Ćwiczenie VII. Podstawy algebry macierzy, cz. II Strona internetowa ćwiczeń: http://www.home.umk.pl/~henroz/matm1112 Dodatkowe materiały dydaktyczne: Materiały z ćwiczenia poprzedniego. Miszczyńska D., 2011: Równania liniowe (Matematyka – materiały dydaktyczne). Copyright © 2011 D. Miszczyńska i Wyższa Szkoła Ekonomiczno-Humanistyczna w Skierniewicach (Wydz. Zarządzania). http://wsehsk.home.pl/files/zarzadzanie/materialy/Rownania_liniowe.pdf (11 października 2011). 3. Gubareni N.M., 2008: Wykłady z matematyki (I rok). Algebra macierzy. Wykład 3 (Układy równań liniowych). © Copyright 2001, N.M. Gubareni. http://www.zim.pcz.czest.pl/gubareni/wyk_alg3_08.doc (12 stycznia 2011). 4. Kacprzyk Z., 2011: D1. Algebra macierzy. Copyright © 2005-2011 Z. Kacprzyk i Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej. http://wektor.il.pw.edu.pl/~zk/mes/dodatek1-old.pdf (9_stycznia 2012). 5. Hilczer M., 2011: Macierze i zadania. Copyright © 2011 M. Hilczer i Politechnika Łódzka (Serwer Studencki PŁ). http://212.51.214.51/mhilczer/Chemia%20teoretyczna%202011/MACIERZE_i_ZADANIA.pdf (9 stycznia 2012).

6. Wikipedia. , 2012: Łańcuch Markowa. http://pl. wikipedia 6. Wikipedia., 2012: Łańcuch Markowa. http://pl.wikipedia.org/wiki/Łańcuch_Markowa Copyright © Wikimedia Foundation (19 lutego 2012). 7. SKM, 2012: Matematyka w biologii – łańcuchy Markowa a genetyka. http://student.agh.edu.pl/~skm/pliki/Zaj3_biol.doc Copyright © Studenckie Koło Matematyków AGH w Krakowie (19 lutego 2012). 8. Wrzosek D., 2008: Matematyka dla biologów. Wyd. Uniw. Warszawskiego, Warszawa (rozdz. 16.6: Łańcuchy Markowa. Modele ewolucji molekularnej; str. 255-258).

I. Układy równań liniowych Ułatwienia w rozwiązywaniu układów równań liniowych są jednym z najwcześniej znanych i najpowszechniej stosowanych praktycznych zastosowań rachunku macierzowego. Układem równań liniowych nazywamy koniunkcję pewnej liczby równań liniowych, czyli równań pierwszego rzędu. Ogólny schemat układu równań: Jeżeli liczba niewiadomych (n) równa jest liczbie równań (m), czyli m = n, to układ równań nazywamy kwadra- towym. Jeżeli m  n, to mamy do czy- nienia z prostokątnym układem rów- nań. Układ równań, przedstawiony w formie zapisu macierzowego, zawie- ra: macierz główną układu równań (A), macierz (kolumna/wektor) nie- wiadomych (X) oraz macierz (kolumna/wektor) wyrazów wolnych: Skrócony zapis macierzowy układu równań liniowych jest następujący: A  X = B. Macierzą rozszerzoną układu równań liniowych nazywamy macierz główną z dołączoną kolumną wyrazów wolnych (ang. „augmented matrix), co można zapi- sać w skrócie A|B: Rozwiązaniem układu równań liniowych (u.r.l.) nazywamy ciąg (x1, X2, x3, …… xn) liczb rze- czywistych spełniających ten układ. Jeśli u.r.l. ma dokładnie 1 rozwiązanie, to go ukła- dem oznaczonym lub ukł. równań niezależ- nych. Jeżeli u.r.l. ma ∞-nie wiele rozwiązań, to jest to ukł. nieoznaczony (ukł. równ. zale- żnych). Jeśli u.r.l. nie ma rozwiązań, to jest

to układ sprzeczny. Kwadratowy u. r. l to układ sprzeczny. Kwadratowy u.r.l. jest oznaczony i niezależny (ma 1 unikalne rozwiązanie)  macierz główna układu (A) jest nieosobli-wa, czyli ma niezerowy wyznacznik (det A ≠ 0). Jest to tzw. układ równań Cramera. Tradycyjne rozwiązanie najprostszego, kwadrato-wego u.r.l. (2 równania, 2 niewiadome), polega na wyliczeniu xi = Wi/W (dla i = 1,2,..), gdzie W jest jest wyznacznikiem macierzy głów-nej u.r.l., zaś Wi jest wyznacznikiem macierzy powstałej przez zastą-pienie w macierzy układu i-tej kolumny, kolumną wyrazów wolnych (metoda wyznacznikowa rozwiązywania u.r.l. lub metoda Cramera). Schemat ogólny: Konkretny przykład: Rozwiązanie tą samą metodą kolejnego przykładu: – podane jest na planszy na następnym przeźroczu:

Źródło: http://math. uni. lodz

Dla u.r.l. (u. Cramera!) z liczbą równań i niewiadomych > 2, wygodniej-szą metodą rozwiązania jest m. macierzy odwrotnej. U. Cramera: Ax = b ma 1 rozwiązanie, które jest określone wzorem: x = A–1b. Przykład: Źródło: poz. 3 z literatury podanej na początku prezentacji

Rozwiązywalność układu równań zależy od wartości wyznacznika jego macierzy głównej, jak również od rzędu zarówno macierzy głównej, jak i macierzy rozszerzonej u.r.l. W sposób najbardziej ogólny podsumowuje to schemat:

Sytuacje dla macierzy prostokątnych i kwadratowych, jak również dla układów sprzecznych i nieoznaczonych ilustruje plansza: Źródło: http://www.impan.pl/~reginska/Wyklady2011/wyklad-czescI.pdf

II. Wartości własne i wektory własne Mając macierz kwadratową A stopnia n i macierz jednostkową I – tego samego stopnia, możemy zdefiniować macierz charakterys-tyczną, zgodnie z równaniem: gdzie l jest zmienną niezależną. Wyznacznik tej macierzy w pos- taci rozwiniętej jest wielomia- nem stopnia n i nazywany jest wielomianem charakterystycznym macierzy A. Równanie: det (A–lI)=0 jest równaniem charakterystycznym macierzy A, a jego pierwiastki – są wartosciami własnymi macierzy A (wart. l). Jeżeli liczba l jest wartością własną macierzy A, to następują-cy układ równań AX = lX ma niezerowe rozwiązanie X. Rozwiązanie to jest nazywane wektorem własnym macierzy A. Macierz A wymia-ru n ma n wartości własnych i n wektorów własnych. Wartości własnej l1 odpowiada wektor własny x1, l2 – x2, etc. Wektory własne są wektorami kolumnowymi, a ich elementy są znormalizowane, czyli doprowadzone do takich wartości, aby dawały sumę = 1. Wielomian charakterystyczny możemy przedstawić równaniem: lm + b1lm-1 + b2lm-2 + ... + bm = 0 Iloczyn wszystkich wartości własnych daje wyznacznik macierzy: det A = Pni=1li . Wyznacznik = 0  przynajmniej 1 z wartości własnych = 0 (macierz jest wtedy osobliwa). Macierze symetryczne i wyniki ich transpozycji mają identyczne wartości i wektory własne.

Wektory własne macierzy symetrycznej są ortogonalne (=). Wekt. wł Wektory własne macierzy symetrycznej są ortogonalne (=). Wekt. wł. nie zmieniają się po pomnożeniu przez skalar k, zaś wart. wł. zosta-ją także przemnożone przez k. Jeżeli macierz A jest –tna lub diagonalna, to wart. wł. A są wartościa-mi na przekątnej głównej A. Jak liczymy wart. i wekt. wł.? Dla macierzy 22 – schemat z wykł. W.U.: W sposób analityczny można wyliczyć wart. i wekt. wł. tylko dla macierzy stopnia n  4 (dla macierzy wyższych stopni możliwe są tylko przybliżone wyliczenia numeryczne przez programy kompute-rowe).

III. Diagonalizacja macierzy Praktyczne zastosowania wartości i wektorów własnych Wielowymiarowe analizy statystyczne w ekologii i genetyce (np. analiza składowych głównych i analiza korespondencyjna) – w celu redukcji wielowymiarowości danych. 2. Znajdowanie punktu równowagi w organizmie ludzkim dla poziomu insuliny i syntezy glikogenu (znajdowanie największego wektora własnego – przykład z wykładu). 3. Ranking stron internetowych w wyszukiwarce Google (znajdowanie największego wektora własnego – przykład z wykładu). III. Diagonalizacja macierzy Definicja i przykład(y) macierzy diagonalnej – na ćwiczeniu poprzednim. Aby zdiagonalizować macierz A obliczamy wartości własne i wektory własne tej macierzy. Tworzymy macierz X złożoną z wekt. wł. mac. A: (plansza z poz. 5 literatury na pocz. prezentacji) Wtedy X–1AX jest macierzą diagonalną D utworzoną z wartości własnych macierzy A. Równanie sprowadzające mac. A do postaci diagonalnej: D = X–1AX.

Diagonalizacja macierzy znajduje zastosowanie m. in Diagonalizacja macierzy znajduje zastosowanie m.in. w fizyce i chemii kwantowej. IV. Łańcuchy Markowa Proces Markowa jest to ciąg zdarzeń, w którym prawdopodobieństwo każdego zdarzenia zależy jedynie od wyników poprzedniego, a dodatkowe informacje o wartościach wcześniejszych niż poprzednia nie pozwalają wyciągać żadnych dodatkowych informacji co do przyszłości (są to procesy realizowane przez układy zapominające przeszłość). Łańcuch Markowa, to taki proces Markowa, który zdefiniowany jest na dyskretnej przestrzeni stanów. Przykłady łańcuchów Markowa: Proces emisji cząstek wypromieniowanych przez substancję radioaktywną Ruch cząstki zawieszonej w cieczy — tzw. ruch Browna (procesy Gaussa i Wienera) Proces zajmowania i zwalniania łączy w centrali telefonicznej (procesy Poissona) Dynamika kolejki w serwerach WWW Proces urodzin i śmierci – zmiana liczebności populacji na skutek narodzin i śmierci.

Przykłady zastosowania łańcuchów Markowa w biologii: a) przewidywanie dziedziczenia alleli różnych genów w kolejnych pokoleniach (prawa Mendla i odstępstwa od nich); b) przewidywanie skutków mutacji (czy zajście mutacji da w wyniku stabilizację częstości alleli?); c) modelowanie procesów ewolucji (najszerzej rozumiane); d) modelowanie procesów sukcesji w ekologii. W procesach (łańcuchach) Markowa przejścia od jednego do następne-go stanu opisują tzw. stochastyczne macierze prawdopodobieństwa. Kilka podstawowych definicji z teorii procesów/łańcuchów Markowa: Zbiór stanów łańcucha – zbiór możliwych wyników próby Macierz przejścia – macierz prawdopodobieństw przejścia ze stanu i do stanu j Graf przejścia – graficzne przedstawienie łańcucha za pomocą grafu, którego wierzchołki odpowiadają stanom łańcucha, a krawędzie mają przypisane wagi równe prawdopodobieństwom przejścia między stanami Rozkład początkowy – określa prawdopodobieństwo znalezienia się w każdym ze stanów na początku, w chwili t=0

Ilustracja grafu przejścia:

Rozkład stacjonarny – taki rozkład prawdopodobieństwa w, że wP=w, przy pewnych założeniach jest on jedyny i rozkład prawdopodobieństwa w kolejnych krokach zmierza do niego przy t zmierzającym do nieskończoności Zbiór stochastycznie zamknięty – taki podzbiór zbioru stanów łańcucha, po wpadnięciu do którego nie możemy go opuścić (prawdopodobieństwo zamkniętego stochastycznie zbioru jest równe 0) Zbiór przejściowy – maksymalny zbiór nie zamknięty stochastycznie Zbiór ergodyczny – zbiór stochastycznie zamknięty, który nie ma właściwych podzbiorów stochastycznie zamkniętych Stan absorbujący – zbiór ergodyczny złożony z pojedynczego stanu Łańcuch ergodyczny – łańcuch będący pojedynczym zbiorem ergodycznym Łańcuch absorbujący – łańcuch którego wszystkie stany ergodyczne są stanami absorbującymi Definicja macierzy przejścia (z podaniem równania):

Ilustracja macierzy stochastycznej i macierzy przejścia:

Wykorzystanie rachunku macierzowego przy modelowaniu za pomocą łańcuchów Markowa, bardzo często polega na mnożeniu macierzy stochastycznych (w celu wyliczenia prawdopodobieństw w macie-rzy przejścia). Problem: czy proces mutacji daje w efekcie stabilne częstości alleli? Należy wyliczyć wektor stanu stabilnego, który jest wektorem włas-nym odpowiedniej macierzy. Każda macierz stochastyczna ma co najmniej jedną wartość własną równą jedności. Największa wartość własna definiuje wektor stanu stabilnego. Rozwiązania (…+ ewentualne wyjaśnienia/podpowiedzi) zadań praktycznych ćwiczenia VII. Zadanie 1. X1 = -2,75, x2 = 4,25, x3 = -0,25, x4 = -0,25 Zadanie 2. Zarówno po usunięciu IV-go (ostatniego) równania, jak i po usunięciu x4 ze wszystkich równań, układ nie jest rozwiązywalny („Matrix Functions…” generuje komunikat błędów). Nie jest to wtedy układ Cramera.

Zadanie 3. W celu wyliczenia wektorów i wartości własnych macierzy A, wprowadzamy ją do arkusza MS Excel i zaznaczamy (bierzemy do bloku). Po uruchomieniu dodatku „Matrix Functions...”, wykonujemy komendę „Eigen solving”, co powinno wyglądać nas-tępująco:

Zakres, w którym zostaną podane po wyliczeniu wartości własne – zostaje ustalony przez program automatycznie; po kliknięciu w przycisk „Run”, uzyskujemy:

W celu wyliczenia wektorów własnych, należy wskazać kursorem i kliknąć w opcję: „Eigenvectors”:

Dalej – należy wskazać zakres wartości własnych: ....oraz zakres podania wyników – wektorów własnych (w naszym przypadku - $A$8). Poprawnie wybrane opcje powinny być, jak na następnym zrzucie fragmentu ekranu:

_ _ Po kliknięciu w przycisk „Run”, powinniśmy uzyskać (następne przeź-rocze):

_____ ____ Wektory własne są wektorami kolumnowymi.

Zadanie 4. Diagonalizację macierzy A, przeprowadzamy zgodnie ze skróconym równaniem: D = X–1 . A . X, gdzie X jest macierzą wektorów własnych macierzy A (uzyskanie X – patrz zad. 3). Odwracamy X:

...a następnie mnożymy X–1 przez A:

Wynik mnożenia X–1 przez A, mnożymy przez X: W wyniku diagonalizacji (macierz D), na przekątnej głównej są wartości własne mac. A (por. z zad. 3). Zapis -1E-15 oznacza -1  10–15. Bardzo małe wartości (od -1  10–15 do 1,1  10–16) można uznać za  0 (wynik zaokrągleń i błędów obliczeniowych MS Excel).

Zadanie 5. Mając dany uproszczony schemat sukcesji 5 gatunków roślin (od stanu początkowego do końcowego): mamy za zadanie ułożyć stochastyczną macierz przejścia od stanu początkowego do końcowego. W tym celu, należy przygotować tabel-kę, odpowiadającą macierzy kwadratowej o n=5. Zarówno poszczegól-ne wiersze, jak i kolumny opisujemy kolejnymi numerami gatunków (1-5). Porównując występowanie gatunku 1 przed sukcesją (A) i po niej (B), zauważamy, że gatunek ten w stanie B pozostaje tam, gdzie był w stanie A (a dodatkowo – zastępuje także inne gatunki). W związku z tym (wyjściowo – 3 wystąpienia gat. „1” w stanie A), prawdopodo-

bieństwo pozostania gatunku „1” po sukcesji (B), będzie = 1, co możemy też zapisać w formie ułamka zwykłego: 3/3 [wyjściowo 3 wystąpienia (A) – i po sukcesji pozostały 3 (B)]. W procesie sukcesji, gatunek „1” nie został zastąpiony żadnym innym. Dlatego w I-szym wierszu macierzy stochas-tycznej, w kolumnach 2-5 wpisujemy 0 (zerowe pradopodo-bieństwa przejścia). Biorąc pod uwagę gatunek „2” (7 wystąpień w stanie A) – w 4 przypadkach po sukcesji został on zastąpiony gat. „1” (p = 4/7), a w 2 – „pozostał sobą” (p=2/7) i w jednym został zastąpiony przez „4” (p=1/7). Rozpa-trując wiersz III (gat. „3” – i 3 wystąpienia przed sukcesją) – „3” dwukrotnie został wymieniony na „1” (p=2/3) i – jednokrot-nie – przez „2” (p=1/3) (we wszystkich przypadkach nie wyszczególnionych w opisie, przyjmujemy p=0). Gatunek „4” (IV-ty wiersz, 6 wystąpień przed sukcesją) – dwa razy został zastąpiony w sukcesji przez „1” (p=2/6), 3 razy przez „2” (p=3/6) i raz „pozostał sobą” po sukcesji (p=1/6). Gatunek „5” (wiersz V-ty macierzy; jedno i jedyne wystąpienie w stanie A) został w 100% zastąpiony przez „1” po sukcesji (p=1/1). Kompletna (wypełniona i odpowiednio sformatowana) stochastyczna macierz przejścia od stanu A do stanu B (w MS Excel) wygląda następująco (następne przeźrocze):

Stochastyczna macierz przejścia od stanu A do stanu B (zwraca uwagę sumowanie się każdego wiersza do 1; duże sigma oznacza sumę!): Wartości w macierzy możemy zastąpić ułamkami dziesiętnymi, podmie-niając apostrof przy ułamkach zwykłych znakiem równości. Wtedy w kolumnie z sumami wierszy możemy wprowadzić odpowiednią formułę na sumowanie, przekonując się, że suma = 1.:

Dziękuję za uwagę ;-)