Różniczkowanie numeryczne niesymetryczny iloraz różnicowy symetryczny iloraz różnicowy

y f(x+h) f(x) f(x-h) x-h x x+h Wzory powyższe można wyprowadzić różniczkując wielomian interpolacyjny odpowiednio o węzłach w x i x+h (wielomian pierwszego stopnia) lub x-h, i oraz x+h (wielomian drugiego stopnia).

Za wartość h można przyjąć liczbę rzędu pierwiastka kwadratowego dokładności obliczania wartości funkcji czyli w ogromnej większości przypadków dokładność maszynową. Z jednej strony zmniejszenie h daje teoretycznie lepsze przybliżenie pochodnej ilorazem różnicowym ale z drugiej strony zbyt małe h powoduje że przy odejmowaniu bliskich sobie wartości funkcji tracimy dużo cyfr znaczących. Dla liczb podwójnej precyzji gdzie e=10-15 h=10-7. Pochodne cząstkowe pierwszego obliczamy numerycznie w identyczny sposób inkrementując kolejne zmienne. Wynikiem jest wektor pochodnych (gradientu). Jeżeli chcemy obliczyć pochodne cząstkowe tylko w jednym punkcie to symetryczne ilorazy różnicowe są 2 razy droższe od niesymetrycznych.

Drugie pochodne: wzór drugiego rzędu (3 punkty) Drugie pochodne: inny wzór drugiego rzędu (4 punkty)

Całkowanie numeryczne p(x) – funkcja wagowa (zwykle stała) S(f): kwadratura x1, x2,..., xN: węzły kwadratury Mamy dwa rodzaje kwadratur: kwadratury Newtona-Coatesa i kwadratury Gaussa.

Kwadratury Newtona-Cotesa W kwadraturze Newtona-Coatesa rzędu N przybliżamy funkcję podcałkową przez wielomian interpolacyjny Lagrange’a stopnia N o równoodległych węzłach. Funkcja wagowa p(x)=1. Kwadratura prosta: jeden wielomian dla całego przedziału całkowania (mało praktyczne). Kwadratura złożona: przedział całkowania dzieli się na podprzedziały i w każdym prowadzi się odpowiedni wielomian interpolacyjny.

Błąd kwadratury Rząd kwadratury (r)

N=1: wzór trapezów kwadratura prosta błąd kwadratura złożona y xo=a x1 xn=b

N=2: wzór Simpsona kwadratura prosta błąd kwadratura złożona

Schemat Romberga Dzielimy przedział całkowania na 2i segmentów. Następnie definiujemy (wzór trapezów): Z wartości Toi można następnie wyliczyć przybliżenia całki odpowiadające wzorowi parabol (Simpsona) (T1i):

Ogólnie dla kwadratury m-tego rzędu:

Kwadratury McLaurina Kwadratura prosta y Kwadratura złożona f(x2+h/2) xo=a x1 (x0+h) x2 (x0+2h) xn=b

Kwadratury Gaussa Kwadraturą Gaussa nazywamy kwadraturę o maksymalnym rzędzie przy ustalonej liczbie węzłów. Jeżeli liczba węzłów wynosi N+1 to maksymalny rząd kwadratury wynosi 2(N+1). Węzły nie są równoodległe (zaleta: można całkować numerycznie w przedziałach nieograniczonych). Do kwadratur Gaussa używa się wielomianów ortogonalnych.

Kwadratury Gaussa-Legendre’a (przedział całkowania skończony, funkcja podcałkowa ograniczona) xk są kolejnymi pierwiastkami wielomianu Legendre’a PN+1

5 pierwszych wielomianów Legendre’a

Węzły i współczynniki kwadratur Gaussa-Legendre’a dla N=1, 2, 3, 4 Węzły xk Współczynniki Ak 1 0; 1 2 0; 2 5/9 8/9 3 0; 3 1;2 0.347855 0.652145 4 0;4 1;3 0.236927 0.478629 0.568889

Błąd kwadratury Gaussa-Legendre’a

Kwadratury Gaussa-Jacobiego (przedział całkowania skończony ale funkcja podcałkowa nie musi być ograniczona) Wielomiany ortogonalne są wielomianami Jacobiego

Błąd kwadratury Gaussa-Jacobiego

Jeżeli a=b=-1/2 mamy kwadratury Czebyszewa z wielomianami Czebyszewa, Tn(x).

Przykład zastosowania kwadratury Gaussa-Czebyszewa f(y) p(y) Wartość dokładna: 3p@9.4247796

Kwadratury Gaussa-Laguerre’a dla przedziału (0, ¥) Wielomiany Laguerre’a xk – pierwiastki wielomianu Laguerre’a stopnia n+1

Kwadratury Gaussa-Hermite’a dla przedziału (-¥, ¥) Wielomiany Hermite’a xk – pierwiastki wielomianu Hermite’a stopnia n+1

Błąd kwadratury Gaussa-Laguerre’a Błąd kwadratury Gaussa-Hermite’a