Studia Podyplomowe „Informatyka” dla Nauczycieli Politechnika Warszawska Instytut Informatyki

Pojęcie pochodnej Gdy ciało porusza się po linii prostej, współrzędna jego położenia x zmienia się wraz z upływem czasu t. x X Przypuśćmy, że w pewnym przedziale czasu t położenie zmieniło się o x. Powiemy, że w przedziale czasu t ciało miało prędkość średnią:

Pojęcie pochodnej Jednak w czasie t ciało mogło zwalniać i przyspieszać. Można zatem zadać pytanie: jaka była prędkość chwilowa na początku omawianego przedziału czasu? Aby uzyskać odpowiedź na tak postawione pytanie, należałoby zmierzyć zmianę położenia ciała w krótszym przedziale czasu. x x x Interesuje nas więc granica zwana pochodną położenia x względem czasu t.

Definicja pochodnej Przypuśćmy, że określona jest funkcja y(x), która przyporządkowuje wielkości x (zmiennej niezależnej) pewną inną wielkość y (zmienną zależną). X Y Pochodną funkcji y(x) w punkcie xo nazywamy granicę „ilorazu różnicowego”:

Interpretacja geometryczna Wartość ilorazu różnicowego y/x jest tangensem kąta, określającego nachylenie siecznej, czyli linii, która przecina krzywą w punktach (x, y(x)) i (x+x, y(x+x)). y x x+x y(x) y(x+x) Dx D y Kiedy x0, sieczna dąży do stycznej do krzywej w punkcie (x,y(x)). Pochodna równa jest tangensowi kąta nachylenia stycznej do osi OX.

Funkcje potęgowe mają postać y(x) = xn.

Pochodne funkcji potęgowych Funkcja stała y(x) = c Funkcja liniowa y(x)=a·x y x y x Licznik ilorazu różnicowego jest równy: y = y(x+ x) - y(x) = c-c = 0 Iloraz różnicowy wynosi: Pochodna funkcji stałej jest równa zero. Pochodna funkcji liniowej jest stała i wynosi a.

Pochodne funkcji potęgowych y(x)=x2 Funkcja kwadratowa y=a·x2 Iloraz różnicowy wynosi: Pochodna jest granicą tego ilorazu dla x0 i wynosi y’(x)=2ax Kąt nachylenia stycznej do wykresu funkcji rośnie wraz ze wzrostem x.

Pochodne funkcji potęgowych Funkcja trzeciego stopnia y(x) = a·x3 x y y(x)=x3 Iloraz różnicowy jest równy: y’(x)=x2 Pochodna , czyli granica tego ilorazu dla x dążącego do zera, wynosi y’(x)=3ax2

Funkcja jest malejąca, więc jej pochodna jest ujemna. Pochodne funkcji potęgowych x y y(x)=1/x y’(x)=-1/x2 Funkcja stopnia -1 y(x) = x-1 Iloraz różnicowy wynosi: Pochodna jest granicą tego ilorazu dla x dążącego do zera i wynosi y’(x) = (-1)·x-2 Funkcja jest malejąca, więc jej pochodna jest ujemna.

Pochodne funkcji potęgowych

Pochodna funkcji sinus Funkcja y(x) = sin(x) y x  2 y(x)=sin(x) Iloraz różnicowy wynosi: y x  2 1 y’(x)=cos(x) Czyli sin’(x) = cos(x)

Pochodna funkcji cosinus Funkcja y(x) = cos(x) y(x)=cos(x) x y  2 Iloraz różnicowy wynosi: y’(x)=-sin(x) y x  2 Pochodną funkcji cosinus jest -sinus

Pochodna funkcji wykładniczej 1 x y 2x 4x ex Funkcja y(x) = ax Iloraz różnicowy wynosi: 1 x y 2xln2 ex 4xln4 Po obliczeniu granicy tego ilorazu dla x dążącego do zera, otrzymamy wzór pochodnej: (ax)’= ax lna

Pochodna funkcji wykładniczej Pochodna funkcji wykładniczej jest proporcjonalna do samej funkcji. 4x 4xln4 ex 2x 2xln2 x y 1

Pochodna funkcji y(x)=a·f(x) 2 1 x y 2sin(x)  2 Pochodna funkcji pomnożonej przez stałą y(x) = af(x) Iloraz różnicowy ma postać: 2 1 x y 2cos(x)  2 Jeśli obliczymy granicę tego ilorazu, otrzymamy wzór: y’(x) = a  f’ (x)

Pochodna sumy funkcji Pochodna sumy funkcji y(x) = f(x) + g(x) Licznik ilorazu różnicowego jest równy: y = y (x+x) - y(x) = = (f(x+x) + g(x+x)) - (f(x) + g(x)) = = (f(x+x)-f(x)) + (g(x+x)–g(x)) Cały iloraz różnicowy ma więc postać sumy dwóch ilorazów różnicowych: Pochodna sumy funkcji jest równa sumie ich pochodnych: y’(x) = f’(x) + g’(x)

Pochodna sumy funkcji Funkcja y(x) = x + sin(x) i jej pochodna y 5 -5 2 5 10 -5 -10 2 - -4 x  -3 -2 3 4 5 -5 y(x) = x+sin(x) y’(x) = 1+cos(x)

Pochodna iloczynu funkcji Pochodna iloczynu funkcji y(x) = f(x)•g(x) Licznik ilorazu różnicowego jest równy: y = f(x+x)g (x+x) -f(x)g (x) = = (f(x+x) – f(x))g(x+x) – f(x)(g(x+x)–g(x)) Iloraz różnicowy ma postać: Dla x0 otrzymujemy: y’(x) = f’(x)•g(x)+f(x) •g’(x)

Pochodna iloczynu funkcji y=x·sin(x) y x  2 3 4 5 6 - -2 -3 -4 -5 -6  2 3 4 5 6 - -2 -3 -4 -5 -6 y x y’=sin(x)+x·cos(x)

Pochodna ilorazu funkcji Pochodna ilorazu funkcji y(x) = f(x)/g(x) Iloraz różnicowy można zapisać następująco: y’(x) = f’(x)· g(x) - f(x)· g’(x) g(x)2 Dla x0 mamy: Pochodna ilorazu funkcji f(x) przez g(x) jest równa różnicy iloczynu pochodnej pierwszej funkcji przez drugą i iloczynu pierwszej funkcji przez pochodną drugiej funkcji, podzielonej przez kwadrat drugiej funkcji.

Pochodna ilorazu funkcji  3 5 - -3 -5 x  3 5 - -3 -5 x

Pochodną funkcji y(x) = cos(x) jest funkcja: -sin(x) -tg(x)·cos(x) Obie odpowiedzi są poprawne

Pochodną funkcji y(x) = tg(x) jest funkcja: ctg(x) 1/cos2(x) 1/x2

Pochodną funkcji y(x) = 2x3+ 4 jest funkcja:

Pochodną funkcji y(x) = 1/x jest funkcja: Obie odpowiedzi są poprawne

Pochodną funkcji y(x) = ex jest funkcja: ex/x

Neto- i bibliografia 1. Wielka internetowa encyklopedia multimedialna http://www.encyklopedia.pl 2. Dydaktyka w Internecie http://www.szkoly.edu.pl/dydaktyka.html 4. H. Łubowicz, B. Wieprzkowicz: Matematyka. Podstawowe wiadomości teoretyczne i ćwiczenia dla studentów studiów inżynierskich. 5. K. Litewska, J. Muszyński: Analiza matematyczna, cz.1. 6. W. Żakowski: Matematyka, cz. 1. 3. K. Kłaczkow, M. Kurczab, E. Świda: Matematyka. Podręcznik do liceów i techników. Klasa III.