ZLICZANIE cz. I

Podstawy Dla dowolnych dwóch zbiorów A i B | A |=| B | wttw istnieje bijekcja ze zbioru A do zbioru B. Jeśli zbiory A i B są rozłączne, to | A  B | = | A | + | B | Dla dowolnych skończonych zbiorów A1, A2,..,Ak | A1A2..Ak | = | A1 |*| A2 |*..*| Ak | 4. Dla dowolnej liczby n0 liczba podzbiorów zbioru n-elementowego wynosi 2n Prawo iloczynu Prawo sumy Niech A i B będą zbiorami skończonymi | A  B | = | A | + | B | - | AB | Dowód: Można się wspomagać diagramami Venna Dwa przypadki: zbiory rozłączne, zbiory z częścią wspólną UWAGA: Zastosowanie do rachunku prawdopodobieństwa P(A  B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Zliczanie zbiorów -podstawy W zadaniach zliczania (w szczególności w tej części rachunku prawdopodobieństwa, która odwołuje się do zliczania zdarzeń elementarnych) odwołujemy się do pewnych sposobów wyboru elementów z większej populacji UWAGA: Dla przestrzeni zdarzeń elementarnych  takiej, że |  |=M, w której każde zdarzenie elementarne jest jednakowo prawdopodobne, jeśli A oraz | A |=m, to Na ile sposobów można wylosować po kolei, bez zwracania, k obiektów spośród n obiektów (ze zbioru n – elementowego) ? 1. kn 2. kolejność jest ważna pierwszy element możemy wybrać na n sposobów, drugi na n-1 sposobów, ostatni (czyli k-ty) na n-k+1 sposobów, zatem

Zliczanie zbiorów cd. Wariacje bez powtórzeń k-wyrazowe zbioru n-elementowego (k-wyrazowe ciągi) Szczególny przypadek k=n otrzymujemy permutację ( P(n,n)=n!) Na ile sposobów można wylosować k obiektów spośród n obiektów, gdy losowanie odbywa się bez zwracania i nie interesuje nas kolejność (porządek) losowania obiektów ? 1. kn 2. kolejność nie jest ważna (rozważamy podzbiory, nie ciągi) Najpierw wybieramy k-elementowy podzbiór zbioru n-elementowego, a potem ustawiamy jego elementy w pewnej kolejności (w k-elementowy ciąg) Zauważmy, że jest to nieco inny sposób definiowania P(n,k)=podzb(n,k)*k!

Zliczanie zbiorów cd. podzb(n,k) oznacza liczbę podzbiorów k-elementowych zbioru n-elementowego podzb(n,k) nazywamy współczynnikiem dwumianowym Newtona, oznaczamy go tak, jak na poniższym wzorze i czytamy jako „n nad k” („n po k”) a zatem Kombinacje k-elementowe zbioru n-elementowego „n po k” – liczba kombinacji k-elementowych zbioru n-elementowego

Zliczanie zbiorów cd. Na ile sposobów można wylosować k obiektów spośród n obiektów, gdy losowanie odbywa się ze zwracaniem i interesuje nas kolejność (porządek) losowania ? 1. k dowolne w stosunku do n 2. kolejność jest ważna za każdym razem mamy do dyspozycji taką samą liczbę elementów n*n*n*..*n k razy zatem nk K-elementowe wariacje z powtórzeniami zbioru n-elementowego Liczba takich wariacji wynosi nk

Przykłady Wariacje: Liczba sposobów wylosowania pięciu kart z jednoczesną rejestracją kolejności losowania. Permutacje: Liczba różnych sposobów ułożenia kart – 52! Kombinacje: Liczba sposobów rozdania jednej osobie pięciu kart – „52 po 5”. Wariacje z powtórzeniami: Liczba różnych słów, jakie można zapisać w ośmiobitowym rejestrze – 28.

Zliczanie funkcji A: a, b, c, d, e, f, g B: |A|=7, |B|= 5 1. Ile jest funkcji całkowitych ze zbioru A do zbioru B gdzie | A |=k | B |=n ? f : AB | f : AB | UWAGA: Problem zliczania można przedstawić jako odpowiedź na pytanie 1. Na ile sposobów można rozmieścić pewne obiekty w pewnej liczbie pudełek ? 1 2 3 4 5 |A|=7, |B|= 5 A: a, b, c, d, e, f, g B:

Zliczanie funkcji cd. Na poprzednim rysunku A jest zbiorem argumentów funkcji, B jest zbiorem wartości. Ograniczenia: 2. W każdym pudełku może znajdować się jeden element 3. Żadne pudełko nie może być puste 4. Spełnienie jednocześnie ograniczeń 1 i 2 Ograniczenia pozwalają postawić pytania: 2. Ile jest funkcji całkowitych różnowartościowych z A do B ? 3. Ile jest funkcji „na” z A do B ? 4. Ile jest odwzorowań wzajemnie jednoznacznych z A do B ? Odpowiedź 1: |B||A| liczba funkcji całkowitych - analogia do wariacji z powtórzeniami

Zliczanie funkcji cd. Odpowiedź 2: Załóżmy, że |A|=n, |B|=m Pierwszy element możemy włożyć do m pudełek, drugi już tylko do m-1, ostatni do m-n+1 zatem m*(m-1) * (m-2) ... * (m-n+1) - analogia do wariacji bez powtórzeń Odpowiedź 3: Załóżmy, że |A|=n, |B|=m nm Na razie powiedzmy, że jest to liczba podziałów zbioru n-elementowego na m części Odpowiedź 4: Załóżmy, że |A|=n, |B|=m n=m m! - analogia do permutacji

Rozmieszczenie uporządkowane Na ile sposobów można rozmieścić (rejestrując kolejność – porządek elementów po rozmieszczeniu ich w pudelkach) n obiektów w m pudełkach ? Obiekty rozmieszczone w każdym pudełku będą teraz ułożone w sposób uporządkowany – zatem będą tworzyły ciągi. Pierwszy element (nazwijmy go „a”) możemy rozmieścić na m sposobów (bo tyle mamy pudełek) Drugi element „b” możemy już rozmieścić na m+1 sposobów, bo: do m-1 pudełek możemy go po prostu tylko włożyć do pudełka, w którym jest już element „a”, „b” możemy włożyć na dwa sposoby reasumując m*(m+1)*..*(m+n-1) - jak to można inaczej zapisać ?? a, b b,a

Przykład Ile możliwych sposobów wyboru prac semestralnych ma 5 studentów, jeśli wykładowca przygotował 8 tematów oraz studenci nie mogą wybierać tematów już wybranych ? Czyli Ile jest ciągów pięcioelementowych z ośmioelementowego zbioru ? Ile jest funkcji całkowitych różnowartościowych ze zbioru pięcioelementowego w zbiór ośmioelementowy ? Jak rozwiązać następujące problemy kombinatoryczne: Na ile sposobów można pokolorować n wierzchołkowy graf dysponując m kolorami ? Ile można ułożyć planów zajęć, jeśli istnieje n grup i m sal wykładowych (brak ograniczeń czasowych na długość zajęć w każdej z sal) ?

Zasada włączeń i wyłączeń Aby znaleźć liczbę elementów zbioru A1A2..An, znajdź liczby elementów wszystkich możliwych przecięć zbiorów spośród {A1,A2,..,An }. Dodaj do siebie wyniki uzyskane dla przecięć nieparzystej liczby zbiorów, a następnie odejmij wyniki uzyskane dla przecięć parzystej liczby zbiorów. Zasada włączeń i wyłączeń jest uogólnieniem prawa sumy. Jak to działa dla trzech zbiorów: | A1A2A3 | = |A1|+|A2|+|A3|+| A1A2A3| - ( |A1A2|+|A2A3|+|A1A3| ) A2 A1 A3

Zasada włączeń i wyłączeń cd. W przypadku ogólnym: | A1A2...  An | = Dowód: przez indukcję - ćwiczenia Powyższy wzór ma składników UWAGA: Zasadę stosujemy w przypadkach: 1. Interesuje nas liczba elementów bez ich zliczania 2. Łatwo policzyć elementy wielokrotnych przecięć

Przykład Ile zrobiono łącznie kanapek z salami, musztardą i ogórkiem, jeśli było do dyspozycji 25 porcji salami, 20 porcji musztardy i 15 porcji ogórka ? Wiadomo również, że 12 porcji było z musztardą i salami, 7 z salami i ogórkiem, 4 z musztardą i ogórkiem ??  oraz 3 kanapki miały każdy ze składników |SMO|=25+20+15-(12+7+4)+3=40 Ile jest słów 9 bitowych zawierających podciąg 10101 A1={10101xxxx} za każde x można wstawić element ze zbioru {0,1} A2={x10101xxx} A3={xx10101xx} A4={xxx10101x} A5={xxxx10101} |Ai|=24=16 |AiA(i+2)|=4 |AiA(i+1)|=0 |A1A5|=1 |A1A4|= |A2A5|=0 Jedyne niepuste przecięcie trzech zbiorów to |A1A3 A5|=1 Przecięcia każdych czterech zbiorów oraz wszystkich pięciu zbiorów są puste, zatem |A1 A2 A3 A4 A5|= 5*16-(4+4+4+1)+1=68

Liczby Stirlinga drugiego rodzaju Liczbą Stirlinga drugiego rodzaju nazywamy liczbę podziałów zbioru n elementowego na m części (ozn. S(n,m)). Liczby te definiuje się rekurencyjnie: S(n,m)=0 jeśli m>n S(n,n)=1 S(n,1)=1 S(n,0)=0 dla n>0 S(n,m)=S(n-1,m-1)+m*S(n-1,m) Ile jest podziałów dwuelementowych zbioru trójelementowego ?? {{1},{2,3}} {{2},{1,3}} {{3},{1,2}} S(3,2)=S(2,1)+2*S(2,2)= =S(1,0)+1*S(1,1)+2*S(2,2)= =0+1+2=3 Trójkąt Stirlinga S(0,0) S(1,0) S(1,1) S(2,0) S(2,1) S(2,2) S(3,0) S(3,1) S(3,2) S(3,3)

Liczba relacji równoważności Każdy podział zbioru wyznacza relację równoważności w tym zbiorze, zatem jeśli zsumujemy liczbę wszystkich podziałów zbioru n-elementowego (od podziału złożonego ze zbiorów jednoelementowych do podziału jednoelementowego), to otrzymamy również liczbę wszystkich relacji równoważności określonych w interesującym nas zbiorze Liczba wszystkich podziałów zbioru n-elementowego to tzw. liczba Bella B(n) Odpowiedź 3: S(n,m)*m! liczba funkcji całkowitych „na” z A do B S(n,m) liczba podziałów zbioru n-elementowego na m części Mając podział, każdemu elementowi ze zbioru A przypisujemy element podziału – mamy funkcję. Dla każdego podziału możemy otrzymać m! takich przypisań

Podziały zbioru – inne podejście Na ile sposobów można podzielić zbiór A na r rozłącznych podzbiorów A1, A2, .., Ar o mocach odpowiednio t1, t2,..,tr ? Popatrzmy na ten problem jako na uogólnienie kombinacji. Zbiór pierwszy A1 można wybrać na pozostałe elementy możemy już wybrać na sposobów Stosując ogólne prawo mnożenia otrzymujemy, że wszystkich ciągów A1, A2, .., Ar o żądanych parametrach jest a to się równa i oznacza oraz nazywa współczynnikiem wielomianowym

Przykład Ile różnych 10-literowych słów można utworzyć z liter słowa MATEMATYKA ? Mamy dwie litery M, trzy A, dwie T, i po jednej E, Y, K. Wyobraźmy sobie zbiór dziesięciu miejsc, które czekają na zapełnienie ich tymi literami Musimy ten zbiór (miejsc) podzielić na podzbiory 2,3,2,1,1,1 elementowe Każdy taki podział wyznacza jedno słowo. Zatem

Przypomnienie pewnych własności Własności współczynników dwumianowych Dowód: sprowadza się do wykonania pewnych przekształceń algebraicznych przy wykorzystaniu definicji „n nad k”. Dwumian Newtona Dowód: ćwiczenia W szczególności UWAGA: Współczynniki dwumianowe zapisywane rzędami dla kolejnych wartości n tworzą strukturę zwaną trójkątem Pascala, w którym każdy kolejny (z wyjątkiem skrajnych) jest sumą dwóch stojących nad nim.

Zasada szufladkowa Dirichleta Jeśli skończony zbiór X (|X|=n) podzielimy na m podzbiorów, to co najmniej jeden z podzbiorów tego podziału będzie miał co najmniej elementów (nm) Uogólniona zasada szufladkowa Dirichleta Niech A1, A2, ..,Am będą podzbiorami skończonego zbioru X takimi, że każdy element zbioru X należy do co najmniej t spośród zbiorów Ai, wówczas średnia arytmetyczna liczby elementów zbiorów Ai wynosi t*|X|/m. Jeśli podział zdefiniowany jest przez funkcję, to: Niech dana jest funkcja f:XY, gdzie X, Y są skończonymi zbiorami spełniającymi nierówność |X|>t*|Y|, wówczas co najmniej jeden ze zbiorów f--1({y}) ma więcej niż t elementów.

Przykład Załóżmy, że mamy dziewięć nieujemnych liczb rzeczywistych a1, a2,..,a9 takich, że ich suma wynosi 675. Jak pokazać, że wśród tych liczb muszą istnieć cztery takie liczby, których suma wynosi co najmniej 300 ? a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a1 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a1 a2 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a1 a2 a3 suma tych liczb wynosi 4*675 czyli 2700 2700=(a1+a2+a3+a4)+(a2+a3+a4+a5)+..+(a9+a1+a2+a3) Zatem na mocy zasady szufladkowej jeden z nawiasów musi mieć sumę równą co najmniej 2700/9=300.