lat następujące tematy przeszły z tradycyjnej III klasy do klasy IV: zapis cyfrowy liczb do 10000, algorytmy dodawania i odejmowania pisemnego, mnożenie i dzielenie liczb wielocyfrowych przez jednocyfrowe, dzielenie z resztą (gdy dzielnik i wynik są jednocyfrowe), reguły kolejności wykonywania działań; porównanie ilorazowe, ułamki, kilometr jako 1000 metrów, odcinki prostopadłe i równoległe, obliczenia zegarowe z minutami. 13

Porównywanie ilorazowe Porównanie ilorazowe (w tym zadania typu: ,,Ile razy więcej?”) jest bardzo trudne dla uczniów. Pytanie, ile razy jedna liczba bądź wielkość jest większa od drugiej, to wstęp do stosunków i proporcji. Zwrot „3 razy więcej” oznacza stosunek 3:1 lub 300%. Te trzy zwroty znaczą to samo, choć wypowiedziane w różny sposób. Uczeń klasy III zna dzielenie jedynie w kontekście rozdzielenia czegoś na części po tyle samo. Gdy pytamy, ile razy A jest większe od B, nie rozdzielamy przecież niczego na równe części. Dzielenie interpretowane jako stosunek to zupełnie nowe pojęcie, kształtujące się u ucznia przez wiele lat. Uczenie tego dzieci 9-letnich byłoby przedwczesne. 14

Liczby całkowite i ułamki W nowej podstawie w klasach IV-VI wyraźnie oddzielone zostały liczby całkowite od ułamków. Nazwa „liczba wymierna” w ogóle się nie pojawia w wymaganiach dla szkoły podstawowej, mamy ją dopiero w gimnazjum. Chodzi o to, aby nie wymagać od ucznia działań, w których pojawiają się ułamki ze znakiem minus. 15

Liczby całkowite i ułamki Wielu matematyków ongiś wierzyło, że ponieważ zasady dotyczące działań na liczbach ujemnych są takie same dla liczb całkowitych i dla ułamków, więc dydaktycznie nie ma między nimi istotnej różnicy. Różnica jednak jest i to bardzo istotna. Ogólne zasady są rzeczywiście takie same, ale obliczenia, w których uczeń musi dać sobie radę z kumulacją trudności: minusy i kreski ułamkowe, okazują się znacznie trudniejsze. 16

W klasach IV-VI mamy pewne elementy algebry, Algebra W klasach IV-VI mamy pewne elementy algebry, ujęte możliwie praktycznie. Uczeń ma umieć korzystać z nieskomplikowanych wzorów, np. ze wzoru P = ½ ah na pole trójkąta i umieć zamieniać wzór na postać słowną schematu postępowania: „jedna druga podstawy razy wysokość”. 17

Uczeń ma też rozwiązywać równania pierwszego stopnia Algebra Uczeń ma też rozwiązywać równania pierwszego stopnia z niewiadomą występującą po jednej stronie równania, poprzez zgadywanie, dopełnianie lub wykonanie działania odwrotnego. Skąd się wzięło ograniczenie w podstawie, że niewiadoma ma występować tylko po jednej stronie równania? 18

Istnieje ogromna różnica trudności między równaniami, np. Algebra Istnieje ogromna różnica trudności między równaniami, np. 5x – 28 = 32 i 7x – 28 = 32 + 2x. Dla dobrego licealisty są to równania o niemal identycznym stopniu trudności. Jednak wielu młodszych uczniów potrafi rozwiązać lewe równanie, a prawe pozostaje poza zasięgiem ich możliwości. Lewe równanie da się rozwiązać na poziomie myślenia arytmetycznego, poprzez odwracanie działań. Prawe równanie wymaga już myślenia algebraicznego. 19

NOWA PODSTAWA PROGRAMOWA MEN będzie zwracał uwagę, by podręcznik dla pierwszej klasy kolejnego etapu edukacyjnego był nie tylko zgodny z podstawą danego etapu edukacyjnego, ale też z podstawą etapu poprzedniego, by podręcznik nie zakładał u uczniów żadnej wcześniejszej wiedzy, której nie ma w podstawie. Nauczyciel klasy IV też powinien dobrze wiedzieć, czego podstawa wymaga od ucznia kończącego klasę III. 20

Procenty Procenty – to temat gorący. Usunięto je ze szkoły podstawowej w 2007 r., bowiem w wielu szkołach uczono procentów w zbyt trudny, zbyt abstrakcyjny sposób. Efektem takiego sposobu uczenia było jedynie mechaniczne opanowywanie reguł. Po obniżeniu wieku uczniów klasa VI odpowiada dotychczasowej klasie V. Z tych dwóch powodów w 2007 r. procenty przesunięto do gimnazjum. Wiele osób ubolewało z tego powodu. Argumentowano – słusznie – że uczeń po szkole podstawowej powinien wiedzieć, co to jest 50%, czy 20%. 21

Obecnie procenty znów są w nowej podstawie w następującym sformułowaniu: Uczeń interpretuje 100% danej wielkości jako całość, 50% – jako połowę, 25% – jako jedną czwartą, 10% – jako jedną dziesiątą, a 1% – jako setną część danej wielkości liczbowej; W przypadkach osadzonych w kontekście praktycznym oblicza procent pewnej wielkości, w stopniu trudności typu 50%, 10%, 20%. 22

Znajduje się to w dziale „Obliczenia praktyczne”, Procenty Znajduje się to w dziale „Obliczenia praktyczne”, co ma podkreślić, że nie chodzi tu o wiedzę ogólną, teoretyczną. Chcemy, by uczeń dobrze wiedział, że 1% to jedna setna, a 50% to połowa, by wiedział, że 50% z kwoty np. 240 zł to połowa tej kwoty, czyli 120 zł, a 10% kwoty 240 zł to 24 zł. Nie chcemy natomiast, by uczeń na pytanie, ile to jest 50% z kwoty np. 240 zł, obliczał 50 razy 240 dzielone przez 100, bo stosuje ogólną regułę, której się wyuczył. 23

Chcemy, by uczeń kończący szkołę podstawową Procenty Chcemy, by uczeń kończący szkołę podstawową miał niewielki wprawdzie, ale dobrze przyswojony zakres intuicji dotyczących procentów. W gimnazjum te intuicje będą ugruntowane i rozszerzone. 24

Po klasie VI w nowej podstawie mamy wymaganie: Wartość bezwzględna Po klasie VI w nowej podstawie mamy wymaganie: Uczeń oblicza wartość bezwzględną liczby całkowitej. W wymaganiach po gimnazjum termin „wartość bezwzględna” w ogóle się nie pojawia. Mamy go dopiero znów na poziomie liceum. Dlaczego wartość bezwzględna jest w szkole podstawowej, a nie ma jej w gimnazjum? Na mocy sformułowanej wcześniej zasady (I) uczeń po gimnazjum ma umieć to, co było wymagane szkole podstawowej. 25

Wartość bezwzględna W szkole podstawowej wystarczy, że uczeń zna wartość bezwzględną dla konkretnych liczb całkowitych, np. wie, że |–5| = 5, |5| = 5, |0| = 0. Powinien też wiedzieć, że na osi odległość punktu –5 od punktu 0 równa się 5. Również powinien umieć obliczyć odległość na osi liczbowej dwóch punktów o współrzędnych całkowitych, np. odległość punktów 7 i 12, a także punktów –7 i –12. Za każdym razem od liczby większej należy odjąć liczbę mniejszą. 26

Wartość bezwzględna Odległość 7 i –12 oblicza się wprost z rysunku; okaże się wtedy, że to też jest różnica tych liczb. Uczeń poznaje to w kontekście arytmetyki, nie algebry, a więc w ten sposób symbol wartości bezwzględnej nie pojawi się w powiązaniu z symbolami literowymi. Uczeń nie musi więc wiedzieć, że oba te przypadki dają się zapisać jednolicie za pomocą bezwzględnej wartości jako |a – b|. 27

{ Wartość bezwzględna x, gdy x ≥ 0, |x| = Dlaczego nie ma bezwzględnej wartości w gimnazjum? Po pierwsze, do niczego nie jest to potrzebne. Po drugie, nie chcemy, by w gimnazjum wprowadzano określenie wartości bezwzględnej w standardowy sposób: x, gdy x ≥ 0, – x, gdy x < 0. |x| = { Takie wprowadzanie wartości bezwzględnej jest niezrozumiałe dla znaczącej części uczniów. 1. Zapis klamrowy sam w sobie jest trudny. 2. Wielu uczniów jest przekonanych, że liczba –x jest ujemna. 28

Wartość bezwzględna Wprowadzanie w szkole pojęcia wartości bezwzględnej takim wzorem jest merytorycznie poprawne. Jednak przedwczesne użycie tego wzoru uważam za błąd dydaktyczny, niestety bardzo rozpowszechniony. Przy tym podejściu wartość bezwzględna, będąca pojęciem arytmetycznym, jest definiowana jako funkcja i to funkcja określona różnymi wzorami na różnych przedziałach. Dążenie do nadmiernej ogólności w nauczaniu szkolnym było charakterystyczne dla tzw. „nowej matematyki” 40 lat temu, która spowodowała wielkie szkody w nauczaniu i poniosła fiasko na całym świecie. 29

Wartość bezwzględna |a n − g | < ε . Do czego potrzebna jest wartość bezwzględna w szkole? Wartość bezwzględna potrzebna jest tak naprawdę jedynie do definicji granicy, w której pojawia się nierówność: |a n − g | < ε . To głównie po to spędza się w szkole wiele czasu na przekształcaniu nierówności typu |x – a| < b. Po to, aby móc wykazać zbieżność pewnych ciągów wprost na podstawie definicji granicy. Wymagania dotyczące wartości bezwzględnej pojawiają się w liceum, ale jedynie w zakresie rozszerzonym. 30

Brak liczby π w nowej podstawie? Mamy dla gimnazjum: Uczeń oblicza długość okręgu i łuku okręgu; oblicza pole koła, pierścienia kołowego, wycinka kołowego. Użycie liczby π jest więc zagwarantowane w podstawie. Do czego miałoby być potrzebne osobne hasło dotyczące liczby π? Co miałby wiedzieć uczeń o tej liczbie poza stosowaniem jej do obliczenia obwodów i pól? 31

Liczby niewymierne Zapewne wiele osób miało na myśli, że uczeń ma wiedzieć, że π jest liczbą niewymierną. Ale po co uczniowi ta informacja? Nasza szkoła przywiązuje wielką wagę do niewymierności liczb π i √2. Fakt niewymierności jest ważny z filozoficznego punktu widzenia. Było to ogromne ważne dla starożytnych pitagorejczyków, bowiem obaliło ich wiarę, że harmonia kosmosu wyraża się stosunkami liczb naturalnych. Ich wizja świata zawaliła się, gdy stwierdzili, że przekątna kwadratu wyłamuje się z tego ich obrazu świata. 32

Liczby niewymierne Jednak z punktu widzenia matematyki szkolnej (a także inżynierskiej i zastosowań do fizyki) z niewymierności π i √2 nic właściwie nie wynika. Wszystkie wielkości fizyczne są znane tylko w przybliżeniu. Komputery też posługują się wyłącznie liczbami wymiernymi. By uzmysłowić sobie, że z niewymierności tych liczb nie wynika nic dla szkolnego zakresu wiedzy, pomyślmy, co by było, gdyby √2 był jednak liczbą wymierną, ale zapisywałby się za pomocą ułamka, którego licznik i mianownik miałyby jakąś ogromną liczbę cyfr, może nawet więcej cyfr niż jest atomów we wszechświecie. 33

Nic. Liczby niewymierne Co wynikałoby z tej wymierności dla ucznia? To czemu więc miałoby służyć wymaganie tych niewymierności w podstawie? Matematycznie uzdolniony absolwent dawnej VIII klasy odpowiedział, że zna tylko dwa przykłady liczb niewymiernych: 3,14 oraz 1,41. 34

Rozumowanie i argumentacja Logika matematyczna Z podstawy usunięto elementy logiki matematycznej. Uczeń nie ma teraz obowiązku znajomości symboli logicznych. Uważam, że to słuszna decyzja. Wysuwa się nieraz zarzuty, że na skutek tego nie będzie się rozwijać logicznego myślenia. Nie jest to zarzut słuszny. W podstawie dla liceum, wśród wymagań ogólnych mamy: Rozumowanie i argumentacja (o zakresie wymagań sformułowanym osobno dla zakresu podstawowego i dla rozszerzonego). 35

Szkoła ma nadal uczyć rozumowania matematycznego Logika matematyczna Szkoła ma nadal uczyć rozumowania matematycznego i na maturze będą zadania to sprawdzające. Rozumowań należy bowiem uczyć w trakcie wszelkich wywodów matematycznych, przez wiele lat. Natomiast znajomość ogólnych pojęć i symboli rachunku zdań i kwantyfikatorów nie jest ani warunkiem koniecznym, ani dostatecznym dla logicznego rozumowania w matematyce. Miałem okazję wielokrotnie się o tym przekonać, egzaminując studentów matematyki. 36

Chociaż od czasów studenckich jestem przyzwyczajony Logika matematyczna Chociaż od czasów studenckich jestem przyzwyczajony do symboliki logicznej, łatwiej mi się czyta wzór, w którym jest słowo „lub” niż znak alternatywy, np. mając do wyboru dwa sposoby zapisu x <−3 v x >7 x <−3 lub x >7, zdecydowanie wolę ten prawy zapis, zarówno na poziomie szkolnym, jak i zaawansowanym uniwersyteckim. Przeplatany język symboli ze słowami języka polskiego najłatwiej się czyta i rozumie. 37

Jedyne symbole, które są naprawdę poręczne, Logika matematyczna Jedyne symbole, które są naprawdę poręczne, to strzałka implikacji => i dwustronna strzałka równoważności <=> . Ale aby używać takich strzałek, wcale niepotrzebny jest cały blok rachunku zdań. Wystarczy używać ich w konkretnych sytuacjach i objaśniać ich sens na rozpatrywanych przykładach matematycznych. 38

Bardziej dyskusyjne jest usunięcie z podstaw symboli Teoria mnogości Bardziej dyskusyjne jest usunięcie z podstaw symboli teorii mnogości. Tu zadecydował m.in. bilans godzin. Ile czasu trzeba przeznaczyć na rzetelne opanowanie działań na zbiorach? Ile czasu zyska się przy realizacji innych działów dzięki wykorzystaniu pojęć teorii zbiorów? Samo pojęcie zbioru, intuicyjnie rozumiane, pojawia się w podstawach wielokrotnie (również w zakresie podstawowym). Nie ma natomiast symboli działań na zbiorach. 39

W 1967 wprowadzono do liceum spory zakres teorii zbiorów. Teoria mnogości W 1967 wprowadzono do liceum spory zakres teorii zbiorów. Miało to być fundamentem całej matematyki licealnej, a szczególnie geometrii. Niestety radykalna wersja tej koncepcji poniosła fiasko, a szczególnie dramatycznie, już kilku miesiącach, załamało się w szkole mnogościowe ujęcie geometrii. 40

W liceum w zakresie podstawowym wprowadzono wymaganie: Trygonometria W liceum w zakresie podstawowym wprowadzono wymaganie: wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0° do 180°. Głównym argumentem było to, że taki zakres kątów jest niezbędny dla interpretacji współczynnika a w równaniu kierunkowym prostej y = ax +b jako tangensa kąta nachylenia prostej. 41

Nie ma jednak w profilu podstawowym funkcji Trygonometria Nie ma jednak w profilu podstawowym funkcji trygonometrycznych ani kątów skierowanych, ani miary łukowej kąta. Z podstaw zniknęła funkcja cotangens, bowiem ctg α to to samo co 1/tg α bądź tg (90°– α) i cała trygonometria bez trudu da się wyrazić za pomocą tych trzech funkcji: sinus, cosinus, tangens – tych, które są na kalkulatorze. Mniej funkcji – to mniej nazw do zapamiętania, mniej definicji, mniej wzorów. 42

Pojęcie logarytmu wróciło do zakresu podstawowego w sformułowaniu: Wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym. To takie minimum. W zakresie rozszerzonym mamy ponadto logarytm potęgi o dowolnym wykładniku, wzór na zamianę podstawy logarytmu oraz funkcję logarytmiczną. 43

Zasada indukcji matematycznej Rachunek różniczkowy Zasada indukcji matematycznej Rachunek różniczkowy jest tylko w zakresie rozszerzonym. Zasada indukcji matematycznej została usunięta z zakresu rozszerzonego. Jest specyficznie trudna. Stosowanie tej zasady stało się pewnym rytuałem, którego sensu wielu uczniów nie pojmowało. 44

Należy pamiętać, że nawet w zakresie rozszerzonym nie da się utrzymać poziomu dawnych liceów matematyczno-fizycznych. Powodów tego jest wiele, a jednym z nich jest to, że uczniowie będą zdawać maturę w wieku 18 lat, a nie 19 lat jak teraz. Nauka szkolna od klasy I po maturę będzie trwała 12 lat, a dotąd od klasy zerowej po maturę trwała 13 lat. Musi więc z podstawy ubyć materiał odpowiadający z grubsza jednej klasie. 45

W sumie materiału na każdym etapie jest bardzo dużo. Zwłaszcza dużo jest go w klasach IV-VI, bowiem pewne czasochłonne tematy zostały przeniesione z klasy III do IV. Wymagają one więcej lekcji, niż się zwolni po przeniesieniu pewnych tematów z klasy VI do gimnazjum. W społeczeństwie silna jest obawa, czy 6-latki dadzą sobie radę w I klasie. Matematyczne wymagania dotyczące 6-latków są opracowane na miarę dzieci w tym wieku, wątpliwości budzi natomiast to, czy dotychczasowi nauczyciele klas I-III przestawią się na metodykę odpowiednią dla dzieci o jeden rok młodszych. 46

Jak wypadnie realizacja materiału w nowej klasie IV? Skok między nauczaniem początkowym może być spotęgowany przez to, że nauczyciele mający wyższe wykształcenie matematyczne nigdy nie pracowali z dziećmi 9-letnimi i nieraz nie są w pełni świadomi, jak wielkie są różnice między 9-latkiem, a 10-latkiem. Konieczne będzie wolniejsze tempo pracy w IV klasie, mniej abstrakcji, więcej konkretnych czynności takich, jak rozcinanie kół na początku nauki o ułamkach (rozcinanie nożyczkami, a nie jedynie w myśli), a także wiele innych elementów dotychczasowej klasy III. 47

W liceum oczywiście kluczowym problemem będzie obowiązkowa matura z matematyki. 48

semadeni@mimuw.edu.pl Kończąc, podaję swój adres mailowy: Mam ten referat na dysku i jeśli ktoś przyśle mi prośbę, dostanie jego kopię. 49