Metody ekonometryczne ćwiczenia 6 Modele z restrykcjami Testowanie stabilności Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Zima 2008/2009

Ograniczenia dla parametrów minimalizacja względem b bez warunków ograniczających daje: możemy jednak nałożyć (i przetestować) na wektor parametrów b ograniczenia liniowe: w zapisie (krótszym i wygodniejszym) macierzowym: Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

KMNK przy warunkach pobocznych p.w. : Oznaczmy: Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008 Test Walda H0: H1: m – liczba warunków ograniczających Statystyka testowa ma rozkład F (m, n-K-1). Odrzucamy H0 przy wartości wyższej od wartości krytycznej dla danego poziomu istotności (p-value niższym od tego poziomu). Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Test istotności zestawu zmiennych jako test Walda (1) Czy cały zestaw zmiennych objaśniających jest istotny? H0: Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Test istotności zestawu zmiennych jako test Walda (2) Czym jest RRSS? Jeżeli H0 jest prawdziwa, model zawiera tylko stałą i żadnych zmiennych. Jaka STAŁA jest najlepiej dopasowana do wszystkich y? Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Restrykcje liniowe w Gretlu W oknie modelu (bez restrykcji), który wcześniej oszacowaliśmy: Testy / test liniowych restrykcji. Wpisujemy kolejno równania liniowych restrykcji jak powyżej: b[1] oznacza pierwszy w kolejności w równaniu oszacowany parametr (stała, jeżeli model ze stałą) kolejne b[2], b[3] itd. Otrzymujemy model oszacowany przy warunkach ograniczających i test zasadności tych ograniczeń. Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008 Przykłady Funkcja produkcji: Cobba-Douglasa vs translogarytmiczna (hipoteza zagnieżdżona) Funkcja produkcji: stałe przychody skali (hipoteza dotycząca liniowej funkcji parametrów) funkcja_produkcji.gdt Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Test Chowa (breakpoint) (1) Potraktujmy założenie o niezmienniczości parametrów dla całego okresu próby jako hipotezę, którą można testować za pomocą testu Walda. Z T okresów wybierzmy dwie podpróby: (1,...,T1) i (T1+1,...,T), T1+T2=T. Model w pierwszej podpróbie ma parametry b1, w drugiej b2. dane do modelu z restrykcją H0: dane do modelu bez restrykcji Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Test Chowa (breakpoint) (2) Model ogólny: Model z restrykcjami (w sumie K restrykcji, każda dotycząca jednej „pary” parametrów): Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Test Chowa (breakpoint) (3) Liczba warunków ograniczających: (K+1) stałość parametrów przy K zmiennych i przy stałej Liczba stopni swobody dla modelu bez ograniczeń: [n-2(K+1)] liczba obserwacji minus liczba oszacowanych parametrów Stąd statystyka testowa (test Chowa oparty na analizie wariancji): Rozkład F z (K+1), (n-2K-2) stopniami swobody. Wysokie wartości statystyki (p-value niższe od założonego poziomu istotności) świadczą o odrzuceniu H0 o stabilności parametrów. Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008 Test Chowa w Gretlu Zbadaj stabilność parametrów funkcji produkcji. Jaka jest wada tego testu? Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Test Chowa (forecast) (1) Gdy jedna z podprób jest mała i nie można oszacować dla niej osobnych parametrów, porównujemy dwie inne sumy kwadratów reszt: modelu oszacowanego na całej próbie (RRSS – dlaczego?) modelu oszacowanego na „dużej” podpróbie (RRS1) Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Test Chowa (forecast) (2) Statystyka testowa (pozostałe oznaczenia i decyzja weryfikacyjna jak poprzednio): Interpretacja: b jest wektorem parametrów oszacowanych na „dłuższej” podpróbie, jeżeli model jest stabilny, to wektor błędów prognozy ex post g (obliczony na podstawie tego modelu dla „krótszej” podpróby) powinien nie różnić się statystycznie istotnie od zera Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Test Chowa (forecast) (3) Ćwiczenie: wykonaj predykcyjny test Chowa dla funkcji produkcji, odpowiadając na pytanie, czy parametry modelu w ostatnich 7 latach próby nie uległy zmianie. W Gretlu ten test nie jest oprogramowany. Ale możemy: oszacować model (1) na podstawie całej próby oszacować model (2) na podstawie podpróby (T-7) pierwszych obserwacji znając sumy kwadratów reszt obu modeli i odpowiednie stopnie swobody, obliczyć statystykę testową za pomocą Narzędzia/Tablice statystycze/ albo Narzędzia/Wyznaczanie wartości p zweryfikować hipotezę. Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008 Test Hansena (1) Jeżeli oszacujemy model za pomocą MNK, to mamy następujące własności reszt et t-ty składnik sumy w pierwszym równaniu to wektor Kx1, w drugim – skalar. Niech wektor ft o wymiarach (K+1)x1 będzie tym wektorem z dołączonym (jako K+1-sza współrzędna) skalarem. Niech Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008 Test Hansena (2) Statystyka testowa Hansena jest obliczana jako ślad (suma elementów diagonalnych) macierzy F-1S: Wysokie wartości H świadczą o niestabilności modelu. Pakiet PcGive ma zaimplementowany test Hansena dla całego modelu, jak i dla pojedynczych parametrów. Asymptotyczne wartości krytyczne podane przez Hansena: 1.01 (K=2), 1.9 (K=6), 3.75 (K=15), 4.52 (K=19). Zaleta: hipoteza alternatywna nie zakłada konkretnego momentu zmiany, a głosi niestabilność modelu w ogóle. Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008 Test Hansena w Excelu Szacujemy model KMNK. Mnożymy każdy element wiersza macierzy X dla danej obserwacji (łącznie z 1 dla „stałej”) przez resztę losową dla tej obserwacji. Obliczamy też dla każdej reszty odchylenie jej kwadratu od średniego kwadratu reszty losowej. Obliczamy wektory st jako sumy (od pierwszej obserwacji do danej) wektorów ft. Dla każdej obserwacji obliczamy wszystkie możliwe dwuczynnikowe iloczyny elementów wektora ft. To samo powtarzamy dla st. Sumujemy iloczyny. Dla sum ft, sumy mnożymy przez ilość obserwacji. Sumy układamy w odpowiednich elementach macierzy F i S. Pamiętamy o symetryczności tych macierzy. Obliczamy sumę elementów diagonalnych macierzy F-1S. Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008 Test CUSUM (1) Dla każdego okresu, szacujemy model na podstawie wszystkich poprzednich okresów (z parametrami bt) i obliczamy jednookresowy błąd predykcji. Jak wiemy z Ekonometrii I, średni błąd tej predykcji to: Skalujemy każdy błąd predykcji: Szacujemy wariancję reszt: Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008 Test CUSUM (2) Obliczamy statystykę testową CUSUM: Hipoteza o stabilności modelu jest odrzucana, gdy statystyka wychodzi poza przedział ufności. Test nie wymaga założenia o konkretnym punkcie przełomu. Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008 Test CUSUM w Gretlu Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008 Literatura do ćwiczeń 2 Maddala 4.8, Welfe 2.9 Aby dowiedzieć się więcej o działaniu testu F i testowaniu liniowych restrykcji dla parametrów Maddala 4.12 Alternatywne testy restrykcji (przy założeniu, że próba jest duża) – dla miłośników tematu  Maddala 4.11 Powtórzenie o testach stabilności parametrów, omówienie ich wad i zalet Dla chętnych: testy Hansena i CUSUM opisane m.in. w Greene (2000, s. 134 nn.); KMNK przy warunkach pobocznych – zob. Welfe. Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008 Praca domowa Dla chętnych: słynny tekst R. Lucasa o zmianach w systemach gospodarczych i ich ekonometrycznych konsekwencjach („krytyka Lucasa”). Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008