Marcin Bogusiak Paweł Pilewski Modelowanie systemów - wiedza eksperymentalna (identyfikacja systemów)‏ Marcin Bogusiak Paweł Pilewski

Plan wykładu Co to jest identyfikacja systemu? Wiedza eksperymentalna. Określenie klasy modelu. Określenie parametrów modelu. Modelowanie systemu w oparciu o wiedzę eksperymentalną. Wskaźnik jakości. Przykład praktyczny. Przykład wyznaczenia modelu obiektu. Algorytm identyfikacji - przykład. Główne problemy, które możemy napotkać. 2

Co to jest identyfikacja systemu? Identyfikacja systemu - to wyznaczanie modelu matematycznego systemu na podstawie wiedzy o jego zachowaniu (wiedza eksperta, wiedza eksperymentalna)‏ 3

Wiedza eksperymentalna Wiedza eksperymentalna - wiedza o obiekcie (systemie) uzyskana na podstawie szeregu przeprowadzonych obserwacji i pomiarów. 4

Określenie klasy modelu Wyniki szeregu przeprowadzonych eksperymentów dają możliwość określenia klasy modelu. Na poniższych wykresach prezentowane są przykładowe klasy wielomianowe. 5

Określenie parametru modelu Załóżmy, że wybraliśy klasę modeli liniowych, zatem szukamy parametru "α" Parametr ten wyznaczamy w oparciu o wiedzę eksperymentalną 6

Określenie parametru modelu - cd Typowy oparty jest o metodę najmniejszych kwadratów. Jest to jedna z metod pozwalających wyznaczyć parametry modelu, gwarantująca wynik o najmniejszej sumie kwadratów błędów. Przyjmijmy wskaźnik modelu: suma różnic kwadratów odległości prognozowanych i obserwowanych wielkości wyjścia dla ustalonych wejść. 7

Określenie parametru modelu - cd Zatem z rodziny prostych wybieramy tę prostą o parametrze α*, która ma najlepszy wskaźnik. Który wskaźnik jest najlepszy? - ten o najmniejszej wartości Q 8

Modelowanie systemu w opaciu o wiedzę eksperymentalną - SZUKANE Wybór najlepszego modelu w klasie Dobór parametru modelu w taki sposób, aby wskaźnik jakości identyfikacji był najlepszy. 9

Modelowanie systemu w opaciu o wiedzę eksperymentalną - DANE Wiedza eksperymentalna Klasa modelu, np. Wskaźnik jakości identyfikacji 10

Wskaźnik jakości Porównywanie wartości rzeczywistych (yrz) z prognozowalnymi wartościami z modelu (ym). 11

Przykład praktyczny - model czasowy Wyznaczenie modelu czasowego dla układu równoległych realizatorów wykonujących określone zadania 12

Przykład praktyczny - model kosztowy Wyznaczenie modelu kosztowego dla układu równoległych realizatorów wykonujących określone zadania 13

Przykład wyznaczenia modelu obiektu Dane: wyniki z przeprowadzonego eksperymentu, klasa modelu i wskaźnik jakości (kryterium). 14

Przykład wyznaczenia modelu obiektu Na początku rozważmy trzy możliwe parametry. 15

Przykład wyznaczenia modelu obiektu Otrzymane dla modelu y=1u wyniki zapisujemy w tabeli. 16

Przykład wyznaczenia modelu obiektu Dla modelu y=2u 17

Przykład wyznaczenia modelu obiektu Dla modelu y=1,5u 18

Przykład wyznaczenia modelu obiektu Wniosek jest taki, że z trzech modeli najlepszy okazał się model Jednak jest on najlepszy tylko z trzech rozpatrywanych, a jak wyznaczyć najlepszy model dla całej dziedziny ? Idea: - Za pomocą algorytmu identyfikacji. 19

Przykład wyznaczenia modelu obiektu Dla klasy modeli SISO, liniowych względem parametrów. Dane: 20

Przykład wyznaczenia modelu obiektu Wyprowadzamy wzór na algorytm identyfikacji. 21

Przykład wyznaczenia modelu obiektu Wyprowadzamy wzór na algorytm identyfikacji. 21

Przykład wyznaczenia modelu obiektu Wyprowadzamy wzór na algorytm identyfikacji. 21

Przykład wyznaczenia modelu obiektu Wyprowadzamy wzór na algorytm identyfikacji. 21

Przykład wyznaczenia modelu obiektu Wyprowadzamy wzór na algorytm identyfikacji. 22

Przykład wyznaczenia modelu obiektu Wyprowadzamy wzór na algorytm identyfikacji. 22

Przykład wyznaczenia modelu obiektu Algorytm identyfikacji /SISO, L.w.P/ dla klasy modeli liniowych względem parametrów. Szczególny przypadek dla , czyli modeli liniowych względem parametru i względem wejścia. 23

Przykład wyznaczenia modelu obiektu Zastosujemy Algorytm Identyfikacji (2) w naszym przykładzie: Zatem najlepszy model dla badanego przykładu to: 24

Przykład wyznaczenia modelu obiektu Sprawdzamy jaki jest wskaźnik jakości dla najlepszego modelu y=1,35u, aby upewnić się, że jest on lepszy od tych wyliczanych poprzednio. 25

Czy to już jest rozwiązanie optymalne? Uzyskany model y=1,35u jest najlepszy, ale dla danej serii pomiarowej i danej klasy modeli. Zazwyczaj uwzględnienie dodatkowych pomiarów poprzez dostarczenie dodatkowych informacji o obiekcie umożliwi uzyskanie modelu "lepszego". A co z innymi klasami modeli, może dla nich uzyskamy "lepszy" model? 26

Czy to już jest rozwiązanie optymalne? Badamy zatem klasę y=αu2 dla tych samych danych i stosując Algorytm Identyfikacji (1) wyznaczmy optymalny parametr. 27

Wyznaczenie wskaźnika dla drugiej badanej klasy modeli Obliczamy wskaźnik jakości dla najlepszego modelu w tej klasie (y=0,35u2). Porównjąc wartość Q(α*)=5,82 dla najlepszego modelu "liniowego" oraz wartość Q(α*)=11 dla najlepszego modelu "kwadratowego" stwierdzamy, że model liniowy jest lepszy. 28

Rozważamy kolejną klasę modeli Badamy klasę i wyznaczmy optymalny parametr Następnym krokiem tak, jak w przypadku poprzednich klas jest sprawdzenie wskaźnika jakości. 29

Wyznaczenie wskaźnika dla trzeciej badanej klasy modeli Obliczamy wskaźnik jakości dla najlepszego modelu w tej klasie ( ). Porównując otrzymaną warość Q(α*)=6 oraz wartość Q(α*)=5,82 dla najlepszego modelu "liniowego" stwierdzamy, że model liniowy jest lepszy. 30

Prognozowanie liczby ludności - Matlab Środowisko Matlab oferuje wiele gotowych pakietów służących do modelowania obiektów rzeczywistych Na podstawie danych z lat 1990-2000, dotyczących liczby ludności, Matlab tworzy model i prognozuje wskaźnik demograficzny w kolejnych latach 31

Prognozowanie liczby ludności - Matlab W tym celu Matlab dokonuje aproksymacji danych wejściowych wielomianem Stopień wielomianu można zmieniać, aby aproksymacja najlepiej odzwierciedlała dane wejściowe Przykładowo chcemy, otrzymać przewidywaną liczbę ludności w 2010r. 32

Prognozowanie liczby ludności - Matlab Wynik można zilustrować na wykresie. Model podaje 312691400 jako przewidywaną liczbę ludności USA w roku 2010 33

Dekompozycja modelu MIMO na MISO Układ wielowyjściowy można potraktować jako równoległe połączenia n obiektów jednowyjściowych 34

Dekompozycja modelu MIMO na MISO Dzięki takiej dekompozycji możemy kolejno identyfikować poszczególne obiekty jednowyjściowe W każdym pojedynczym zadaniu identyfikacji może być wykorzystana ta sama seria pomiarowa (jeśli tylko spełnia ona wspólny dla wszystkich zadań warunek identyfikalności)‏ 35

Główne problemy, które możemy napotkać Ważne jest prawidłowe określenie klasy modelu, poprzez wykorzystanie dostępnej wiedzy eksperta i empirycznej. Trudne wyznaczenie parametru dla "skomplikowanych" (np. niewielomianowych) klas modeli. Właściwy dobór wskaźnika jakości, który służy głównie do interpretacji uzyskanego wyniku. Dobór odpowiedniej liczby pomiarów oraz odpowiedni plan eksperymentu (miernictwo). 36

Trudniejsze zagadnienia dla bardziej dociekliwych Modele liniowe względem parametrów (m parametrów). Modele - ważony wskaźnik jakości, a w konsekwencji algorytm identyfikacji z uwzględnieniem wag. Planowanie aktywnych eksperymentów spełniających warunek identyfikowalności. 37

Podsumowanie Pojęcia identyfikacja systemów i wiedza eksperymentalna. Określenie klasy modelu. Określenie parametru modelu. Algorytm identyfikacji. Przykład przebiegu procesu identyfikacji. 38

Literatura Leszek Koszałka, Marek Kurzyński "Zbiór zadań i problemów z teorii identyfikacji, eksperymentu i rozpoznawania" Wrocław, Politechnika Wrocławska, 1991 Pod red. Ewy Bylińskiej "Identyfikacja procesów" Gliwice, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, 1997 Torsten Soderstrom, Petre Stoica "Identyfikacja systemów" Warszawa, Wydawnictwo Naukowe PWN,1997 39

Koniec Dziękujemy za uwagę