Grafy inaczej, czyli inne modele grafów Multigrafy Grafy z wagami Grafy skierowane Hipergrafy Grafy losowe (MPK 410, STL 510)

Multigrafy Multigrafy to grafy z wagami na krawędziach; wagi to lczby naturalne – krotności krawędzi. Problem Chińskiego listonosza: znaleźć rozpięty nadgraf eulerowski o najmniejszej wadze. Inny problem: znaleźć rozpięty nadgraf o najmniejszej maksymalnej wadze krawędzi, w którym wszystkie stopnie są różne. Wariant: jak wyżej, ale chcemy tylko, by pary sąsiednich wierzchołków miały różne stopnie (stopnie w roli kolorów wierzchołków). Dla K_n odpowiedź wynosi 3 (ćw.)

Grafy z wagami G=(V,E,w), w:ER Wagę podgrafu określamy jako sumę wag jego krawędzi. Klasyczne problemy optymalizacji: MST – znaleźć rozpięte drzewo o minimalnej wadze. Optimal Assignment Problem – znaleźć skojarzenie doskonałe w grafie dwudzielnym K_{n,n} o minimalnej (maksymalnej) wadze. TSP – znaleźć cykl Hamiltona o minimalnej wadze (problem w klasie NP– zupełnej).

Parametry ułamkowe Skojarzenie ułamkowe to funkcja w:E  [0,1] taka, że dla każdego v α’*(G) to największa waga skojarzenia ułamkowego w grafie G, czyli rozwiązanie problemu PL

Parametry dualne Wierzchołkowe pokrycie ułamkowe to funkcja w:V  [0,1] taka, że dla każdej krawędzi e=uv β*(G) to najmniejsza waga wierzchołkowego pokrycia ułamkowego w grafie G, czyli rozwiązanie problemu PL

Twierdzenie o dualności PL Tw. o dualności: β*(G)= α’*(G) – tzn. ułamkowe tw. Königa zachodzi dla wszystkich grafów. Dla grafów dwudzielnych zachodzi tw. Königa: β(G)= α’(G) . Zatem, dla grafów dwudzielnych α’(G) ≤ α’*(G) = β*(G) ≤ β(G)= α’(G), a więc α’(G) = α’*(G) .

Grafy skierowane Graf skierowany (digraf) to para (V,A), gdzie A jest zbiorem uporządkowanych par różnych wierzchołków z V. Elementy zbioru A nazywamy łukami, a na rysunkach parę (u,v) przedstawiamy w postaci strzałki z u do v. u v

Orientacje, turnieje i grafy podskórne Z (nieskierowanego) grafu G można utworzyć graf skierowny nadając kierunek każdej krawędzi – orientacja grafu G. Turniej to orientacja grafu pełnego K_n Odwrotnie, z digrafu D można utworzyć zwykły (multi)graf G(D) ,,wymazując” wszystkie strzałki – tzw. podskórny graf nieskierowany digrafu D.

Odpowiednik Tw. Diraca Półstopnie wejścia i wyjścia, d^-(v), d^+(v) Twierdzenie Diraca dla digrafów. Jeśli wszystkie półstopnie wejścia i wyjścia są większe bądź równe n/2, to D zawiera skierowany cykl Hamiltona. 

Spójność i odpowiednik Tw. Eulera Digraf D jest spójny, gdy jego graf podskórny G(D) jest spójny. Digraf D jest silnie spójny, gdy dla każdej pary wierzchołków (u,v) istnieje w D skierowana ścieżka z u do v. Tw. Eulera dla digrafow. Spójny digraf D ma skierowany obchód Eulera wgdy dla każdego v: d^-(v)=d^+(v).

Silna spójność orientacji Czy dany, spójny system dróg G można zmienić na jednokierunkowy, tak, by każdy wszędzie mógł (legalnie) dojechać? Chodzi tu o silnie spójną orientację grafu G. Jeśli G ma most, to nie. Tw. o silnie spójnej orientacji (Robbins 1939). Jeśli G jest 2-krawędziowo-spójny, to posiada silnie spójną orientację.

Silna spójność turnieju Tw. (Moon 1966) Jeśli D jest silnie spójnym turniejem, to dla każdego k=3,…,n każdy wierzchołek leży na skierowanym cyklu długości k. Szkic dowodu (ind. wzgl. k): Ustal wierzchołek u i pokaż, że u leży na skierowanym trójkącie. Pokaż, ze skoro u leży na cyklu C_k, to leży też na cyklu C_{k+1}.  Wniosek. Turniej ma skierowny cykl Hamiltona wgdy jest silnie spójny.

Liczba chromatyczna a najdłuższa ścieżka skierowana Niech l(D) będzie długością najdłuższej ścieżki skierowanej w D. Tw. (Roy 67, Gallai 68) χ(G(D)) ≤ l(D) +1. Wniosek. χ(G)=min {l(D)+1}, gdzie minimum jest wzięte po wszystkich orientacjach G.

Dowód wniosku Dowod Wniosku: Pokolorujmy G optymalnie kolorami 1,2,…, χ i skierujmy krawędzie od koloru mniejszego do większego. Wtedy najdłuższa skierowana ścieżka nie będzie dłuższa niż χ-1. Nierówność w drugą stronę wynika z Tw. (Roy 67, Gallai 68). 

Ilustracja χ 1 2

Skierowane ścieżki Hamiltona w turnieju Wniosek (Redei, 1934) Każdy turniej ma ścieżkę Hamiltona. Dowod: Jeśli D jest turniejem, to χ(G(D))=n i na podstawie Tw. (Roy 67, Gallai 68) ma ścieżkę skierowaną długości n-1. Dowód indukcyjny (ćw.)

Królewskie zbiory niezależne Tw. (Chvatal i Lovasz, 1974) Każdy digraf posiada zbiór niezależny, z którego każdy inny wierzchołek jest osiągalny ścieżką skierowaną długości 1 lub 2. Szkic dowodu: indukcja względem n; w kroku indukcyjnym usunąć wierzchołek v wraz ze zbiorem sąsiadów N^+(v) (strzałki wychodzące).  Wniosek. Każdy turniej ma króla, tzn. wierzchołek, z którego każdy inny wierzchołek jest osiągalny ścieżką skierowaną długości 1 lub 2. Dowod: α(G(D))= α(K_n)=1.  Dowód indukcyjny (ćw.)

Hipergrafy Hipergraf to para H=(V,E), gdzie E to rodzina niepustych pozdbiorów zbioru V. V – zbiór wierzchołków, E – zbiór krawędzi Hipergraf jest k-jednostajny, gdy wszystkie krawędzie mają tę samą moc k. Hipergraf 2-jednostajny to po prostu graf.

Skojarzenia i pokrycia hipergrafów Skojarzenie to zbiór rozłącznych krawędzi. α’(H) – moc największego skojarzenia w H. Pokrycie to zbiór wierzchołków, który przecina każdą krawędź. β(H) – moc najmniejszego pokrycia w H. Jasne: α’(H) ≤ β(H) Problem: Kiedy α’(H) = β(H) ???

Problemy NP-zupełne W przeciwieństwie do grafów, wyznaczenie α’ (H) jest problemem z klasy NP-zupełnej. Nawet, jeśli ograniczyć sie do hipergrafów 3-jednostajnych. Pokażmy równoważność (redukcję wielomianową) tego problemu z obliczaniem α(G):  α’(H)= α(L(H)), gdzie L(H) – graf krawędziowy (albo: przecięć) hipergrafu H.  α(G)= α’(St(G)), gdzie St(G) jest hipergrafem gwiazd, tzn. wierzchołkami są krawędzie G, a krawędziami są maksymalne gwiazdy w G. (ćw)

Hipergrafy 2-kolorowalne H nazywamy 2-kolorowalnym, gdy jego wierzchołki można pomalować 2 kolorami tak, by każda krawędź mocy co najmniej 2 zawierała wierzchołki obu kolorów. Podhipergraf indukowany przez U to H[U]=(U,E’), gdzie E’sklada sie ze wszystkich niepustych części wspólnych zbioru U z krawędziami H. H jest zrównoważony, gdy każdy podhipergraf indukowany jest 2-kolorowalny. Tw. (Berge i Las Vergnas, 1970) Każdy zrównoważony hipergraf spełnia własność Königa: α’(H) = β(H).

Podhipergraf indukowany