II Tutorial z Metod Obliczeniowych Rozwiązywanie prostych tarcz w płaskim stanie naprężenia przy wykorzystaniu skryptu napisanego w programie Matlab. Karol Daszkiewicz Koło Naukowe Mechaniki Budowli KoMBo

Dany układ o narzuconej siatce elementów skończonych w PSN:

Numeracja węzłów oraz elementów skończonych

Numeracja węzłów oraz elementów skończonych Węzły i elementy można numerować w dowolny sposób Dla analizowanego układu istnieje 7!=7*6*5*4*3*2*1=5040 różnych numeracji węzłów Numeracja węzłów i elementów nie ma wpływu na uzyskane w skrypcie wyniki: przemieszczenia, odkształcenia, naprężenia, siły … Numeracja węzłów determinuje numerację stopni swobody w analizowanym układzie w następujący sposób: [ Nr stopnia swobody w kierunku x ] = [ nr węzła ]*2 – 1 [ Nr stopnia swobody w kierunku y ] = [ nr węzła ]*2

Numeracja stopni swobody na podstawie numeracji węzłów

Numeracja stopni swobody na podstawie numeracji węzłów Numeracja węzłów determinuje numerację stopni swobody w analizowanym układzie w następujący sposób: [ Nr stopnia swobody w kierunku x ] = [ nr węzła ]*2 – 1 [ Nr stopnia swobody w kierunku y ] = [ nr węzła ]*2 Ponieważ numeracja stopni swobody jest obliczana na podstawie wzorów, to nie musimy jej wprowadzać do programu Matlab, gdyż policzy on ją sobie sam Numeracja stopni swobody jest potrzebna przy definiowaniu warunków podparcia oraz obciążeń

Definiowanie danych wejściowych W PSN jednemu węzłowi są przypisane 2 stopnie swobody: translacja na kierunku x, translacja na kierunku y Przyjmujemy, że analizowana tarcza ma jednostkową grubość

Określenie współrzędnych węzłów

Zdefiniowanie macierzy [wsp], określającej współrzędne wszystkich węzłów Układ globalny przyjmujemy dowolnie Dla przyjętego układu współrzędnych, w macierzy [wsp] wpisujemy współrzędne (x,y) kolejnych węzłów w następujący sposób: [ wsp ] = [nr węzła, współrzędna x, współrzędna y]

Zdefiniowanie macierzy [wezly] określającej węzły poszczególnych elementów skończonych

Zdefiniowanie macierzy [wezly] określającej węzły poszczególnych elementów skończonych Przy podawaniu kolejnych węzłów dla każdego elementu należy pamiętać, że podajemy je w kolejności przeciwnej do ruchu wskazówek zegara Natomiast nie ma znaczenia który węzeł wpiszemy jako pierwszy dla danego elementu Dla przyjętej numeracji węzłów, w macierzy [wezly] wpisujemy numery elementów oraz odpowiadające im numery kolejnych węzłów w następujący sposób: [ wezly ] = [nr elementu, węzeł nr 1, węzeł nr 2, węzeł nr 3 ]

Uwzględnienie warunków podparcia układu poprzez definicję macierzy [ bcdof ] oraz [ bcval ]

Uwzględnienie warunków podparcia układu poprzez definicję macierzy [ bcdof ] oraz [ bcval ] W macierzy [bcdof] podaje numery zablokowanych stopni swobody W macierzy [bcval] definiuje odpowiadające zablokowanym stopniom swobody przemieszczenia Dla zdecydowanej większości będą one równe zero, jednak w przypadku istnienia jakiejś imperfekcji, należy jej wartość wpisać w macierzy [bcval]

Definicja wektora obciążeń węzłowych

Etap obliczeń Na podstawie wprowadzonych danych skrypt wykonuje obliczenia automatycznie, więc rola użytkownika ogranicza się do ich zdefiniowania Pod tym względem program jest podobny do komercyjnych programów metody elementów skończonych Jednak w przeciwieństwie do tych programów obliczeń nie wykonuje „czarna skrzynka”, lecz funkcje zdefiniowane przez nas w Matlabie Umożliwia to nam prześledzenie w jaki sposób są wykonywane obliczenia oraz łatwą ewentualną ich modyfikację

Obliczenie macierzy konstytutywnej D Dla elementu w płaskim stanie naprężenia zależność między naprężeniami i odkształceniami wyraża macierz konstytutywna następującej postaci: W skrypcie macierz konstytutywna dla danych E i v jest definiowana za pomocą funkcji: D_zw_konst(E,v)

Obliczenie macierzy sztywności elementu k  

Agregacja globalnej macierzy sztywności K  

Uwzględnienie warunków brzegowych przez modyfikację globalnej macierzy sztywności  

Obliczenie przemieszczeń węzłowych   Niewielka wartość obciążenia sprawiła, że w kierunku x decydujący wpływ na uzyskane wartości przemieszczeń miała imperfekcja.

Obliczenie odkształceń i naprężeń we wszystkich elementach  

Obliczenie sił elementowych  

Obliczenie sił elementowych Podane powyżej wartości zostały zaokrąglone do liczb całkowitych W kolejnych wierszach znajdują się wartości sił elementowych dla kolejnych elementów Np. w drugim wierszu znajdują się wartości sił elementowych dla drugiego elementu skończonego W pierwszej, trzeciej i piątej kolumnie znajdują się siły elementowe działające na kierunku x, dla węzłów w takiej kolejności jak zostały one zdefiniowane w macierzy [wezly] Natomiast w drugiej, czwartej i szóstej kolumnie znajdują się siły elementowe działające na kierunku y, dla węzłów w takiej kolejności jak zostały one zdefiniowane w macierzy [wezly]

Narysowanie sił elementowych i obliczenie reakcji

Narysowanie sił elementowych i obliczenie reakcji Przy rysowaniu sił elementowych dla danego węzła należy zwrócić uwagę na znak siły elementowej, który decyduje o zwrocie działania siły Jeśli siła elementowa ma wartość ujemną, to działa w kierunku przeciwnym do kierunku przyjętego w węzłowym układzie lokalnym W celu weryfikacji uzyskanych sił elementowych należy sprawdzić czy w każdym węźle spełniony jest warunek równowagi dla obu kierunków W celu obliczenia reakcji należy zsumować wszystkie siły elementowe działające w danym węźle na kierunku reakcji Zarówno dane jak i wyniki należy podać w układzie SI (m,N,Pa)

Dziękuje za uwagę