Studia niestacjonarne 2009/10 r. Planowanie eksperymentu Studia niestacjonarne 2009/10 r.

Cele eksperymentu potwierdzenie lub sfalsyfikowanie określonej teorii (hipotezy); znalezienie związku między bodźcem (przyczyną X) i zachowaniem obiektu (skutkiem Y): Y = f(X) lub optymalizacja obiektu badań.

Co to jest eksperyment? Zabieg badawczy, polegający na celowym wywoływaniu zjawiska (lub jego zmiany) w warunkach kontrolowanych oraz zbadaniu jego przebiegu, cech lub zależności. (Enc. PWN 1995) Pytanie, jakie teoria zadaje Naturze. (I. Kant);

Najprostszy eksperyment Wartość teoretyczna pewnej wielkości fizycznej wynosi XT = 21,00 Zaplanować eksperyment weryfikujący tę wartość Hipoteza zerowa: Ho: XT – Xe= 0, tj. XT = Xe Hipoteza alternatywna: H1: XT ≠ Xe Ale Xe jest zmienną losową, (wynik pomiaru) stąd konieczny jest test statystyczny

Wyniki eksperymentu Średnia Xe = 20,37 Nr 1 2 3 4 X 20,91 19,82 20,53 20,21 Średnia Xe = 20,37 Odchylenie std. poj. pomiaru σ = 0,46

t < tcr dlatego nie ma podstaw do odrzucenia H0 Test t-Studenta Statystyka t = (XT – Xe )/ σXe = (XT – Xe )√N/ σ t = (21,00 – 20,37)√4/0,46 = 2,74 Dla poziomu istotności testu α = 0,05 tcr (α/2 = 0,025, ν = 4-1=3) = 3,19 t < tcr dlatego nie ma podstaw do odrzucenia H0

Błędy w testowaniu hipotez

Wyniki eksperymentu poszerzonego Nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X 20,91 19,82 20,53 20,21 20,48 20,55 20,37 20,62 20,13 21,10 Średnia Xe = 20,47 Odchylenie std. poj. pomiaru σ = 0,37

t > tcr dlatego H0 należy odrzucić Test t-Studenta Statystyka t = (XT – Xe )/ σXe = (XT – Xe )√N/ σ t = (21,00 – 20,47)√10/0,37 = 4,53 Dla poziomu istotności testu α = 0,05 tcr (α/2 = 0,025, ν = 10-1 = 9) = 2,25 t > tcr dlatego H0 należy odrzucić

Moc testu – power of the test przykład Przy 4 pomiarach (N = 4) 1- β = 0,38 < 0,8 Przy N = 10 1- β = 0,98 > 0,8

Moc testu 1-β zależy od N i σ/Xe 1,0 1- β σ/Xe = 0,4 0,6 σ/Xe = 0,8 0,2 60 100 20 N

Niezbędna liczba pomiarów N Poziom ufności np. 68% _ p(X) Δ Δ _ X = X (tolerancja) Δ = (odchylenie std. średniej) σx/N0,5 => N = (σx /Δ)2

Niezbędna liczba pomiarów N Poziom ufności tu: 95% _ p(X) Δ Δ = X (tolerancja) Δ = (2 odchylenia std. średniej) 2 σx/N0,5 => N = ( 2 σx /Δ)2

Niezbędna liczba pomiarów N Poziom ufności γ% _ p(X) Δ Δ = X (tolerancja) Δ = (t odchyleń std. średniej) = t · σx/N0,5 => N = ( t · σx /Δ)2 gdzie: t (γ, N) - promień przedziału ufności

Wpływ liczebności prób N na rozkład średniej _ p(X) 5 5 _ X = X1 = X2 σx = 20 N = 16 σx /N0,5 = 20/4 = 5

Wpływ liczebności prób N na rozkład średniej _ p(X) 5 5 2 2 _ X = X1 = X2 σx = 20 N = 16 σx /N0,5 = 20/4 = 5 σx = 20 N = 100 σx /N0,5 = 20/10 = 2

Wpływ liczebności prób N na rozkład średniej _ p(X) 5 5 1 1 _ X = X1 = X2 σx = 20 N = 16 σx /N0,5 = 20/4 = 5 σx = 20 N = 400 σx /N0,5 = 20/20 = 1

Wpływ liczebności próby na odchylenie std. średniej

Niezbędna liczba pomiarów N dla wykazania różnicy średnich Δ t2σx2 t1σx1 _ p(X) Δ β α _ X = X1 = X2 = = N = [(t1+t2)σx/(X2-X1)]2

Model „czarnej skrzynki” Obiekt badań x2 x1 xn . f y

Dwie wielkości wejściowe Y = f (X1, X2) Dwie wielkości wejściowe X 10 2 9 8 7 y max 5 6 25 10 15 5 20 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X 1

Plan kompletny dla dwóch zmiennych wejściowych

Plany badań Plan kompletny X2 X1 10 9 8 7 y max 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 X1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Planowanie badań i analiza wyników Plan badań 10 y=f (x ); x =x =const 2 2 1 1opt x 2 Planowanie badań i analiza wyników Plan badań 9 krok 2 8 7 6 Wyznaczone maksimum (?) 5 4 ? 3 2 1 10 20 30 y 20 krok 1 y=f (x ) ; x =const 1 1 2 y Plan tradycyjny 15 10 5 1 2 3 4 5 x 6 7 8 9 10 1opt x 1

Plan badań optymalizacyjnych Plan dwupoziomowy X2 10 9 8 7 y max 6 5 4 3 2 1 X1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Plany czynnikowe kompletne dwupoziomowe 2p Często wystarczy przyjąć, że każda ze zmiennych wejściowych występuje tylko na dwóch poziomach. Plany takie pozwalają jednoznacznie wyznaczyć jedynie funkcje regresji o postaci: gdzie - współczynniki regresji dla zmiennych standaryzowanych.

Normowanie wielkości wejściowej xk α – ramię gwiezdne, np. α = 1

Plan dwupoziomowy a) całkowity (32 = 8) b) połówkowy

Plan całkowity 32 = 8 i połówkowy Nr dośw. 1 -1 2 (1) 3 (2) 4 (3) 5 (4) 6 7 8

Punkty centralne planu Jeżeli podejrzewamy, że badana zależność ma charakter nieliniowy, należy do eksperymentu dołączyć jeden lub kilka punktów środkowych, w których kodowane zmienne wejściowe przyjmują wartość równą 0. Są to tzw. punkty centralne planu (central points). W dalszej analizie porównuje się wyniki pomiarów w punktach centralnych ze średnią wartością uzyskaną z punktów planu -1 oraz +1. Pozwala to sprawdzić stopień krzywizny badanej funkcji (check for curvature). Jeżeli średnia z wartości zmiennej zależnej w punktach centralnych istotnie różni się od średniej wartości ze wszystkich pozostałych punktów planu, to badany związek jest nieliniowy.

Planowanie badań i analiza wyników Klasyfikacja planów badań

Popularne programy CADEx /DoE

Statistica

Błędy w planowaniu eksperymentu Rachunek błędu (niepewności) – oddzielne zagadnienie; Brak randomizacji; Zbyt mała (znacznie rzadziej: zbyt duża) liczba doświadczeń; Zbyt szybki demontaż stanowiska badawczego (przed obróbką wyników).

Bibliografia http://www.eti.pg.gda.pl/katedry/kose/dydaktyka/Metrologia/planowanie_eksperymentu.pdf http://imisp.mech.pw.edu.pl/imisp_site/docs/51.doc Park H.M. Hypothesis testing and statistical power of a test. www.indiana.edu/~statmath/ stat/all/ power/power.pdf 15. 05. 2008

Planowanie eksperymentu Literatura pomocnicza Mańczak K. „Technika planowania eksperymentu” WNT, W. 1976 Brandt S. „Analiza danych” PWN, W. 1998 Eadie W.T. i in. „Metody statystyczne w fizyce doświadczalnej” PWN, W.1989 Polański Z. „Planowanie doświadczeń w technice” PWN, Warszawa1984