Wstęga Möbiusa

August Ferdinand Möbius August Ferdinand Möbius urodził się 17 listopada 1790 r. w Schulpforta (Niemcy). Do 13. roku życia uczył się w domu. W 1803 roku rozpoczął naukę w szkole w Schulpforta, którą ukończył 6 lat później. W tym samym roku rozpoczął studia prawnicze na Uniwersytecie w Lipsku, jednak już w czasie pierwszego roku zmienił kierunek studiów i rozpoczął studiowanie matematyki, astronomii i fizyki. W 1813 roku udał się do Göttingen aby studiować astronomię u Carla Friedrich Gaussa, a później do Halle, by studiować również matematykę. W 1815 roku napisał pracę doktorską z astronomii. W 1816 roku rozpoczął pracę na Uniwersytecie w Lipsku, gdzie w roku 1944 otrzymał tytuł profesora. W 1848 roku został dyrektorem Obserwatorium w Lipsku. Zmarł 26 września 1868 roku w Lipsku. Möbius jest autorem wielu prac z matematyki i astronomii. Zajmował się geometrią, stworzył podstawy geometrii rzutowej i topologii. Dzisiaj jest znany głównie z powodu wstęgi nazwanej jego nazwiskiem Tę szczególną topologicznie powierzchnię odkrył w 1858 roku.

Topologia Topologia - (gr. topos – miejsce, logos – nauka) – jeden z najważniejszych kierunków w matematyce współczesnej. Obiektem jej badań są te własności figur geometrycznych i brył, które nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu tych figur (a więc np. położenie i sąsiedztwo punktów). Własności takie nazywa się własnościami topologicznymi figury. Przez zdeformowanie rozumie się tutaj dowolne zniekształcenie powierzchni bez jej rozerwania i „zlepienia” różnych punktów.

Wstęga Möbiusa Wstęga Möbiusa to dwuwymiarowa zwarta rozmaitość topologiczna istniejąca w przestrzeni trójwymiarowej, którą można uzyskać sklejając taśmę końcami "na odwrót". Jej najważniejszą cechą jest to, że ma tylko jedną stronę (jest tzw. powierzchnią jednostronną). Posiada również tylko jedną krawędź - "sklejenie" tej krawędzi (niemożliwe w przestrzeni trójwymiarowej) daje butelkę Kleina. Opisana przez niemieckiego matematyka Augusta Möbiusa i Johanna Benedicta Listinga w 1858 roku.

Wstęga Möbiusa Przykład wstęgi Möbiusa to prostokątny pasek papieru, skręcony o 180 stopni, a następnie sklejony końcami. Opisywany jest jako przykład powierzchni jednostronnej. Błędnie uznaje się, że symbol nieskończoności pochodzi od wstęgi Möbiusa; symbol ten był w użyciu od ponad dwustu lat, gdy Möbius i Listing odkryli wstęgę.

Ciekawostka 1 Robimy1 obręcz i 1 wstęgę sklejając ją po półobrocie paska. Najlepiej zastosować paski o długości ok. 30 cm i szerokości 3 cm . Pośrodku każdych z nich rysujemy linię ciągłą wzdłuż całej długości. Zauważamy, że w przypadku obręczy linia została narysowana tylko po jednej stronie , a w przypadku wstęgi Möbiusa po obu stronach. Wnioski: Wstęga Möbiusa jest powierzchnią jednostronną (ma tylko jedną stronę). Gdybyśmy chcieli pokolorować ją tylko po jednej stronie, zakolorowalibyśmy całą jej powierzchnię. Ponadto wstęga ta ma tylko jedną krawędź.

Ciekawostka 2 Robimy1 obręcz i 1 wstęgę sklejając ją po półobrocie paska. Zaznaczamy linię jak w poprzedniej ciekawostce i rozcinamy ją tym miejscu. Co nam wychodzi ? W przypadku rozcięcia obręczy otrzymujemy dwie obręcze, ale dwa razy węższe. Natomiast w przypadku rozcięcia wstęgi Möbiusa otrzymujemy ponownie wstęgę. Jest ona 2 razy węższa i 2 razy dłuższa niż na początku. Natomiast jeżeli rozetniemy obręcz z dwoma półobrotami powstaną dwie splecione ze sobą obręcze z dwoma półobrotami, równej długości jak przed rozcięciem.

Ciekawostka 3 i 4 3.Teraz sklejamy pod kątem prostym dwie czerwone wstęgi, jedną prawostronnie i jedną lewostronnie skręconą, a następnie rozcinamy je wzdłuż środka. Co otrzymujemy ? Otrzymujemy dwa połączone ze sobą czerwone serca. 4.Tym razem rozcinamy dwie obręcze, sklejone ze sobą pod kątem prostym. Co wychodzi? Otrzymujemy ramkę.

Ciekawostka 5 i 6 5.Co dzieje się jeśli skleimy pasek papieru robiąc 1, 2, 3, 4 itd. półobrotów? Liczba półobrotów Liczba stron kartki 2 1 3 4 6.Co powstanie jak rozetniemy wstęgę Mobiusa z jednym półobrotem i dwoma półobrotami na 1/3 szerokości. Po przecięciu wstęgi wzdłuż jednej trzeciej szerokości otrzymamy jedną węższą wstęgę Möbiusa o długości równej wyjściowej wstędze oraz splecioną z nią dwukrotnie dłuższą, dwukrotnie skręconą obręcz. Jeżeli zaś rozetniemy na 1/3 szerokości obręcz z dwoma półobrotami, otrzymamy dwie jedną węższą i splecioną z nią dwukrotnie szerszą, obręcze z dwoma półobrotami.

Zastosowania Wstęga ta znalazła zastosowanie w technice. Poza tym jest ona lubianym elementem dekoracyjnym : *w logo firmy Renault autorstwa Victora Vasarely'ego, logo niemieckiego Commerzbanku i innych firm, np.  Global Investment Servicing, Carmike Cinemas i amerykańskiej firmy administrującej ubezpieczeniami zdrowotnymi HMS Holdings Corporation * na belgijskim i holenderskim znaczku pocztowym jako symbol poczty Beneluxu

Zastosowania Wstęga Möbiusa zainspirowała twórców symbolu recyclingu. Znak ten jest symbolem procesu transformacji zużytych odpadów w gotowe do ponownego użytku materiały. Jest to symbol powrotu do natury, działania człowieka zostają zwrócone przyrodzie. Wszystko odradza się zgodnie z planem matki Natury. Działanie człowieka staje się ekologiczne. Odpady przekształcają się z powrotem w materiały, którymi były. Następuje powrót do punktu wyjścia - jak we Wstędze Möbiusa.

Zastosowania *Wstęga ta znalazła zastosowanie w technice (skręcona taśma filmowa, pasy transmisyjne zużywające się w jednakowy sposób po obu stronach). *Również elementy wstęgi Möbiusa można spotkać w narciarskich skokach akrobatycznych. W czasie "Koziołka Möbiusa" ciało skoczka kreśli fragment tej powierzchni.

Rzeźba (wstęga)

Podsumowanie *Wstęga Möbiusa powstaje po sklejeniu końców prostokątnego paska papieru, ale przed sklejeniem trzeba przekręcić jeden koniec o 180°, *Jest to niezwykła topologicznie powierzchnia, mająca jedną stronę i jedną krawędź, *Została odkryta w 1858 roku przez Augusta F. Möbiusa, *Jest stosowana w wielu dziedzinach, np. w technice, architekturze, *W wyniku jej odpowiedniego rozcinania można otrzymać bardzo ciekawe efekty.

Koniec