Systemy liniowe stacjonarne – modele wejście – wyjście (splotowe) Systemy dyskretne Pokażemy, że tzw. suma splotowa wiąże wejście i wyjście systemu dyskretnego, tzn., że dla danego wejścia x[n] suma splotowa pozwala obliczyć odpowiadające wyjście y[n] systemu Reprezentacja dowolnego sygnału dyskretnego za pomocą sumy impulsów jednostkowych Sygnał dyskretny x[n] może być traktowany jako liniowa kombinacja przesuniętych w czasie sekwencji impulsów jednostkowych [n]

Przykład

Weźmy liniowy stacjonarny system dyskretny opisany Załóżmy, że znamy odpowiedź tego systemu na sekwencję impulsu jednostkowego Odpowiedź impulsowa systemu dyskretnego Ponieważ system jest stacjonarny Ponieważ system jest liniowy Korzystając z warunku liniowości i stacjonarności

Podsumowując: Uzyskaliśmy związek wiążący wejście i wyjście systemu dyskretnego wyrażający się sumą splotową w dziedzinie czasu wejścia i odpowiedzi impulsowej systemu Tzw. transformacja z tego związku wyraża się iloczynem transformat wejścia i odpowiedzi impulsowej

Przykład Korzystając z modelu splotowego systemu dyskretnego obliczyć graficznie odpowiedź systemu y[n] dla podanego wejścia x[n] znając odpowiedź impulsową systemu h[n]

Przykład Korzystając z modelu splotowego systemu dyskretnego obliczyć y[0] oraz y[1] dla wejścia x[k] i odpowiedzi impulsowej h[k] pokazanych na rysunku n=0 Krok 1: określić czynniki w składnikach sumy splotowej n=0  x[k] i h[0-k] = h[-k]

n=0 Krok 2: pomnożyć czynniki w składnikach sumy uzyskując g[k] n=0  x[k] i h[-k]

n=0 Krok 3: zsumować iloczyny składników sumy g[k] od k = - do +, aby uzyskać y[0]

n=1 Krok 1: określić czynniki w składnikach sumy splotowej n=1  x[k] i h[1-k] = h[-(k-1)]

n=1 Krok 2: pomnożyć czynniki w składnikach sumy uzyskując g[k] n=0  x[k] i h[-(k-1)]

n=1 Krok 3: zsumować iloczyny składników sumy g[k] od k = - do +, aby uzyskać y[1]

Wybrane właściwości sumy splotowej  przemienność  łączność

 rozdzielność względem dodawania sygnałów  przemienność ze względu na mnożenie przez skalar

Systemy ciągłe Przypomnimy, że tzw. całka splotowa wiąże wejście i wyjście systemu ciągłego, tzn., że dla danego wejścia x(t) całka splotowa pozwala obliczyć odpowiadające wyjście y(t) systemu Reprezentacja dowolnego sygnału ciągłego za pomocą całki skalowanych i przesuniętych impulsów Sygnał ciągły x(t) może być traktowany jako liniowa kombinacja kontinuum impulsów jednostkowych (t)

Jedna z możliwych aproksymacji impulsu jednostkowego Rezultat ten uzyskujemy wykorzystując aproksymację dowolnego sygnału x(t) ciągiem impulsów prostokątnych o malejącej do zera w granicy szerokości Impuls prostokątny Przesunięty impuls Sygnał ciągły w czasie aproksymowany przez liniową kombinację przesuniętych skalowanych impulsów prostokątnych Jedna z możliwych aproksymacji impulsu jednostkowego

Aproksymacja dowolnego sygnału

Weźmy liniowy stacjonarny system ciągły opisany Załóżmy, że znamy odpowiedź tego systemu na funkcję impulsu jednostkowego Odpowiedź impulsowa systemu ciągłego Ponieważ system jest stacjonarny Ponieważ system jest liniowy, to (dla wybranego t)

Odpowiedź systemu na jednostkowy impuls prostokątny w granicy Korzystając z warunku liniowości i stacjonarności możemy napisać i w granicy dla T0

Podsumowując: Uzyskaliśmy związek wiążący wejście i wyjście systemu ciągłego wyrażający się całką splotową w dziedzinie czasu, wejścia i odpowiedzi impulsowej systemu Tzw. transformacja s (transformacja Laplace’a) tego związku wyraża się iloczynem transformat wejścia i odpowiedzi impulsowej

Przesuwamy odwróconą w czasie odpowiedź impulsową o wymaganą wartość t Przykład Mając odpowiedź impulsową systemu h() narysować h(t-) dla t=-2 oraz t=2 Rysujemy h(-); odwróconą w czasie odpowiedź impulsową Przesuwamy odwróconą w czasie odpowiedź impulsową o wymaganą wartość t

Przykład Policzyć odpowiedź w czasie systemu liniowego stacjonarnego y(t) dla którego znana jest odpowiedź impulsowa h{t) na wejście skokowe Odpowiedź impulsowa i wejście na rysunku

Narysujmy odwróconą w czasie odpowiedź impulsową i jej przesunięcia dla t<0 oraz t>0

Dla t>0

Łącząc wyniki dla t<0 oraz t>0 Przykład Policzyć odpowiedź w czasie systemu liniowego stacjonarnego dla którego znana jest odpowiedź impulsowa na wejście skokowe Odpowiedź impulsowa i wejście na rysunku

Narysujmy odwróconą w czasie odpowiedź impulsową i jej przesunięcia dla t<0 oraz t>0 Dla t0 obydwie funkcje mają niezerowe wartości dla - <  < t+1 Dla t>0 obydwie funkcje mają niezerowe wartości dla - <  < 1

Dla t  0 Dla t > 0

Łącząc wyniki dla t<0 oraz t>0

Wybrane właściwości całki splotowej  przemienność  łączność  rozdzielność względem dodawania sygnałów  przemienność ze względu na mnożenie przez skalar

Wniosek podstawowy Dynamika systemu liniowego stacjonarnego w relacji wejście - wyjście, zarówno dyskretnego jak i ciągłego jest całkowicie określona przez jego odpowiedź impulsową - transmitancję

Splot: nie jest tak groźny, jak się wydaje splot - convolution Splot: nie jest tak groźny, jak się wydaje