Równania różniczkowe cząstkowe liczba zmiennych > 2 rząd równania: rząd najwyższej pochodnej charakterystyka: liniowe, quasi-liniowe, nieliniowe

klasyfikacja równań liniowych rzędu drugiego

Motywacja dla takiej klasyfikacji Najprostsze rozwiązania: Również dla bardziej skomplikowanych równań lokalne własności rozwiązanie zależą od znaku wyrażenia B2-4AC. Outline: Central Scientific Problem – Artificial Intelligence Machine Learning: Definition Specifics Requirements Existing Solutions and their limitations Multiresolution Approximation: Limitation Our Approach. Results. Binarization. Plans.

y węzeł pomocniczy h=(hx,hy) hy Xk hx Parametr h charakteryzuje siatkę h x węzeł podstawowy W metodach różnicowych poszukuje się tablicy wartości przybliżonych uh rozwiązania dokładnego u na zbiorze izolowanych punktów Xk (k=1,2,...,Nh ) zwanym siatką. Punkty Xk są nazywane węzłami siatki.

Zastępowanie pochodnych ilorazami różnicowymi na siatce prostokątnej hk k-1 i-1 i i+1

k+1 k hi hk k-1 i-1 i i+1

k+1 k hi hk k-1 i-1 i i+1

Interpolacja liniowa dla warunku brzegowego Dirichleta  i,k i+1,k i-1,k Zakładając liniowy rozkład rozwiązania między sąsiednimi węzłami mamy:

Interpolacja liniowa dla warunku brzegowego Neumanna. hi i-1,k i,k hk n i,k-1

w przypadku dwuwymiarowym x=(x,y) Równania eliptyczne w przypadku dwuwymiarowym x=(x,y) Warunki brzegowe:

Przykład: równanie Poissona dla cząsteczki makromolekuły w rozpuszczalniku Równanie Poissona przechodzi w równanie Poissona-Boltzmanna (nieliniowe) jeżeli w środowisku znajdują się jony

e=80 e=4 Na podstawie obliczonego potencjału elektrostatycznego można obliczyć wkład elektrostatyczny do energii swobodnej solwatacji makromolekuły

Przykład: mapy potencjału elektrostatycznego kinazy zależnej od cAMP (1YDR); po lewej powierzchnie izopotencjalne, po prawej mapa potencjału na powierzchni molekularnej.

10 y(k) 9 8 7 p 6 hy j-1 j j+1 5 l 4 3 2 (0,0) hx 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x(i)

Dla węzłów wewnętrznych: p j-1 j j+1 l

styczna m p-1 p (xkp,ykp) normalna

Metoda Jacobiego w 2D Równanie Poissona -4* u(i,j) + u(i-1,j) + u(i+1,j) + u(i,j-1) + u(i,j+1) = h2 b(i,j) Dla wyprowadzenie metody Jacobiego przegrupujemy: u(i,j) = (u(i-1,j) + u(i+1,j) + u(i,j-1) + u(i,j+1) - h2 b(i,j))/4 Niech u(i,j,m) aproksymuje u(i,j) w m krokach u(i,j,m+1) = (u(i-1,j,m) + u(i+1,j,m) + u(i,j-1,m) + u(i,j+1,m) + b(i,j)) / 4 u(i,j,m+1) jest średnią ważoną sąsiadów u(i,j,m+1) spełnia równanie w punkcie (i,j) Zbieżność zależy od N i jest bardzo wolna 4 -1

b równe 0, z wyjątkiem środka gdzie wynosi b= -1/ h2

parameter(n=9) double precision a(n,n),b(n,n),f(n,n),h do i=1,n do j=1,n f(i, j)=0 a(i, j)=0 b(i, j)=a(i, j) enddo h=1.0/n f(5,5)=-1.0/h**2 diff=1 k=0 DO WHILE(diff.gt.0.0001) call pisz(a,n,k) DO j=2, n-1 DO i=2, n-1 B(i, j)=0.25*(A(i-1, j)+A(i+1, j)+A(i, j-1)+A(i, j+1)-H*H*F(I,J)) END DO diff=0 DO j=1, n DO i=1, n diff=diff+(B(i, j)-A(i, j))**2 A(i, j) = B(i, j) k=k+1 write(*,*) k,diff end

Jak przyspieszyć zbieżność ? Jacobi : nowe wartości wykorzystane dopiero w następnej iteracji A*ij = (Ai+1,j + Ai-1,j + Ai,j+1 + Ai,j-1)/4 Gauss-Seidel : nowe wartości wpisywane bezpośrednio do macierzy A Red Block : podział siatki jak na szachownicy Successive Over Relaxation (SOR) A*ij = (1-s)Aij +  s(Ai+1,j + Ai-1,j + Ai,j+1 + Ai,j-1)/4 dla s =1.2 do 1.4 Multigrid – siatka hierarchiczna