Macierze, wyznaczniki, odwracanie macierzy i wzory Cramera Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 Macierze - definicja Definicja: Macierzą nazywamy prostokątną tablice utworzoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) aij (i=1,…,m; j=1,…,n), gdzie aij jest wyrazem (lub elementem) macierzy znajdującym się na skrzyżowaniu i-tego wiersza i j-tej kolumny. Macierz o m wierszach i n kolumnach oznaczamy [aij], [ aij]m×n, Am×n lub A i nazywamy macierzą o wymiarze m×n. Jeżeli w macierzy jest m = n, to macierz tą nazywamy kwadratową stopnia n. Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

Macierze – podstawowe wiadomości Definicja (równość macierzy): Macierze A= [aij] i B= [bij] nazywamy macierzami równymi, co zapisujemy A = B, jeżeli mają ten sam wymiar m×n i jeżeli aij = bij dla i=1,…, m oraz j=1,…, n. Definicja (macierz transponowana): Macierz A’, która uzyskana z macierzy A przez zamianę wierszy macierzy A w miejsce kolumn (i odwrotnie) z zachowaniem ich kolejności nazywa się macierzą transponowana (względem A) lub macierzą przestawioną. Zachodzi też zależność: (A’)’ = A Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

Macierze – podstawowe wiadomości Definicja (macierz jednostkowa): Macierzą jednostkową oznaczana przez E lub En, gdzie n jest jej stopniem, nazywamy macierz diagonalną o jedynkach na głównej przekątnej. Definicja (macierz zerowa): Macierzą zerową, oznaczaną symbolem 0, nazywamy każdą macierz, której wszystkie elementy są zerami. Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

Macierze – podstawowe działania Definicja (suma macierzy): Sumą macierzy A= [aij] i B= [bij] o tym samym wymiarze m×n nazywamy macierz C= [cij] o tymże wymiarze, której elementy są sumami odpowiednich elementów macierzy A i B, mianowicie: C=A+B= [aij] + [bij]= [aij+bij]= [cij] Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

Macierze – podstawowe działania Definicja (mnożenie macierzy przez liczbę): Iloczynem macierzy A przez liczbę α nazywamy macierz B= αA, której każdy element jest iloczynem odpowiedniego elementu macierzy A przez liczbę α. α[aij] =[α aij] Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

Macierze – podstawowe działania Uwaga: Iloczyn macierzy A i macierzy B jest określony wtedy, gdy „długość” wiersza macierzy A jest równa „wysokości” kolumny macierzy B. Definicja (iloczyn macierzy): Iloczynem AB macierzy Amxn=[aij] i macierzy Bnxr=[bjk] nazywamy taką macierz Cmxr=[cik], której wyrazami są liczby: cik=ai1 b1k +ai2 b2k +…+ain bnk Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 Wyznaczniki Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

Wyznacznik - definicja Definicja: Wyznacznikiem det A macierzy kwadratowej A=[aij] nazywamy liczbę gdzie suma jest rozciągnięta na wszystkie możliwe permutacje drugich wskaźników j1, j2, … , jn liczb 1, 2, …,n, przy czym jest ilością inwersji permutacji j1, j2, … , jn. Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

Wyznacznik - definicja Obliczanie wyznacznika macierzy z definicji: Dla n=1: Dla n=2: możliwe permutacje: 1, 2 2, 1 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

Wyznacznik - definicja Dla n=3: możliwe permutacje: 1, 2, 3 2, 3, 1 3, 1, 2 3, 2, 1 1, 3, 2 2, 1, 3 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 Schemat Sarrusa Schemat Sarrusa to prosty algorytm na obliczenie wyznacznika: Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

Wyznacznik – rozwiniecie Laplace’a Zdefiniujmy pojęcia minoru i dopełnienia algebraicznego: Definicja: Minorem Mik elementu aik wyznacznika macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy wyznacznik macierzy stopnia n-1, która powstaje z macierzy A po opuszczeniu i-tego wiersza i k-tej kolumny. Definicja: Dopełnieniem algebraicznym Aik elementu aik wyznacznika nazywamy iloczyn: Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

Wyznacznik – rozwiniecie Laplace’a Twierdzenie (Laplace’a): Wyznacznik macierzy A stopnia n jest równy sumie iloczynów każdego elementu dowolnego wiersza (kolumny) i odpowiadającego temu elementowi dopełnienia algebraicznego: Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

Własności wyznacznika Tw.1. Wyznacznik macierzy A jest równy wyznacznikowi jej macierzy przestawionej: Tw.2. Wyznacznik macierzy o dwóch jednakowych wierszach (kolumnach) jest równy zeru. Tw.3. Jeśli macierz B powstaje z macierzy A przez pomnożenie wszystkich elementów jednego wiersza lub kolumny przez c, to: Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

Własności wyznacznika Tw.4. Wyznacznik macierzy o dwóch proporcjonalnych wierszach (kolumnach) jest równy zeru. Tw.5. Wyznacznik nie ulega zmianie, gdy do elementów jednej kolumny (wiersza) dodać odpowiednie elementy innej kolumny (wiersza) pomnożone przez dowolną stałą. Tw.6. Przez zmianę między sobą dwóch kolumn lub dwóch wierszy wyznacznika otrzymujemy wyznacznik, którego wartość różni się znakiem od wartości danego wyznacznika Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 Przykłady Przykład: Obliczymy wyznacznik macierzy: Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 Przykłady Przykład: Obliczymy wyznacznik macierzy A korzystając z twierdzenia Laplace’a i podstawowych własności wyznacznika. Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 Przykłady Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 Odwracanie macierzy Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

Macierz odwrotna - definicja Definicja: Macierz B nazywa się macierzą odwrotną do macierzy A, jeśli: gdzie E jest macierzą jednostkową. Macierz A nazywa się macierzą odwracalną, jeśli istniej macierz odwrotna do macierzy A. Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 Macierz nieosobliwa Definicja: Macierz kwadratową A, dla której detA ≠ 0, nazywamy macierzą nieosobliwą. Twierdzenie: Macierz odwracalna A jest macierzą nieosobliwą Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 Macierz dołączana Macierzą dołączaną AD macierzy kwadratowej A = [ aik ] nazywamy macierz transponowaną macierzy utworzonej z dopełnień algebraicznych elementów macierzy A, tzn. gdzie Aik jest dopełnieniem algebraicznym elementu aik. Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

Wyznaczanie macierzy odwrotnej Twierdzenie: Dla dowolnej macierzy kwadratowej A zachodzi równość: gdzie E jest macierzą jednostkową. Twierdzenie: Jeśli A jest macierzą nieosobliwą, to macierz jest macierzą odwrotną do macierzy A. Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 Przykład Przykład 1.: Oblicz macierz odwrotną do macierzy Rozwiązanie: Na początku sprawdzamy wyznacznik macierzy Obliczamy dopełnienia algebraiczne elementów macierzy A: Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 Przykład Na podstawie wcześniejszych obliczeń tworzymy macierz dołączoną: Zgodnie ze wzorem na macierz odwrotną otrzymujemy: Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 Przykład Przykład: Oblicz macierz odwrotną do macierzy A za pomocą przekształceń elementarnych Rozwiązanie: Na początku sprawdzamy wyznacznik macierzy Dostawiamy do macierzy A macierz jednostkową E: Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 Przykład Stosując przekształcenia elementarne dążymy po lewej stronie do macierzy jednostkowej: Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 Przykład Ostatecznie otrzymujemy macierz odwrotną: Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 Wzory Cramera Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 Układ Cramera Układ n równań liniowych o n niewiadomych nazywamy układem Cramera, jeśli Macierz nazywamy macierzą układu, detA – wyznacznikiem układu. Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 Twierdzenie Cramera Twierdzenie: Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie, dane wzorem gdzie Dk jest wyznacznikiem macierzy powstałej z macierzy A w wyniku zastąpienia w niej k-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych układu. Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 Przykład Przykład: Rozwiązać układ równań: Rozwiązanie: Obliczamy wszystkie potrzebne nam wyznaczniki: Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 Przykład Na podstawie wzorów Cramera obliczamy wartości niewiadomych: Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 Koniec Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 Bibliografia Prof.. Aleksander Romanowski: Algebra Liniowa, 2003 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011