Ćwiczenie VI. Podstawy algebry macierzy, cz. I Strona internetowa ćwiczeń: http://www.home.umk.pl/~henroz/matm1112 Dodatkowe materiały dydaktyczne: Ulrich W., 2009: Matrix algebra for students of biotechnology (for students of the first year of master studies). Copyright © 2009 W. Ulrich. http://www.home.umk.pl/~ulrichw/Matrix/Matrix1.pptx (11 października 2011). Ulrich W., 2007, 2008: Skrypt do matematyki, cz II (wektory i macierze) i cz III (łańcuchy Markowa). Copyright © 2007-2008 W. Ulrich. http://www.home.umk.pl/~ulrichw/MathStat/MathII.pdf http://www.home.umk.pl/~ulrichw/MathStat/MathIII.pdf (11 października 2011). 3. Miszczyńska D., 2011a: Podstawy algebry liniowej (Matematyka – materiały dydaktyczne). Copyright © 2011 D. Miszczyńska i Wyższa Szkoła Ekonomiczno-Humanistyczna w Skierniewicach (Wydz. Zarządzania). http://wsehsk.home.pl/files/zarzadzanie/materialy/Podstawy_algebry_liniowej.pdf (11 października 2011). 4. Miszczyńska D., 2011b: Wyznaczniki (Matematyka – materiały dydaktyczne). Copyright © 2011 D. Miszczyńska i Wyższa Szkoła Ekonomiczno-Humanistyczna w Skierniewicach (Wydz. Zarządzania). http://wsehsk.home.pl/files/zarzadzanie/materialy/Wyznaczniki.pdf (11 października 2011). 5. Volpi L. & Foxes Team, 2007: Matrix Functions and Linear Algebra for Excel (freeware). Copyright © 2007 L. Volpi. http://digilander.libero.it/foxes/SoftwareDownload.htm (11 października 2011).

Biologiczne bazy danych bardzo często mają charakter macierzy. Np Biologiczne bazy danych bardzo często mają charakter macierzy. Np. występowanie różnych organizmów żywych w różnych miejscach (stanowiskach) można zapisać w formie tabeli, w której gatunki będą wierszami, a stanowiska – kolumnami. Z matematycznego punktu widzenia jest to macierz prostokątna, której zapis i definicja są następujące: Macierze, w których m = n, nazywamy kwadratowymi, gdzie n – to stopień macierzy. Ponadto mogą jeszcze być macierze diagonal- ne, jednostkowe (ang. „unity matrix”; odpowiednik „1” wśród liczb, ozn. „I”), zerowe, symetryczne, ortogonalne, górnotrójkątne i dolnotrójkątne. Źródło – poz. 3 z dodatkowych materiałów dydaktycznych

Przegląd podstawowych elementów macierzy i ich typów: Liczby, które np. mogą być elementami macierzy, z mate- matycznego punktu widzenia są skalarami,zaś wiersze i kolumny - wektorami. Znajomość alge- bry macierzy, wymaga podsta- wowej znajomości algebry wektorów i praw/twierdzeń związanych z nimi. Wektory można dodawać, odejmować do/od siebie. Można je także mnożyć lub dzielić (mnożenie przez odwrotność) przez skalar. Możliwy jest także iloczyn skalarny wektorów, zgodnie z równaniem: Tego typu iloczyn jest zerowy wtedy, gdy jeden z wektorów jest zerowej długości lub wtedy, gdy mnożone wektory są prostopa- dłe, czyli ortogonalne. Istnieje również inny typ iloczynu wektorów – tzw. iloczyn wektorowy, którego wynikiem jest inny wektor – pod warunkiem, że wektory znajdują się nie na płaszczyźnie, ale w przestrzeni, co najmniej trójwymiarowej. Mnożenie wektorów jest łączne i rozdzielne.

Iloczyn skalarny jest przemienny, ale wektorowy – nie Iloczyn skalarny jest przemienny, ale wektorowy – nie. Dzielenie przez wektor, nie jest możliwe (brak jednoznacznego wyniku – nieskończenie wiele rozwiązań). W biologii (ekologia, genetyka, taksonomia) często spotykane są kwadratowe macierze asocjacji, które mogą być albo macierzami podobieństwa (1 na przekątnej) lub odległości (0 na przekątnej). Miarami podobieństwa mogą być współczynniki Soerensena lub Jackarda, a odległości – odległość euklidesowa lub jej kwadrat (wykorzystanie w praktyce: taksonomia numeryczna/analiza skupień). Przykład tworzenia tego typu macierzy (ze skryptu):

I. Podstawowe operacje i działania na macierzach Transpozycja (przestawienie) macierzy – polega na zamianie jej wierszy na kolumny, a kolumn – na wiersze (transponowaną macierz A, oznaczamy A’ lub AT). Przykład: W wyniku transpozycji kwadratowej macierzy symetrycznej, uzyskuje-my macierz identyczną z wyjściową: Transpozycja macierzy ma własności: (AT)T = A (A + B)T = AT + BT (A  B)T = BT  AT Suma wszystkich elementów na przekątnej kwadratowej macierzy symetrycznej, nazywana jest jej śladem (ang.: trace):

2. Dodawanie i odejmowanie macierzy Sumą macierzy Amxn i Bmxn nazywamy taką macierz Cmxn (C = A + B), że dla każdej pary wskaźników (i,j) zachodzi równość: cij = aij + bij. Stąd wniosek, że można dodawać tylko macierze o takich samych wymiarach (w przypadku macierzy kwadratowych – tego samego stopnia). Przykład dodawania: Dodawanie macierzy jest przemien- ne: A + B = B + A i łączne: (A + B) + C = A + (B + C). Odejmowanie macierzy można potraktować, jako dodawanie elementów macierzy ze znakiem ujemnym/przeciwnym. Przykład odejmowania macierzy: Powtarzane dodawanie do siebie tej samej macierzy, równoważne jest jej przemnożeniu przez skalar, odpowiadający liczbie powtarzanych operacji dodawania: Mnożenie macierzy przez skalar jest przemienne, łączne i rozdzielne względem dodawania.

3. Mnożenie macierzy Ogólny algorytm mnożenia przez siebie macierzy jest następujący (za źródłem: http://www.bazywiedzy.com/mnozenie-macierzy.php ): Mnożenie macierzy nie jest przemienne, jest łączne i rozdzielne wzglę-dem dodawania: Macierze można mnożyć  liczba kolu- mn I-szej mac.=liczbie wierszy mac.II. Przykład na nieprzemienność mnożenia macierzy:

Nawet mnożenie macierzy kwadratowych najczęściej nie jest przemienne; jeśli tak – to macierze nazywamy przemiennymi. Mnożenie macierzy kwadratowej przez siebie, równoznaczne jest z podnoszeniem jej do potęgi, np.: A  A = A2 i A  A  A = A3. Iloczyn macierzy diagonalnych jest macierzą diagonalną. Przykład na mnożenie macierzy – z rozpisaniem wyników pośrednich: 4. Odwracanie macierzy O ile macierze, można dzielić przez skalar (co jest traktowane jako mnożenie – przez jego odwrotność), to dzielenie macierzy przez macierz nie jest możliwe (podobnie, jak w przypadku wektorów: brak jednoznacznego wyniku – nieskończenie wiele rozwiązań). Macierze można odwracać. Odwracanie macierzy polega na znajdowaniu macierzy odwrotnej w stosunku do danej. Jest ono możliwe tylko wtedy, gdy macierz jest niesosobliwa i gdy ma nieze-rowy wyznacznik (patrz dalej). Macierz kwadratową B = [bij]nxn nazy-wamy odwrotną do macierzy kwadratowej A = [aij]nxn , jeśli spełniony jest warunek: A  B = B  A = In. Macierz odwrotną wobec A ozn. A–1.

Macierz osobliwa, to taka macierz kwadratowa, która nie daje się odwrócić. W macierzach osobliwych, pewne wiersze lub kolumny można wyrazić jako kombinacje liniowe innych kolumn/wierszy. Takie kolumny wiersze nie zawierają unikalnej informacji (są zbyteczne). Macierz 22, można odwrócić zgodnie z równaniem: Odwracanie większych macierzy jest kłopot- liwe i w praktyce są tu pomocne programy komputerowe. Przy analitycznym odwracaniu macierzy, przydatna jest znajomość jej wyznacznika (patrz dalej). Jeżeli A jest macierzą nieosobliwą, to: (A–1)T = (AT)–1 oraz (A–1 )–1 = A. Jeżeli A i B są nieosobliwymi macierzami tego samego stopnia, to: (A  B)–1 = B–1  A–1 (kolejność jest tu istotna, gdyż zazwyczaj mnożenie macierzy jest nieprzemienne). Macierz kwadratową A spełniającą warunek: AT  A = A  AT = I, jest macierzą ortogonalną. Przykład odwracania macierzy: Przykład macierzy osobliwej: (inaczej: zdegenerowanej; ang.: „singular”)

W podanym uprzednio przykładzie macierzy osobliwej, trzecia kolumna powstała przez przemnożenie kolumny II-giej przez 4 – czyli jest jej liniową kombinacją. Odwracanie macierzy można przeprowadzić zgodnie z algorytmem Gaussa-Jordana (wykład, skrypt). Przy odwra-caniu macierzy diagonalnej, uzyskujemy również macierz diagonal-ną, na przekątnej której są odwrotności elementów macierzy wyjś-ciowej:

II. Wyznaczniki macierzy Ważnym parametrem macierzy kwadratowych są ich wyznaczniki (dla macierzy Anxn, wyznacznik zapisywany jest jako det A lub |A|). Dla n = 1, wyznacznik jest równy jedynemu elementowi macierzy. Jeżeli macierz A ma stopień n > 1, to jej wyznacznik można obliczyć ze wzoru: , gdzie det Aij oznacza wyznacznik powstały po skreśleniu i-tego wiersza i j-tej kolumny wyjściowej macierzy (czyli jej minor). Dopełnieniem algebrai-cznym (Dij) elementu macierzy kwadratowej nazywamy iloczyn jej minora przez (–1)i+j. Wartość wyznacznika |A| stopnia n obliczamy ze wzoru: |A| = a1jD1j + a2jD2j +…+ anjDnj (j = 1, 2, 3,…n) lub |A| = ai1Di1 + ai2Di2 +…+ ainDin (i = 1, 2, 3,…n). Są to tzw. wzory Laplace’a na rozwinięcie wyznacznika odpowiednio wg j-tej kolumny lub i-tego wiersza. W praktyce, wyznacznik macierzy 22, można wyliczyć z równania: Przykład: Dla macierzy 33, możemy zastosować tzw. regułę Sarrusa, gdzie po prawej stronie macierzy dopisujemy jej I-sze 2 kolumny, a następnie tworzymy iloczyny elementów macierzy ze znakami „+” wzdłuż strzałek czerwonych i „–” – wzdłuż strzałek niebieskich:

Ogólny schemat Sarrusa: Przykład: Współcześnie, wyznaczniki macierzy większych niż 33, wyliczane są za pomocą programów komputerowych. Wyznacznik macierzy trój-kątnej (tak górnej, jak i dolnej), jest iloczynem elementów jej prze-kątnej głównej: Podstawowe własności wyznaczników: 1. Wyznacznik transpozycji macierzy, równy jest wyz. macierzy wyjściowej: det AT = det A; 2. Jeżeli 1 z wierszy (lub kolumn) macierzy A składa się z samych zer, to det A = 0; 3. Jeżeli zamienimy miejscami 2 wiersze (lub 2 kolumny), to wyzna- cznik zmieni znak na przeciwny; 4. Jeżeli do elementów jednego wiersza (lub kolumny) dodamy odpo-wiednie elementy innego wiersza (lub kolumny) pomnożone przez pewną stałą, to wartość wyznacznika nie zmieni się; 5. det (AB) = det A  det B; 6. Jeżeli w macierzy A 2 wiersze (lub 2 kolumny) są identyczne,to |A|=0.

Zależność pomiędzy wyznacznikiem a odwracaniem macierzy: Z definicji macierzy odwrotnej – dla odwracalnych macierzy: AA–1 = I. Można to rozpisać: Wniosek: macierz jest odwracal- na  ma niezerowy wyznacznik. Tylko wtedy nie jest ona osobli- wa. Dla każdej macierzy osobli- wej, |A| = 0. Wyznacznik można też wykorzystać przy analitycznym odwracaniu ma-cierzy: Dopełnienie algebraiczne elemen- tu aij macierzy A liczymy: dij = (–1)i+j  Mij, gdzie Mij jest mi- norem macierzy A, czyli wyznacz- nikiem podmacierzy powstałej po skreśleniu i-tego wiersza i j-tej kolumny z wyjściowej macierzy A. Transponowana macierz dopeł-nień algebraicznych, nazywana jest też macierzą dodaną (AD, ang: „adjoint matrix”): AD = [dij]T. Wyznaczniki, są ważne przy rozwiązywaniu układów równań liniowych oraz przy wyznaczaniu rzędu macierzy.

III. Rząd macierzy Rząd macierzy A (rzA) o wymiarach mn jest to maksymalna liczba niezależnych liniowo kolumn/wierszy lub jest stopniem najwiekszej kwadratowej podmacierzy nieosobliwej, zawartej w A. Dla macierzy prostokątnej o wymiarach mn, rzA  min (m, n). Minorem (podwyznacznikiem) stopnia k macierzy A (o wymiarach mn), nazywamy wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia k, która powstała po skreśleniu m – k wierszy oraz n – k kolumn w macierzy A. Rzędem macierzy niezerowej nazywamy największy stopień jej niezerowego minora. Rząd macierzy nie ulega zmianie, gdy: wykreślimy kolumnę (wiersz) zerową; b. --------”------------ wszystkie kolumny (wiersze) proporcjonalne do danej kolumny (wiersza); c. Przestawimy kolumny (wiersze); Dodamy do kolumny (wiersza) inną kolumnę (wiersz) lub sumę in-nych kolumn (wierszy) pomnożonych przez współczynniki rzeczy-wiste. Podstawowe własności rzędu macierzy: 1. rzA  min (m, n). 2. rzA = 0  A = 0 (tj. A jest macierzą zerową). 3. Macierz kwadratowa jest odwracalna  jej rząd = jej stopniowi. 4. Jeżeli B jest macierzą prostokątną o wymiarach nk rzędu n, to rz(AB) = rzA. Podobnie jeśli C jest macierzą o wymiarach lm rzędu m,

to rz(CA) = rzA. 5. Dla macierzy kwadratowych A i B stopnia n, zachodzi nierówność: rzA + rzB – n  rz(AB) (nierówność Sylvestera). 6. Jeżeli B jest macierzą o wymiarach o wymiarach mn, to: rz(A + B)  rzA + rzB. 7. rzAT = rzA, czyli transpozycja nie zmienia rzędu. Rząd macierzy można oszacować wyliczając wyznaczniki pod-macierzy kwadratowych, pozostających po wykreśleniu kolejnych wierszy i kolumn (jeśli wyznacznik jest niezerowy, to rząd macierzy wyjściowej jest równy stopniowi podmacierzy, której wyznacznik wyliczono). Postępowanie takie jest bardzo żmudne i obecnie rząd macierzy wylicza się korzystając z programów komputerowych (patrz – ostatnie zadanie w praktycznej części ćwiczenia). Znajo-mość rzędu macierzy jest niezbędna przy rozwiązywaniu układów równań liniowych z wykorzystaniem algebry macierzy.

Wskazówki do wykonania zadań praktycznych ćw. VI. Wskazówki do zadania 1: Licząc iloczyn skalarny wektorów: [1 2 3 4] i , mnożymy I-szy wyraz (liczbę) z wektora poziomego z I-szym – z wektora pionowego. Analo-gicznie – mnożymy: II z II, III z III i IV z IV. Uzyskane iloczyny – sumu-jemy: [1 2 3 4]  = 1  5 + 2  6 + 3  7 + 4  8 = 5 + 12 + 21 + 32 = 70 Chcąc wyliczyć to samo, stosując program on-line – po otwarciu wskazanej witryny internetowej, uzyskujemy następujący ekran (następne przeźrocze):

Traktując mnożone przez siebie wektory, jako szczególne przypadki macierzy (pierwsza: 1  4, druga: 4  1), należy wskazać liczbę kolumn i wierszy w odpowiednich polach: Następnie klikamy w przycisk: Uzyskujemy wektory/macierze: z polami do wprowadzania liczb: Po wprowadzeniu liczb, otrzymujemy (następne przeźrocze):

…gotowe do mnożenia (wypełnione liczbami) wektory/macierze: …gotowe do mnożenia (wypełnione liczbami) wektory/macierze: Dalej – klikamy w przycisk: „Wykonaj” Klik .....i uzyskujemy wynik:

W celu uruchomienia rozszerzenia MS Excel 2003 („Matrix Functions and Linear Algebra”), należy kliknąć w odpowiednią ikonę MS Excel: Klik Ukazuje się zestaw menu rozszerzenia: Klikamy w celu otwarcia w menu „Macros”

Spośród komend menu „Macros”, na niniejszym ćwiczeniu potrzebna będzie komenda „Matrix operations…” Klik Na ćwiczeniu kolejnym, użyteczna będzie też komenda: „Eigen-solving…”: Po wprowadzeniu do roboczego arkusza Excela odpowiednich wektorów/macierzy, uruchamiamy: Matrix  Matrix operations. Dalej – wybieramy „Multiplication” (następne przeźrocze):

Klik (1). Wreszcie klikamy w. suwak pola wyboru. drugiej macierzy / Klik (1) Wreszcie klikamy w suwak pola wyboru drugiej macierzy / wektora: „Matrix / Vector B” (pierwsza macierz/wektor – „Matrix / Vector A”, jak również zakres pola wyników – Klik (2) „Output, są już wybrane)

…pojawia się okienko:. …które zamykamy (o ile nie …pojawia się okienko: …które zamykamy (o ile nie zamknie się samo) i wybie- ramy blok z II-gim wektorem/macierzą. Klik Ekran po wyborze: Wybrany blok: Dalej klikamy w przycisk „Run”

Uzyskujemy wynik:

Wskazówki do zadania 2: Czynności mnożenia, zarówno za pomocą programu on-line, jak i dodatku do MS Excel: „Matrix Functions and Linear Algebra” – wykonujemy analogicznie, jak w zadaniu poprzednim. Końcowy wynik mnożenia wymienionych w zadaniu macierzy (AB), w programie on-line – wygląda następująco:

Ostateczny wynik mnożenia tych samych macierzy w MS Excel + „Matrix Functions and Linear Algebra”: Wyniki są identyczne – niezależnie od programu użytego do liczenia.

Wyniki mnożenia macierzy w odwróconej kolejności (BA), są odmienne Wyniki mnożenia macierzy w odwróconej kolejności (BA), są odmienne. Licząc w programie on-line, uzyskujemy:

W MS Excel + „Matrix Functions and Linear Algebra”: Wniosek: mnożenie macierzy nie jest przemienne.

Wskazówki do zadania 3: Operacja transpozycji macierzy polega na takim jej przekształceniu, aby wiersze stały się kolumnami: W rozpatrywanej na ćwiczeniu macierzy: To samo zadanie, wykonane za pomocą MS Excel + „Matrix Functions and Linear Algebra” – wyniki zgodne! (następne przeźrocze):

Wskazówki do zadania 4: Odwracanie macierzy jest możliwe tylko wtedy, gdy nie jest ona osobliwa (ang.: „singular”), czyli – gdy żaden jej element (wiersz, kolumna) nie jest liniową kombinacja innych elementów. Wynik odwrócenia I-szej macierzy:

Wynik odwracania II-giej macierzy nie jest pomyślny: Poddawana odwracaniu macierz, jest osobliwa – gdyż jej drugi wiersz, jest wynikiem przemnożenia wiersza pierwszego przez -2.

Wskazówki do zadania 5: Wyznacznik macierzy 22, liczony jest zgodnie z równaniem: W konkretnym przypadku naszego zadania, będzie to: Wyliczenie wyznacznika pierwszej spośród dwu macierzy z poprzedniego zadania (w „Matrix Functions…”), jest na następnym przeźroczu:

Wyznacznik niezerowy – stąd wniosek, że macierz nie jest osobliwa:

Wyznacznik = 0  macierz osobliwa!

Wskazówki do zadania 6: Macierz A jest ortogonalna, gdy AT  A = I. W przypadku macierzy z na-szego zadania: Po przemnożeniu macierzy transponowa -nej przez wyjściową, uzyskujemy (zgodnie z definicją) – macierz jednostkową (I): Identyczny wynik uzyskujemy, mnożąc macierze w kolejności odwrotnej, czyli A  AT:

Macierz odwrotna rozpatrywanej macierzy ortogonalnej, jest równa jej transpozycji, czyli: AT = A-1: Macierz ortogonalna, która spełnia powyższy warunek, nazywana jest ortonormalną.

Wskazówki do zadania 7: Poprzez rząd macierzy rozumiemy maksymalny wymiar nieosobliwej podmacierzy, jaką możemy wyznaczyć w obrębie macierzy badanej. Mając zainstalowany dodatek „Matrix Functions…”, rząd macierzy możemy łatwo wyznaczyć w MS Excel za pomocą funkcji „MRank”, którą wprowadzamy następująco: „=mrank(k_pocz:k_końc)”, gdzie: k_pocz – adres komórki początkowej macierzy, k_końc – adres komórki końcowej macierzy. Dla pierwszej macierzy z zadania: Dla drugiej:

Zaś dla trzeciej: W każdym przypadku rząd badanej macierzy wynosił 5.

Wskazuje to, że w pierwszym przypadku cała macierz (a ściślej mówiąc – jej podmacierz kwadratowa: 55) jest nieosobliwa, a jej wszystkie wektory (kolumny i wiersze) są liniowo niezależne. W przypadku drugiej macierzy, ostatnia (VII-ma) kolumna zawie-ra wyniki przemnożenia liczb występujących w kolumnie III-ciej – przez –0,5, a ostatni (VI-ty) wiersz – wyniki przemnożenia liczb zawartych w wierszu IV-tym przez 4. Tak więc wspomniane: ostatni wiersz i kolumna są liniowo zależne od innych wierszy/kolumn wewnątrz macierzy. Trzecia macierz: obok takiej samej zawartości, jak macierz 2-ga, jej ostatnia (VIII-ma) kolumna zawiera wyniki przemnożenia kolumny I-szej przez 0,25, a w ostatnim (VII-mym) wierszu – są wyni-ki przemnożenia wiersza III-go przez –1,5. Tak więc liniowo niezależ-na jest tutaj górna podmacierz 55 – podobnie, jak w przypadku macierzy 1 i 2. Z powyższych względów rząd wszystkich trzech badanych macierzy jest taki sam i wynosi 5. Znajomość rzędu macierzy może być przydatna przy rozwiązywaniu układów równań liniowych (zapisanych w formie macierzowej) – a konkretnie przy wstępnej ocenie, czy dany układ równań jest niesprzeczny (rozwiązywalny) i czy ma jednoznaczne rozwiązanie.

Dziękuję za uwagę ;-)