Efekty relatywistycz--ne

HIPOTEZA STACJONARNE-GO ETERU

Ponad 80 lat temu Albert Einstein na konferencji w Lejdzie powiedział: "Przestrzeń bez eteru jest nie do pomyślenia, ponieważ niemożliwe byłoby wówczas nie tylko rozchodzenie się światła, ale sama przestrzeń nie mogłaby istnieć" Powiedział również: "Nie udały się wszystkie nasze próby stworzenia z eteru czegoś realnego. Ze wszystkich własności eteru nie pozostało nic poza własnością, dla której został wymyślony, tzn. poza możliwością przekazywania fal elektromagnetycznych. Wszystkie dążenia do odkrycia własności eteru prowadziły do trudności i do sprzeczności. Po tylu niepowodzeniach następuje chwila, kiedy należy zupełnie zapomnieć o eterze i starać się w ogóle o nim nie wspominać. Będziemy mówili: nasza przestrzeń ma fizyczną własność transmitowania fal - w ten sposób zapobiegamy stosowaniu pojęcia, którego zdecydowaliśmy się wyrzec". Od tego czasu eter znika ze słownika fizyki. Przez ponad 80 lat tworzono modele budowy i ewolucji Wszechświata, nie uwzględniając ośrodka tworzącego przestrzeń.

ETER - hipotetyczny ośrodek, w którym miałyby się rozchodzić fale elektromagnetyczne oraz światło. Hipotezę istnienia eteru postawiono gdyż do tego czasu wszystkie odkryte fale rozchodziły się w jakimś ośrodku jako drgania mechaniczne, fale elektromagnetyczne, a także światło (o którym nie wiedziano, że jest falą elektromagnetyczną) nie potrzebowały powietrza do rozchodzenia. Wielu badaczom wydawało się, że istnienie eteru jest naturalną koniecznością dla ówczesnej nauki, by elektrodynamika Maxwella była słuszna. Najpierw postawiono hipotezę o istnieniu "eteru światłonośnego", potem Maxwell wprowadził do nauki koncepcję "eteru elektromagnetycznego", a następnie udowodnił, że jest on tożsamy z "eterem światłonośnym". Doprowadziło go to do odkrycia elektromagnetycznej natury światła.

W napisanym dla "Encyclopedia Britannica" artykule "Eter" Maxwell pisał: "Jakiekolwiek możemy mieć trudności z uformowaniem spójnej idei budowy eteru, nie możemy mieć wątpliwości, że międzyplanetarne i międzygwiezdne przestrzenie nie są puste, ale zajęte przez materialną substancję czy ciało, które jest z pewnością największym i prawdopodobnie najbardziej jednorodnym ciałem o jakim wiemy" [1]. Niemożność bezpośredniego wykrycia takiej substancji składano na karb ograniczeń eksperymentalnych. Istniały jednak pośrednie metody doświadczalne umożliwiające badanie eteru - przypuszczano, że eter wypełnia całą przestrzeń, jest bezwonny, nieściśliwy, etc. Do prób tych należały doświadczenia Michelsona-Morleya, które konsekwentnie wykluczały kolejne teoretyczne możliwości istnienia eteru. Istotnym elementem tych poszukiwań był fakt, że istnienie eteru implikowałoby istnienie absolutnego układu odniesienia - wyróżnionego układu do którego można byłoby się odnieść w opisie Wszechświata, co oznaczałoby także, iż spośród wszystkich ukladów inercjalnych istnieje jeden wyróżniony. Doświadczenia tego typu były wykonywane wielokrotnie, do najbardziej znanych należą eksperymenty R. J. Kennedy'ego oraz E. M. Thorndike'a (1929-1931) - wynik prawie zawsze jednoznacznie wskazywał, że eter nie istnieje. Niejednoznaczne wyniki były wykluczane później przez poprawienie metody bądź dokładności eksperymentu. Dzisiaj nie ma żadnego eksperymentu, który wskazywałby na istnienie eteru. Szczególna Teoria Względności Alberta Einsteina usunęła konieczność istnienia takiego ośrodka. Konsekwencją teorii jest postać transformacji układu współrzędnych obowiązującej dla ciał w ruchu zamiast transformacji Galileusza - transformacja Lorentza.

Szczególna teoria względności Teoria fizyczna, którą stworzył Albert Einstein w 1905 roku. Zmieniła ona podstawy postrzegania czasu i przestrzeni opisane wcześniej w newtonowskiej mechanice klasycznej, tak aby można było usunąć trudności interpretacyjne i sprzeczności pojawiające się na styku mechaniki (zwanej obecnie klasyczną) i elektromagnetyzmu po ogłoszeniu przez Jamesa Clerka Maxwella teorii elektromagnetyzmu. W 1916 roku Albert Einstein opublikował ogólną teorię względności, będącą rozszerzeniem teorii szczególnej o opis zjawisk zachodzących w obecności pola grawitacyjnego.

Postulaty szczególnej teorii względności Albert Einstein oparł swe rozumowanie na dwóch postulatach: Zasadzie względności Zasada głosząca, że prawa fizyki są jednakowe we wszystkich układach inercjalnych — musi obowiązywać dla wszystkich praw zarówno mechaniki jak i elektrodynamiki. Niezmienność prędkości światła Prędkość światła w próżni jest taka sama dla wszystkich obserwatorów, taka sama we wszystkich kierunkach i nie zależy od prędkości źródła światła. Z połączenia postulatów 1 i 2 dojdziemy do wniosku, że światło nie potrzebuje jakiegokolwiek ośrodka (eteru) do rozchodzenia się. Alternatywna forma założeń Szczególnej Teorii Względności, interesującą szczególnie z teoretycznego punktu widzenia, jest oparta na następujących, prostszych założeniach: Zasada względności Galileusza: "Wszystkie układy odniesienia poruszające się względem siebie ze stałą prędkością są równoważne." założenie że transformacja pomiędzy tak określonymi układami jest transformacją afiniczną (liniową z ewentualnie wyrazem stałym); Powyższe założenia pozwalają wyprowadzić ogólną postać transformacji pomiędzy układami inercjalnymi, która okazuje się mieć matematyczną postać transformacji Lorentza. Zawiera ona w szczególności jeden parametr, stałą o wymiarze odwrotności prędkości, którą należy interpretować jako odwrotność prędkości granicznej: maksymalna prędkość z jaką mogą poruszać się obserwatorzy, stałą we wszystkich inercjalnych układach odniesienia. Hipotetyczna zerowa wartość odwrotności tej prędkości oznaczałaby nieskończoną prędkość graniczną (brak prędkości granicznej) i transformacja byłaby tożsama z transformacją Galileusza. Jeśli dodatkowo skorzystamy z równań Maxwella, okaże się, że warunek zgodności z tymi równaniami prowadzi do wniosku, że musi być ona równa prędkości światła w próżni. Warto jednak pamiętać, że "założenie o stałości prędkości światła" jest jedynie historycznym artefaktem rozwoju STW a nie koniecznym założeniem teorii.

Popularne ujęcie najważniejszych wniosków Einstein stwierdził, że wszystkie konsekwencje szczególnej teorii względności mogą być znalezione, gdy zastosuje się transformatę Lorentza. Przekształcenia wynikające z transformaty Lorentza, a więc i szczególnej teorii względności, prowadzą do różnych fizycznych wniosków w porównaniu do mechaniki Newtona przy względnych prędkościach porównywalnych do prędkości światła. Prędkość światła jest nieporównywalnie większa niż prędkości z którymi ludzie się spotkają na codzień, dlatego też niektóre wnioski szczególnej teorii względności są początkowo sprzeczne z intuicją: Dylatacja czasu — czas jaki mija pomiędzy dwoma zdarzeniami nie jest jednoznacznie określony, lecz zależy od obserwatora. Zjawisko prowadzi do paradoksu bliźniąt. Czas trwania zjawiska, zachodzącego w punkcie przestrzeni, obserwowany z punktów poruszających się względem tego punktu, jest dłuższy niż czas trwania tego zjawiska w układzie odniesienia, w którym punkt ten spoczywa. Względność jednoczesności — dwa zdarzenia określone przez jednego obserwatora, nie są jednoczesne dla innego obserwatora. Kontrakcja przestrzeni — odległości między punktami zależą od układu. Wszystkie poruszające się przedmioty obserwujemy jako krótsze. Zjawisko prowadzi do paradoksu drabiny — drabina, o długości większej niż długość stodoły, zmieści się w niej w całości, jeżeli będzie poruszała się odpowiednio szybko. Wartości innych wielkości fizycznych takich jak siła, pęd, przyspieszenie, natężenie pola elektrycznego zależą od obserwatora. Nowa reguła składania prędkości — prędkości nie „dodają się”. Przykładowo: jeżeli rakieta oddala się z prędkością 2/3 prędkości światła w stosunku do obserwatora i rakieta wysyła pocisk z prędkością 2/3 prędkości światła w stosunku do rakiety, obserwator nie zanotuje prędkości (2/3 + 2/3 = 4/3 prędkości światła) przewyższającej prędkości światła. W tym przykładzie, obserwator widziałby pocisk z poruszający się z szybkością 12/13 prędkości światła. Masa jest równoważna energii a związek między tymi wielkościami opisuje wzór E = mc2. Zwiększenie energii układu zwiększa jego masę, zmniejszenie energii powoduje zmniejszenie masy. I odwrotnie ubytek masy oznacza ubytek energii układu (Deficyt masy).

Podstawowe założenia W STW zakłada się, że nasz wszechświat opisujemy jako czterowymiarową czasoprzestrzeń. Punkty w czasoprzestrzeni nazywane są zdarzeniami. Każdy punkt odpowiada zjawisku fizycznemu o bardzo małych rozmiarach i bardzo krótkim czasie trwania. Natomiast rzeczywistym zjawiskom fizycznym (np. ruch piłki) odpowiada linia ciągła w czasoprzestrzeni, która nazywana jest linią świata (np. piłki). Czasoprzestrzeń określa tylko "ruch" obiektu (ciała fizycznego) posiadającego też inne charakteryzujące go wielkości fizyczne jak: energia, pęd, masa, ładunek itp. Dodatkowo do zdarzeń przypisani są inercjalni obserwatorzy. Zazwyczaj łączy się ich z fizycznymi obiektami. Każdy niepoddany przyśpieszeniu obserwator może być opisany jako inercjalny układ odniesienia, lokalizujących jednoznacznie zdarzenia. Układ odniesienia umożliwia podanie wszystkich innych wielkości opisujących obiekty fizyczne. W układzie odniesienia określa się, choć niekoniecznie, układ współrzędnych, który wraz z przyjętymi jednostkami, umożliwia wyrażenie zdarzenia jako czwórki liczb, bo czasoprzestrzeń jest czterowymiarowa. Wybór osi i ich jednostek jest w zasadzie dowolny ale tradycyjne jedna z osi odpowiada czasowi, pozostałe osiom układu w przestrzeni, stosowano kilka układów; A Einstein używa tradycyjnego układu współrzędny (x,y,z) oraz czasu t, Minkowski wprowadza czasoprzestrzeń (x1, x2, x3, x4) gdzie , w obecnych opracowaniach często używa się układów (x0, x1, x2, x3) gdzie x0 = ct lub (x1, x2, x3, x4) gdzie x4 = ct. Przyjęta konwencja określa też związek między jednostką czasu i przestrzeni. Jeżeli przyjęto, jednostki używane w układzie SI, to czas jest mierzony w sekundach, a położenie w metrach, przyjęcie jednakowych jednostek, co jest często stosowane w opracowaniach teoretycznych upraszcza wzory a prędkość światła jest wielkością bezwymiarową i równą 1. Zakłada się, że dla dwóch inercjalnych układów odniesienia (obserwatorów) istnieje transformacja współrzędnych, która przekształca współrzędne jednego układu odniesienia na współrzędne drugiego układu odniesienia. Transformacja ta określa nie tylko przekształcenie współrzędnych czasoprzestrzeni, ale także wartości innych wielkości fizycznych np. pędu i energii (p1, p2, p3, E). Zakłada się także, że wszechświat jest opisywany przez prawa fizyczne w postaci równań. Matematycznie każde prawo może być wyrażone w odniesieniu do współrzędnych określonych w inercjalnym układzie odniesienia jako układ równań, które są kowariantne względem współrzędnych, to znaczy ich postać matematyczna pozostaje niezmienna po dokonaniu zmiany układu odniesienia. Przykładem takich praw są równania Maxwella.

DOŚWIADCZENIE: W wagonie drzwi otwierają się na fotokomórke obserwator w środku wagonu stwierdza że drzwi otwierają się jednoczenie. Obserwator stojący na zewnątrz wagonu stwierdza, że szybciej otwierają się jedne z drzwi. WNIOSEK: Dwa zderzenia równoczesne poruszającym się układzie odniesienia nie musza być równoczesne w układzie spoczywającym.

Doświadczenie Michelsona-Morleya Eksperyment zaliczany obecnie do najważniejszych doświadczeń w historii fizyki. Miał na celu, poprzez porównanie prędkości światła w różnych kierunkach względem Ziemi, wykazanie ruchu Ziemi względem hipotetycznego eteru. Doświadczenie zostało przeprowadzone po raz pierwszy w 1881 przez Alberta Abrahama Michelsona, który w 1887 powtórzył je wraz z Edwardem Morleyem. Dało ono wynik negatywny (tj. wykazało niezależność prędkości światła od prędkości Ziemi w przestrzeni), co stało się doświadczalnym potwierdzeniem stałości prędkości światła w każdym układzie odniesienia, czyli ostatecznie wykluczyło istnienie eteru.

Powód przeprowadzenia eksperymentu Wiatr eteru wywołany ruchem Słońca i Ziemi wokół Słońca. Fizyka w XIX w. zakładała, że fale rozprzestrzeniają się tylko w ośrodkach sprężystych (przykładowo dźwięk - w powietrzu). Światło jako fala też powinna rozprzestrzeniać się w jakimś ośrodku, ośrodek ten nazywano eterem. Eter miałby przenikać całą przestrzeń, powinien pozostawać w spoczynku względem Wszechświata i powinien wyznaczać absolutny układ odniesienia. Prędkość światła powinna być stała względem tego ośrodka, a dla obserwatorów poruszających względem eteru prędkość światła powinna być inna i równa różnicy wektorowej prędkości światła w ośrodku i prędkości obserwatora względem ośrodka. Ziemia wraz ze Słońcem porusza się względem Wszechświata, do tego dochodzi ruch Ziemi wokół Słońca z prędkością 30 km/s. James Clerk Maxwell zauważył, że mierząc prędkość światła w różnych okresach roku lub doby można by wyznaczyć prędkość ruchu Ziemi względem eteru, ale nie wierzył w możliwość wykonania doświadczenia z wystarczająco dużą dokładnością.

Doświadczenie Michelsona Albert Michelson, po zapoznaniu się z pomysłami Maxwella, obmyślił sposób przeprowadzenia doświadczenia. Uznał, że do określenia prędkości wiatru eteru nie potrzeba wyznaczać prędkości światła, wystarczy porównać prędkość światła w różnych kierunkach. Skonstruował przyrząd zwany interferometrem Michelsona. W interferometrze wiązka światła zostaje podzielona półprzezroczystą płytką na dwie prostopadłe wiązki, które po odbiciu od zwierciadeł i po powtórnym przejściu przez płytkę trafiają do teleskopu, w którym widać jasne i ciemne prążki jako wynik interferencji obu wiązek. Obraz interferencji zależy od różnicy czasu przebiegu obu wiązek miedzy płytką a zwierciadłami, bo w pozostałej części drogi światła obie wiązki biegną tą samą drogą. Gdyby czas przebycia światła między płytką a zwierciadłem 1 zmienił się o inną wartość niż czas dla drugiej drogi, to układ prążków interferencyjnych przesunąłby się. W ten sposób można wyznaczyć nawet niewielkie różnice w prędkości rozchodzenia się światła. Gdyby istniał wiatr eteru, wystarczyłoby obrócić interferometr, a układ prążków powinien przesuwać się. Michelson, jako dokładny obserwator, oszacował że dokładność pomiaru urządzenia jest 4 razy większa od przesunięcia prążków, jakie powinien uzyskać dla prędkości ruchu Ziemi wokół Słońca. Ku swojemu zaskoczeniu nie wykrył ruchu prążków. Wynik doświadczenia był zdumiewający dla ówczesnych fizyków, powszechnie wątpiono w prawdziwość i dokładność pomiaru. Ilustracja doświadczenia Michelsona-Morleya A - źródło światła monochromatycznego B - półprzepuszczalna płytka C - Zwierciadła D - Ekran

Drugie doświadczenie Wyjaśnienie Michelson postanowił powtórzyć doświadczenie, dokonał tego razem z E. Morleyem. W doświadczeniu tym zwiększono dziesięciokrotnie długość drogi światła, zwiększając dokładność pomiaru. By zapobiec nawet najmniejszym drganiom zwierciadeł, układ interferometru pływał w korytach wypełnionych rtęcią. Pomimo takiej precyzji i przeprowadzenia wielu doświadczeń w wielu kierunkach, przez rok nie zauważono zmian w układzie prążków interferencyjnych. W wynikach doświadczenia Michelson i Morley ogłosili, że prędkość Ziemi jest mniejsza od 5 km/s. Na początku XX w. doświadczenie było wielokrotnie powtarzane w różnych warunkach i zawsze z takim samym skutkiem. Wyjaśnienie Jedną z hipotez przedstawił Hendrik Antoon Lorentz. Zaproponował, że ruch ciał względem eteru skraca długość ciała o czynnik           . Było to początkiem przekształcenia znanego obecnie jako transformacja Lorentza. Ostatecznym wyjaśnieniem tego efektu i upadku koncepcji eteru było ogłoszenie przez A. Eisteina w 1905 roku założeń szczególnej teorii względności z jej głównym postulatem głoszącym, że prędkość światła w próżni jest jednakowa we wszystkich inercjalnych układach odniesienia.

(ur. 14 marca 1879 w Ulm w Niemczech, Zm (ur. 14 marca 1879 w Ulm w Niemczech, Zm. 18 kwietnia 1955 w Princeton w USA) POSTULATY EINSTEINA

Przyjmuje się dwa postulaty (częściowo wspomniane już wcześniej), teraz wyrażone w języku STW Liniami świata punktu materialnego, na który nie działa żadna siła, jest linia prosta w czasoprzestrzeni. Liniami świata światła są linie proste. Linie te są nachylone zawsze pod takim samym kątem do osi czasu, w każdym układzie odniesienia. Postulat pierwszy odpowiada pierwszej zasadzie dynamiki Newtona z mechaniki klasycznej. Drugi jest wyrażeniem w języku geometrii postulatu o stałej prędkości światła dla każdego obserwatora. Oba postulaty wynikają z doświadczenia. Wszystkie linie świata światła wysłanego z jednego punktu w jednej chwili spełniają równanie, które odpowiada równaniu powierzchni stożka, którego osią jest oś czasu, ale w przestrzeni czterowymiarowej, powierzchnie te nazywamy stożkiem świetlnym światła wychodzącego. Podobnie wszystkie promienie świetlane docierające do punktu w jednej chwili tworzą powierzchnię stożka, a powierzchnia ta jest nazywana stożkiem świetlnym światła przychodzącego. By umożliwić przedstawienie graficzne czasoprzestrzeni pomija się na rysunkach jej jeden wymiar przestrzenny, a oś odpowiadającą czasowi skaluje się odpowiednio do rysunku, zazwyczaj w jednostkach (rysunek stożka świetlnego). Stożek światła

Przy wyżej opisanych założeniach (relatywność praw i niezmienność prędkości światła) okazuje się, że różni obserwatorzy obserwują, to samo zdarzenie w różnych momentach czasowych i w różnych punktach przestrzennych. Zasady przeliczania (transformacji) współrzędnych obserwatorów poruszających się wzdłuż osi x określa transformacja Lorentza: Z wzorów tych wynika, że dla obserwatora będącego w ruchu czas płynie wolniej, a odległość zmniejsza się (szczegóły w artykule o transformacji Lorentza). Wolniejszy upływ czasu u obserwatora poruszającego się nazywany jest dylatacją czasu, a zmniejszanie przestrzeni kontrakcją przestrzeni.

Transformacja Lorentza nie zmienia (jest on jednakowy dla wszystkich obserwatorów):                                     lub                                                  Wielkość ta (symbol ze wzoru) jest nazywana interwałem czasoprzestrzennym.

Przestrzeń z tak określonym niezmiennikiem nazywana jest przestrzenią Minkowskiego i odpowiada on odległości w przestrzeni zwykłej (przestrzeń Euklidesa). O ile odległość różnych punktów jest liczbą większą od zera, to w czasoprzestrzeni interwał czasoprzestrzenny może być dowolną liczbą (ujemną, zero lub dodatnią), używa się następujące określenia: Jeżeli interwał jest większy od zera to mówi się, że punkty (zdarzenia) są położone czasowo. Na rysunku stożków świetlnych punkt B jest położony czasowo względem punktu A. Każdy punkt w stożku świetlnym danego punktu jest położony względem niego czasowo. Przy czym obszar "górnego" stożka to absolutna przyszłość, "dolnego" to absolutna przeszłość. Jeżeli interwał jest mniejszy od zera - przestrzennie. Na rysunku - punkt C jest położony przestrzennie względem punktu A. Każdy punkt czasoprzestrzeni położony poza stożkami świetlnymi ma położenie przestrzenne. Dla punktów położonych przestrzennie można znaleźć układ odniesienia w którym oba zdarzenia występują jednocześnie, w innych może być wcześniej lub później dlatego cały obszar poza stożkami świetlnymi nazywa względną teraźniejszością. Jeżeli interwał jest równy zero - zerowo. Każdy punkt leżący na powierzchni stożka świetlnego ma położenie zerowe.

Podział ten ma ważny sens fizyczny: zdarzenia położone czasowo można osiągnąć przez wysłanie lub odebranie cząstki obdarzonej masą, zdarzenia położone przestrzennie są nieosiągalne, zdarzenia o interwale zerowym można osiągnąć wysyłając lub odbierając sygnał świetlny. Zdarzenia położone czasowo lub zerowo na "dolnym" stożku świetlnym mogą wpływać (mogą być przyczyną) rozpatrywanego zdarzenia, położone na stożku "górnym" mogą wynikać z rozpatrywanego zdarzenia (być skutkiem), a położone przestrzennie nie mogą mieć związku. Bardzo ważnym wnioskiem wypływającym z tych rozważań jest ograniczenie szybkości oddziaływań fizycznych. Żadne zjawisko swoimi skutkami nie może wybiegać poza stożek świetlny, bo złamałoby zasadę przyczynowości i potrafilibyśmy przesłać sygnał do zdarzeń które już były (w innym układzie odniesienia). Dla przykładu jeżeli w punkcie A wybuchnie supernowa, to obserwator w punkcie B ją dostrzeże, ale ten w punkcie C już nie będzie widział eksplozji. Zjawisko to, jest podobne do sytuacji człowieka stojącego na powierzchni ziemi. Nie widzi on niczego, co dzieje się poza horyzontem, mimo że coś tam się znajduje. Powierzchnia stożka światła, odpowiada właśnie linii tego horyzontu w czasoprzestrzeni. Podobnie jak obserwator na ziemi ten w punkcie C, może się przemieścić. Co więcej jedna z osi czasoprzestrzennego układu współrzędnych, to czas. Obserwator w punkcie C porusza się stale zgodnie ze zwrotem tej osi, nawet jeżeli stoi w miejscu w zwykłej przestrzeni. Wniosek ten jest zgodny z codziennym doświadczeniem. Astronomowie nie mogą obserwować odległych gwiazd w ich dzisiejszym stanie. Często widzą ich światło wyemitowane nim praludzie pierwszy raz spojrzeli w gwiazdy.

Transformacja Lorentza Ustalenia początkowe: Rozpatrujemy dwa inercjalne układy odniesienia – zwykły XYZ i oznaczany ‘ (primem) X’Y’Z’. Oba układy mają równolegle położone osie X Y Z. W chwili początkowej środki obu układów pokrywają się – czyli: x (t = 0) = x’(t’= 0) = 0 y (t = 0) = y’(t’= 0) = 0 z (t = 0) = z’(t’= 0) = 0 Prędkość układu primowanego względem układu nieprimowanego wynosi v i jest skierowana wzdłuż osi X-ów zgodnie z jej zwrotem.

Wzory transformacyjne Oto wartości poszczególnych współrzędnych dla zdarzenia mającego w układzie nieprimowanym współrzędne: x, y, z, t: z' = z y' = y x' = γ ( x – vt ) t' = γ ( t – x β/c )

Wzory transformacyjne - transformacja odwrotna: z = 'z y = y' x = γ ( x’ + v t’ ) t = γ ( t’ + x’ β/c )

Dylatacja czasu Jest to zjawisko różnic w pomiarze czasu dokonywanym równolegle w dwóch różnych układach współrzędnych, z których jeden przemieszcza się względem drugiego. Zjawisko przewidziane w szczególnej teorii względności Alberta Einsteina i następnie potwierdzone doświadczalnie. Obserwacja dylatacji czasu kłóci się z klasycznym postrzeganiem czasu, podstawowymi założeniami teorią względności Galileusza, która stanowiła podstawę rozumienia pojęć czasu i przestrzeni przed przyjęciem szczególnej teorii względności A. Einsteina. Ogólna teoria względności opisuje też zjawisko grawitacyjnej dylatacji czasu występujące wokół każdego skupiska masy. Spowolnienie szybkości czasu przy stosunkowo małych w skali kosmosu masach jest praktycznie niezauważalne, np. na powierzchni Ziemi (w odległości ok. 6400 km od środka ciężkości masy ok. 6x1024 kg) prędkość czasu jest mniejsza tylko o ok. 0.00000000007 (11 zer) jego normalnej prędkości. Przy wielkich, skoncentrowanych masach i prędkościach zbliżonych do prędkości światła, dylatacja czasu jest już jednak taka, że czas może niemalże "stanąć" - w stosunku do obserwatora usytuowanego odpowiednio daleko od punktu koncentracji masy lub nie poruszającego się razem z obiektem wewnątrz którego dokonywany jest pomiar. W ogólnej teorii względności dylatacja czasu tłumaczy zjawisko siły grawitacji, przyjmując, że oddziaływanie grawitacyjne nie istnieje jako rodzaj oddziaływań, a jest efektem zakrzywienia czasoprzestrzeni wokół masy.

Wielkość dylatacji W szczególnej teorii względności czas w przebiegu tego samego zjawiska może być opisany zależnościami: gdzie: Δt0 - upływ czasu wskazany przez zegar poruszający się, Δt - upływ czasu wskazany przez zegar nie poruszający się , czynnik Lorentza, v - względna prędkość ruchu układów c - prędkość światła w próżni. Oznacza to, że gdybyś oglądał kogoś lecącego rakietą, z prędkością bliską prędkości światła, to wydarzenia w jej wnętrzu zachodziłby tam nienaturalnie powoli - czas płynąłby w jej wnętrzu wolniej. I żeby było ciekawiej osoba lecąca rakietą dokonałaby takich samych obserwacji patrząc na Ciebie. I w obu wypadkach byłyby to obserwacje słuszne. Spowolnienie szybkości biegnięcia czasu dookoła masy m jako funkcja odległości r od jej środka wyraża się przez gdzie: G - stała grawitacji Newtona (6.67x10-11 m3/kgs2), c - prędkość światła w próżni (3x108 m/s).

PARADOKS BLIŹNIĄT Jest eksperymentem myślowym w szczególnej teorii względności, którego pozorna sprzeczność ma wskazywać na nieprawdziwość szczególnej teorii względności. Pozorny paradoks wynika z rozumowania niezgodnego ze szczególną teorią względności — jak w wielu z tego typu paradoksów, sprzeczność pojawia się w momencie niewłaściwego jej zastosowania. Paradoks bliźniąt ma ogromne znaczenie dydaktyczne, gdyż jest bardzo często wykorzystywanym zagadnieniem na przykładzie którego tłumaczone są konsekwencje szczególnej teorii względności, a dokładna analiza pomogła zrozumieć tę teorię wielu pokoleniom uczniów.

Opis doświadczenia myślowego Na Ziemi (w dowolnym punkcie wszechświata, dodatkowo zakładamy, że Ziemia jest układem inercjalnym) rodzą się bliźnięta, jeden z nich pozostaje na Ziemi, drugi jest wysłany bardzo szybkim (jeśli efekt ma być znaczący, to prędkość rakiety powinna być porównywalna z prędkością światła) statkiem kosmicznym w przestrzeń kosmiczną, po pewnym czasie zawraca, ląduje na Ziemi i spotyka się ze swoim bratem bliźniakiem. Rozważmy teraz owo zagadnienie na gruncie szczególnej teorii względności z punktu widzenia obu braci. Wiemy o tym, że zgodnie ze szczególną teorią względności czas w poruszającym się układzie odniesienia płynie wolniej. Bliźniak pozostający na Ziemi spodziewa się, że skoro to jego brat-kosmonauta poruszał się względem niego, to skoro dylatacja czasu jest prawdą, to po powrocie brat-kosmonauta powinien być młodszy Bliźniak-kosmonauta może myśleć podobnie. W jego układzie odniesienia to właśnie brat pozostały na Ziemi poruszał się względem niego, a więc to na Ziemi czas powinien płynąć wolniej, czyli to bliźniak na Ziemi powinien być młodszy od bliźniaka-kosmonauty. Ale przecież bracia nie mogą mieć obaj racji (!)

Który z bliźniaków ma rację? Przede wszystkim zauważmy, że nieprawdą jest, że układy obu braci są równoważne. Tylko z jednym z nich można związać układ inercjalny. Gdyby obaj bracia mieli zawsze poruszać się względem siebie ze stałą prędkością, to nigdy, poza momentem wyruszania kosmonauty w podróż, nie spotkaliby się. Paradoks ten wynika z błędnego opierania się na szczególnej teorii względności. Nie mówi ona bowiem, że wszyscy obserwatorzy są jednakowi, a jedynie że jednakowi są obserwatorzy w obrębie układów równoważnych z układem inercjalnym, tzn. takiego, które poruszają się względem siebie bez przyspieszenia. W tym przypadku brat-kosmonauta musi jednak zmienić swoją prędkość (czyli mieć pewne przyspieszenie) kiedy zawraca rakietę. Nie znajduje się on więc w tym samym układzie inercjalnym, co na początku. Rację ma więc jego brat. Rozpatrzmy teraz przykład z bliźniakami, każdy z nich ma swój zegar, zegary startują w momencie startu rakiety. Bracia zobowiązują się do wysyłania sygnałów "życzeń" co 1 rok według wskazań swoich zegarów, brat astronauta po przebyciu drogi 5 lat świetlnych zawraca i powraca na Ziemię. Dla uproszczenia pominiemy problemy związane z rozpędzaniem, zawracaniem i zatrzymywaniem rakiety, przeciążeniami i wszystkie inne efekty. Sytuację przedstawia wykres, położenie/czas w układzie odniesienia związanym z Ziemią. Sygnał "życzeń" biegnie z prędkością światła, dla czytelności dobieramy jednostki osi tak by światło biegło pod kątem 45 stopni do osi układu współrzędnych, układ ten odpowiada latom na osi czasu i latom świetlnym na osi przestrzeni (położenia). Prędkość statku kosmicznego około 0,7454 prędkości światła (na rysunku i do dalszych obliczeń przyjęto 0,75) dobrano tak by czynnik Lorentza a jego odwrotność 1,5 (patrz skala na osi czasu w rakiecie). Wyjaśnienie ekspresowe: wystarczy policzyć (można na wykresie) ile życzeń wysłał każdy z braci, aby dowiedzieć się ile lat im przybyło. I tak brat na Ziemi wysłał (czerwone linie) 12 komunikatów, przybyło mu więc ponad 12 lat, zaś brat w statku wysłał 8 (zielone linie), czyli przybyło mu ponad 8 lat. Zatem brat na statku jest o blisko 4 lata młodszy.

Paradoks_bliźniąt.

Skrócenie długości Skrócenie długości w pewnym stopniu  częściowo wynika z faktu spowolnienia czasu. Jeśli gdzieś odległość między punktami będziemy mierzyć czasem lotu promienia świetlnego, to krótszy czas lotu, w innym układzie odniesienia, automatycznie będzie odpowiadał mniejszej odległości. Precyzyjne okazanie zjawiska skrócenia długości w układzie poruszającym się jest bardziej skomplikowane, niż to ma miejsce w przypadku dylatacji czasu. Najpierw ustalmy na czym polega pomiar długości. Sprawa jest o tyle skomplikowana, że dla bardzo szybko poruszających się obiektów nie sposób jest przyłożyć miarki aby odczytać ile dany odcinek ma metrów, czy centymetrów. Trzeba więc posłużyć się inną metodą. Einstein zaproponował tu wykorzystanie światła (wciąż to światło...). Jeżeli obiekt spoczywa, to po prostu wyznaczamy czasy w jakich promień świetlny leci do nas od jednego i drugiego końca odcinka. Gdy odcinek się porusza, to złapanie promienia nie jest też takie proste – przecież cały czas początek i koniec mierzonego odcinka zmieniają położenie i nie bardzo wiadomo, które punkty ze sobą porównywać. Zajmijmy się jednak najpierw tym prostszym przypadkiem. Wiadomo jeśli w linii prostej do początku odcinka jest 4m, a do końca 10m to długość odcinka będzie równa 6m.

Można też wyznaczać odległości od końców odcinka mierząc odległości od środka odcinka: W przypadku odcinka w ruchu, wyznaczanie odległości jest trudniejsze, bo zarówno początek, jak i koniec odcinka bez przerwy się nam przesuwają. Dlatego niezwykle ważne jest, aby przypilnować tego, że położenia początku i końca trzeba wyznaczyć w tym samym czasie. Bo odległość między poruszającymi się punktami, wyznaczana w różnych momentach nie da nam na pewno dobrej długości odcinka.

Do końców mierzonego odcinka przyczepimy zwierciadła.    Do końców mierzonego odcinka przyczepimy zwierciadła.    Do końców mierzonego odcinka przyczepimy zwierciadła.    Do tych zwierciadeł będziemy wysyłać promienie świetlne. Mierząc czas, po którym odbity promień wróci, będziemy mogli wyznaczyć odległość zwierciadła w momencie odbicia Promienie świetlne będziemy wysyłać gdzieś z punktu położonego między zwierciadłami - tam będzie źródło sygnału radarowego sprzężone z detektorem, czyli z odbiornikiem promieni. Detektor będzie oczywiście wyposażony w zegar umożliwiający określenie czas lotu promieni świetlnych.    Do tych zwierciadeł będziemy wysyłać promienie świetlne. Mierząc czas, po którym odbity promień wróci, będziemy mogli wyznaczyć odległość zwierciadła w momencie odbicia Promienie świetlne będziemy wysyłać gdzieś z punktu położonego między zwierciadłami - tam będzie źródło sygnału radarowego sprzężone z detektorem, czyli z odbiornikiem promieni. Detektor będzie oczywiście wyposażony w zegar umożliwiający określenie czas lotu promieni świetlnych. Aby więc zagwarantować, określanie końców odcinka w tym samym czasie proponuję użycie następującej metody:    Do końców mierzonego odcinka przyczepimy zwierciadła.    Do tych zwierciadeł będziemy wysyłać promienie świetlne. Mierząc czas, po którym odbity promień wróci, będziemy mogli wyznaczyć odległość zwierciadła w momencie odbicia Promienie świetlne będziemy wysyłać gdzieś z punktu położonego między zwierciadłami - tam będzie źródło sygnału radarowego sprzężone z detektorem, czyli z odbiornikiem promieni. Detektor będzie oczywiście wyposażony w zegar umożliwiający określenie czas lotu promieni świetlnych. Aby zagwarantować, że odbicie od obu końców zajdzie jednocześnie, można postąpić tak: co niewielki ułamek sekundy wysyłane są promienie świetlne w obie strony. Każdy wysłany promień światła różni się minimalnie kolorem od poprzedniego. Później, gdy będziemy analizować światło odbite weźmiemy pod uwagę tylko te promienie, które wrócą jednocześnie i będą miały ten sam kolor (aby nie było sytuacji, w której od odebraliśmy jeden promień odbity od zwierciadła wcześniej, a drugi później, co jest możliwe gdyby punkty odbicia były w różnych odległościach od detektora). Zmierzony czas, po którym wysłane promienie wrócą po odbiciu będzie miernikiem długości odcinka – ponieważ każdy promień pokonuje swoją połówkę odcinka 2 razy to znaczy, że wystarczy wymnożyć czas lotu dowolnego z dwóch promieni przez prędkość światła, aby dostać szukaną długość odcinka.

Wyobraźmy sobie teraz, że nasz długość naszego odcinka będzie mierzona w dwóch różnych układach odniesienia:    Pierwszy układ odniesienia, to układ na sztywno związany z odcinkiem. Odcinek w nim spoczywa. Drugi układ odniesienia jest w ruchu względem odcinka, czy (co na to samo wychodzi) odcinek jest w ruchu względem niego Uwaga: na tym, i następnych rysunkach, mierniczego związanego z układem spoczywającym względem odcinka będę oznaczał kolorem zielonym, a mierniczego obserwującego odcinek w ruchu – niebieskim.

Rozważmy teraz jak będzie zachodził pomiar długości w tych układach odniesienia. 1 układ, w którym odcinek spoczywa (zielony) Tutaj sytuacja jest bardzo prosta – skoro nasz miernik odległości cały czas znajduje się dokładnie w środku odcinka, to promienie odbite będą miały identyczną drogę do przebycia i będą wracały jednocześnie. Czas powrotu wysłanych promieni pomnożony przez prędkość światła da nam długość odcinka. Nie ma znaczenia, w którym momencie te promienie będą wysłane – byle tylko zawsze startowały ze środka odcinka - i tak wszystkie wysłane promienie tego samego koloru będą wracać jednocześnie. Oczywiście inaczej byłoby, gdyby nasz miernik znajdował się nie w środku odcinka, dlatego można powiedzieć, że fakt jednoczesnego przyjścia promieni odbitych jest jednocześnie wskaźnikiem ustawienia detektora w środku.

2. pomiar odległości odcinka poruszającego się (dla obserwatora niebieskiego) Tutaj sytuacja jest znacznie bardziej skomplikowana. Dla obserwatora próbującego zmierzyć odcinek w ruchu, zwierciadła odbijające cały czas zmieniają swoje położenie. Przypadkowo wysłane promienie świetlne zapewne odbiją się od zwierciadeł w różnym czasie i dlatego nie dadzą nam informacji o długości odcinka. Np. gdybyśmy próbowali dokonać pomiaru wysyłając promień w chwili, gdy mija nas dokładnie środek odcinka, to jedno zwierciadło (na rysunku lewe) zdążyłoby się do momentu odbicia nieco przybliżyć do detektora (na rysunku o odcinek b). Drugie zwierciadło (prawe) miałoby za to czas, aby się oddalić. W efekcie promienie odbite nie wróciłyby jednocześnie do detektora, a my mielibyśmy odczyty położeń zwierciadeł dokonane w różnym czasie.

Dlatego aby zagwarantować, że odbicia od zwierciadeł będą następować w tym samym czasie, musimy zacząć wysyłać impulsy świetlne szybko jeden po drugim. Jeśli zaczniemy tak robić zaraz po tym jak detektor minie pierwszy koniec odcinka, to najpierw będą przychodzić impulsy odbite właśnie od przedniego zwierciadła (które oddala się od detektora), a dopiero po znacznie dłuższym czasie od zwierciadła tylnego. Jednak wraz z przesuwaniem się zwierciadeł czasy przylotu promieni będą się stawać coraz bliższe sobie – pierwsze zwierciadło będzie się od detektora oddalać, a drugie przybliżać. W pewnym momencie jeden z tych czasów spełni nasz warunek jednoczesnego przyjścia obu wysłanych promieni (zakładamy, że impulsy świetlne są wysyłane rzeczywiście bardzo często jeden po drugim) – i o ten właśnie przypadek nam chodzi. Zauważmy, że ów interesujący nas promień odbija się od obu zwierciadeł dokładnie w momencie, w którym środek odcinka mija obserwatora. Następne impulsy będą oczywiście przychodziły rozsynchronizowane, bo przednie zwierciadło oddali się już dalej niż tylnie.   Zastanówmy się teraz nad sytuacją w dojdzie do naszego właściwego pomiaru – tzn. gdy promienie wysłane do obu zwierciadeł jednocześnie wrócą do detektora. Wysłanie owego kluczowego impulsu powinno nastąpić nieco przed momentem, w którym środek odcinka wraz z mierniczym zielonym mija detektor niebieski.

Dzięki temu, podczas lotu promienia zwierciadła przesunie się na tyle, że samo odbicie od nich nastąpi dokładnie w chwili, gdy środek odcinka i oba detektory znajdą się tym samym punkcie. W tym samym momencie, gdy promienie będą jednocześnie odbijane od zwierciadeł, oba detektory znajdują się w jednym punkcie. Wtedy impulsy trafią parami jednocześnie do detektora, a czas ich lotu będzie miarą długości odcinka.  

Prawo składania prędkości Prędkość, wektorowa wielkość fizyczna określająca zmianę położenia ciała w czasie. Chwilową prędkość ciała określa wzór: ν=dr/dt, gdzie: r - wektor położenia ciała. Średnią prędkość oblicza się dzieląc przebytą drogę przez czas. W fizyce klasycznej obowiązuje prawo składania prędkości będące konsekwencją przekształcenia Galileusza: jeśli dwa ciała poruszają się z prędkościami odpowiednio równymi v1 i v2, to względna ich prędkość jest równa v1 - v2. W mechanice relatywistycznej, jak wynika z transformacji Lorentza, względną prędkość oblicza się w ogólnym przypadku ze wzoru: gdzie: c - prędkość światła w próżni. Dla ruchów zachodzących w jednym kierunku wzór ten upraszcza się do wyrażenia: W układzie SI jednostką prędkości jest m/s.

Relatywistyczna masa E = mc2 Einstein podał też wzór pokazujący, że masa nie jest niezmienna, lecz jej wartość (m) zwiększa się dla obserwatora, względem którego się ona porusza. gdzie m0 to masa w układzie, względem którego ona spoczywa, tzw. masa spoczynkowa. Wyraz powyższy można rozwinąć w szereg potęgowy: m = m0 / [1 – (v2/c2)]1/2 = m0 (1 + ½ v2/c2 + 3/8 v4/c4 +....) A więc: mc2 ≈ m0c2 + ½ m0v2 (energia kinetyczna) E = mc2 gdzie E – energia całkowita

Wzór ten pokazuje równoważność masy i energii Wzór ten pokazuje równoważność masy i energii. W teorii względności ciało poruszające się ma nie tylko energię kinetyczną, ale także energię związaną z masą spoczynkową. To właśnie 10 g tej masy, pochodzącej z jąder uranu, zostało zamienione na energię podczas wybuchu bomby atomowej w Hiroszimie. Ten ubytek masy spoczynkowej produktów względem substratów nazywamy defektem masy. Relatywistyczny pęd ma zatem wartość: m0 v / [1 – (v2/c2)]1/2 . Im większą ciało ma prędkość, tym większa jest jego masa. Jak już wiemy, masa jest miarą bezwładności, a więc tym trudniej dalej zwiększać prędkość ciała. Przy granicznej prędkości c, masa jest nieskończona, a więc potrzeba byłoby nieskończonej energii by ją ciału nadać. Ciała materialne nie mogą więc osiągnąć prędkości c, choć możliwe jest zbliżanie się do niej na dowolną odległość. Prędkości c nie możnaby też przekroczyć, bo teoretyczne ciało o nieskończonej masie miałoby nieskończoną bezwładność, a więc nie byłoby możliwe dalsze zwiększanie jego prędkości.

Pęd relatywistyczny  Klasyczna definicja pędu: Taka definicja pędu, w połączeniu z transformacją Einsteina dla prędkości nie zapewni nam jednak spełnienia zasady zachowania pędu! ( jest prędkością cząstki).  Nowa definicja pędu (która zapewni prawdziwość zasady zachowania pędu przy transformacji do dowolnego układu współrzędnych) podana przez Einsteina: gdzie: (uwaga! Podobieństwo oznaczeń, ale TO zależy od prędkości cząstki , a nie od prędkości poruszania się układu współrzędnych!).

 Dla tak zdefiniowanego pędu, możemy podać również zasady transformacji przy zmianie układu współrzędnych: i gdzie: i  Wielkości i transformują się podobnie jak para: i ! wielkość oznacza składową pędu w kierunku prędkości „transformującej” z jednego układu współrzędnych do drugiego. Einstein utożsamił wielkość E z energią cząstki zakładając, że wielkości pędu i energii powinny się zachowywać względem siebie jak położenie i czas.

Energia spoczynkowa (E0) - to energia, jaką ciało posiada w spoczynku (w związku ze swoją masą): gdzie m0 oznacza masę spoczynkową ciała.

Materia a energia Materia i energia są w fizyce dwoma wyraźnie osobnymi pojęciami. We współczesnej fizyce energia jest cechą materii (niezmiennik wynikający z własności czasu i przestrzeni), w którym materia istnieje. Energia nie jest samodzielnym bytem. Wiele systemów filozoficznych (np. marksizm) traktuje materię w sensie klasycznej definicji fizycznej i energię jako dwa różne przejawy materii w sensie filozoficznym - jednak, jeszcze raz - w fizyce taka koncepcja materii nie jest powszechnie akceptowana, ze względu na to, że prowadzi to do terminologicznych nieporozumień, gdyż wtedy należałoby przyjąć, że materia składa się z "materii właściwej (czyli tej wg podawanej tu na początku definicji) oraz energii, która nie jest samodzielnym bytem".

Materia wokół nas Materia fizyczna, z jaką stykamy się na co dzień, przyjmuje formę cząstek elementarnych, jąder atomowych, atomów, tworzących cząsteczki związków chemicznych, mieszaniny nie związanych ze sobą pierwiastków, lub znacznie rzadziej - pierwiastki w formie czystej. Zależnie od warunków termodynamicznych, takich jak ciśnienie i temperatura, materia może występować w różnych stanach skupienia, z których najczęściej stykamy się ze stanem gazowym, ciekłym i stałym. Oprócz tego istnieją jeszcze m.in. stany nazywane plazmą, nadcieczą i kondensatem Bose-Einsteina.

Lukrecjusz: Rzeczy nie mogą powstawać z niczego, Masa i Energia Lukrecjusz: Rzeczy nie mogą powstawać z niczego, a gdy zostały stworzone, nie mogą zamienić się w nicość Lavoisier: ..we wszystkich procesach naturalnych i sztucznych nic nie jest tworzone; przed i po eksperymencie istnieje taka sama masa materii... zasada zachowania masy Einstein: żeby pewne prawa fizyki mogły zachować klasyczna formę masa cząsteczki poruszającej się z wielką prędkościa musi zależeć od jej prędkości... ...a jej energia kinetyczna Wynik teorii Einsteina, wynik relatywistyczny, sprowadza się do klasycznego dla małych prędkości, 2«1 .

Zasada równoważności masy i energii: każda ilość dowolnego rodzaju energii dostarczona ciału powoduje zwiększenie jego masy o wartość Ciało w spoczynku ma więc energię moc2 (energia spoczynkowa) i zasada zachowania energii wygląda teraz:

SPIS TREŚCI - HIPOTEZA STACJONARNEGO ETERU……………………….2 - SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI……………………...6 POSTULATY SZCZEGÓLNEJ TEORII…………………………7 POPULARNE UJĘCIE NAJWAŻNIEJSZYCH WIOSKÓW……8 PODSTAWOWE ZAŁOŻENIA……………………………………9 DOŚWIADCZENIE MICHELSONA-MORLEYA……………….11 POWÓD PRZEPROWADZENIA EKSPERYMENTU…………12 DOŚWIADCZENIE………………………………………………..13 DRUGIE DOŚWIADCZENIE……………………………………. 14 POSTULATY EINSTEINA……………………………………….. 15 TRANSFORMACJA LORENTZA………………………………...21 DYLATACJA CZASU…………………………………………….. 24 WIELKOŚĆ DYLATACJI………………………………………… 25 PARADOKS BLIŹNIĄT………………………………………….. 26 SKRÓCENIE DŁUGOŚCI……………………………………….. 30 PRAWO SKŁADANIA PRĘDKOŚCI…………………………….38 RELATYWISTYCZNA MASA…………………………………….39 PĘD RELATYWISTYCZNY………………………………………41 ENERGIA SPOCZYNKOWA……………………………………..43 MATERIA A ENERGIA……………………………………………44 MATERIA WOKÓŁ NAS………………………………………….45 MASA A ENERGIA……………………………………………… 46

BIBLIOGRAFIA Piotr Walczak, Grzegorz F.Wojewoda „Fizyka i astronomia 1” Wydawnictwo pedagogiczne OPERON, Rumia 2002. http://home.agh.edu.pl/~fdi/RELATYWISTYKA/ http://portalwiedzy.onet.pl/19988,,,,lorentza_transformacja,haslo.html WWW.WIKIPEDIA.PL http://www.encyklopedia.biolog.pl/index.php?title=Materia_(fizyka) http://www.sciaga.pl/tekst/2345-3-mechanika_relatywistyczna http://portalwiedzy.onet.pl/36119,haslo.html http://www.daktik.rubikon.pl/Slowniczek/tw_tlumaczenia_skrocenie_dlugosci.htm

MAŁGORZATA KRĘŻEL MONIKA DZIUBA KLASA II LO „d” WYKONAŁY: MAŁGORZATA KRĘŻEL MONIKA DZIUBA KLASA II LO „d”