Równanie różniczkowe zupełne i równania do niego sprowadzalne Bronk Przemysław

Definicja: Niech dane funkcję M i N będą funkcjami klasy W pewnym płaskim obszarze jednospójnym D. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu postaci: (1) nazywamy równanie różniczkowym zupełnym, gdy istnieje taka różniczkowalna funkcja u=u(x,y) klasy że:

Gdy warunek (2)jest spełniony to równanie (1) można zapisać w postaci: Wiadomo, że taka funkcja istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi warunek : (2) Gdy warunek (2)jest spełniony to równanie (1) można zapisać w postaci: a stąd wynik, że jest rozwiązanie ogólnym równania (1).

Załóżmy że równanie (1) nie jest rownaniem zupełnym Załóżmy że równanie (1) nie jest rownaniem zupełnym. W pewnych przypadkach możemy wyznaczyć taka funkcję µ klasy w obszarze D, że równanie: będzie równaniem zupełnym. Funkcje µ nazywamy czynnikiem całkującym równania (1). Funkcja µ jest czynnikiem całkującym wtedy i tylko wtedy gdy w obszarze D jest spełniony warunek:

Co prowadzi do następującego związku: co dalej po uporządkowaniu: (3) Funkcja µ jest czynnikiem całkującym równania (1), gdy spełniona jest równość (3).Dodamy tutaj założenie, że funkcja µ jest funkcją tylko jednej zmiennej tzn. zmiennej x lub y , gdyż w przeciwnym przypadku rozwiązanie jest trudne do wyznaczenia.

(A) Załóżmy że µ=µ(x). To oznacza, że i równanie (3) przyjmuje postać: (4) Jeżeli wyrażenie po prawej stronie równania (4) jest funkcją tylko jednej zmiennej x, to czynnik całkujący ma postać: , gdzie

(B) Załóżmy że µ=µ(y). To oznacza, że i równanie (3) przyjmuje postać: (5) Jeżeli wyrażenie po prawej stronie równania (5) jest funkcją tylko jednej zmiennej y, to czynnik całkujący ma postać: , gdzie

Można też szukać czynnika całkującego w postaci , gdzie stałe p i q należy wyznaczyć. W tym przypadku nie będę wypisywać ogólnego wzoru, tylko pokaże praktycznie, jak postępować, aby taki czynnik całkujący wyznaczyć. Może się okazać, że równanie różniczkowe może mieć wiele czynników całkujących.

Przykład 1: Wyznaczyć całkę ogólną równania różniczkowego Sprawdzam warunek (2) w całej płaszczyźnie, wiec jest to równanie zupełne. Ponadto wiemy, że Całkując drugie równanie względem y, otrzymujemy:

Aby wyznaczyć funkcję , obliczamy i porównujemy ją z funkcją M, więc czyli: i stąd zatem rozwiązanie ogólne określa wyrażenie:

Przykład 2: Wyznaczyć całkę ogólną równania różniczkowego Łatwo sprawdzić, że nie jest to równanie zupełne, gdyż a więc Szukamy czynnika całkującego. Zauważmy, że wyrażenie nie jest funkcją tylko zmiennej x, więc nie istnieje czynnik całkujący µ=µ(x). Ponieważ wyrażenie: jest funkcją tylko zmiennej y więc czynnik całkujący istnieje i ma postać:

Mnożymy obie strony równania wyjściowego przez czynnik całkujący, wiec: Otrzymane równanie jest równaniem zupełnym, zatem: więc Stąd , czyli całkując względem y, mamy a więc całka ogólna jest opisana wzorem:

Przykład 3: Wyznaczyć całkę ogólną równania różniczkowego Łatwo sprawdzić, że nie istnieją czynniki całkujące zależne tylko od jednej zmiennej x lub y. Szukamy czynnika całkującego w postaci . Mnożąc równanie przez funkcję , otrzymujemy (6) Przyjmujemy oznaczenie i wyznaczamy

Łatwo zauważyć, że otrzymane równanie będzie równaniem zupełnym wtedy i tylko wtedy, gdy . Stąd, porównując współczynniki przy wyrażeniach: i otrzymamy następujący układ równań Oczywiście q=1, p= -3 jest rozwiązaniem tego układu równań, a więc jest szukanym czynnikiem całkującym i równanie zupełne (6) ma postać:

Rozwiązując to równanie, mamy : czyli więc oraz Stąd wynika, że całka ogólna jest dana wzorem

Literatura: Jankowska K., Jankowski T.: Zadania z matematyki wyższej, Wydawnictwo PG: Gdańsk 1999