Homologia, Rozdział I „Przegląd” Homologia, Rozdział 1

Homologia Pozwala na podstawie lokalnych obserwacji wnioskować na temat całości, Narzędzie łączące w sobie algebrę, kombinatorykę, matematykę obliczeniową oraz topologię, Homologia, Rozdział 1

Przykład – otaczanie. (Slajd 1) Rys 1.1 Homologia, Rozdział 1

Nasuwające się pytanie: Czy możemy rozwinąć algebraiczne narzędzie, które zdeterminuje ile regionów jest otoczonych przez zbiór linii? Rys 1.2 Dodać rysunek 1.2 Homologia, Rozdział 1

Cele tej książki: Nauczyć, jak dopasować do danej przestrzeni topologicznej sekwencję obiektów zwanych ‘grupami homologicznymi’, Uzyskanie informacji na temat topologii całej przestrzeni. Homologia, Rozdział 1

Grafy Graf jako sposób definiowania prostych obiektów, Definicja (1.1) graf – podzbiór R3 na który składają się: {V1, ..., vn} , vi  R – zbiór wierzchołków {X  R3 | x = tv0 + (1-t)v1, 0  t  1} – zbiór krawędzi łączących wierzchołki (v0 ,v1) grafu spełniające warunki: Przecięcie dwóch różnych krawędzi jest zbiorem pustym lub dokładnie jednym wierzchołkiem Jeżeli krawędź oraz wierzchołek przecinają się to ten wierzchołek jest punktem końcowym tej krawędzi. Inne definicje: ścieżka, pętla, graf połączony, drzewo. Homologia, Rozdział 1

Graf kombinatoryczny. Definicja (1.2) graf kombinatoryczny: Para (V,E) gdzie: V – skończony zbiór wierzchołków E – skończony zbiór krawędzi Krawędź o wierzchołkach v1, v2 to: e = [v1,v2] Homologia, Rozdział 1

Różne reprezentacje tych samych zbiorów w R3 (przykład). G = [0,1]  R. Reprezentacje kombinatoryczne: V1 = {0,1}, E1 = {[0,1]} – naturalny V2 = {0,1/2,1}, E2={[0,1/2],[1/2,1]} Vn := {j/n | j = 0, ..., n} En := {[j/n, (j+1)/n] | j = 0, ..., n-1} Homologia, Rozdział 1

Różne reprezentacje grafów a niezmienność homologii. Do udowodnienia: Czy różne kombinatoryczne reprezentacje tych samych grafów będą miały tą samą homologię? Homologia, Rozdział 1

Ograniczenia topologiczne i algebraiczne. Rys1.4 Homologia, Rozdział 1

Ograniczenia topologiczne i algebraiczne. (tabele)  - „operator graniczny” Odwzorowanie liniowe: Dla I: Homologia, Rozdział 1

Dodawanie modulo 2. Inna reprezentacja I: Wyjście: arytmetyka mod2 E’(I) = {[a,c],[c,d],[d,e]}; V’(I) = {a,c,d,e} Wtedy: Co może być prawdą tylko dla Wyjście: arytmetyka mod2 Wtedy otrzymujemy odpowiednio równania: Dla I: Dla 1 równanie 1.1 Homologia, Rozdział 1

Dodawanie modulo 2. (wniosek i wyjątek) Przestrzenie z cyklami sumują się do 0. Wyjątek – Wypełnione obszary przestrzeni. Cykle, które są ograniczeniami powinny być ignorowane. Homologia, Rozdział 1

Śledzenie kierunków. Alternatywa dla arytmetyki mod2. Założenia: I oraz 1 są podzbiorami R2 Homologia, Rozdział 1

Redefinicja ‘’ Gdy kierunek krawędzi jest zgodny z kierunkiem osi to: [a,b] to algebraiczne [a,b] Gdy kierunek krawędzi jest przeciwny do kierunku osi to: [c,d] to algebraiczne –[c,d] Wtedy mając krawędź biegnącą z {a} do {b}: [a,b]:= b – a Gdzie  jest liniowe. Homologia, Rozdział 1

Przykłady. Dla I mamy: Dla 1 mamy: Homologia, Rozdział 1

Wnioski. Algebra odpowiadająca interesującej topologii jest cyklem – suma ograniczeń algebraicznych obiektów jest równa 0. Ponownie: cykle, które ograniczają jakiś obszar nie są interesujące. Homologia, Rozdział 1

Homologia ‘mod 2’ grafów. G = (V,E) – dany graf Dwie przestrzenie wektorowe: C0(G,Z2); C1(G,Z2); V – baza przestrzeni C0(G,Z2) E – baza przestrzeni C1(G,Z2) Przestrzenie Ck(G,Z2) zwane są k-tym łańcuchem dla G Homologia, Rozdział 1