Teoria Grafów

G=(V,E); V=V(G)- zbiór wierzchołków (niepusty), |V(G)|=n(G); E=E(G)- zbiór krawędzi (zbiór par wierzchołków). Jeśli u,v  V, to uv  E NG(v) = {u  V: uv  E }– otwarte sąsiedztwo wierzchołka v; NG[v]= NG(v)  {v} - domknięte sąsiedztwo wierzchołka v; Dla XV, NG(X) = UvX NG(v); NG[X]=NG(X)X. Stopień wierzchołka v w grafie G- liczba krawędzi, których końcem jest ten wierzchołek; dG(v) = | NG(v)|. Graf nieskierowany (tzn. E jest zbiorem par nieuporządkowanych), bez pętli i krawędzi wielokrotnych nazywamy grafem prostym.

Typy grafów Graf pełny G=(V,E) jest grafem pełnym, jeśli u,vV uv  E G=Kn – graf pełny o n wierzchołkach |V|=n, |E|=n(n-1)/2 2. Dopełnienie grafu G jest to graf Gd=(V,Ed), gdzie Ed={uv: u,v  V,uv, uv  E }. 3. Graf dwudzielny Graf G=(V,E) jest dwudzielny, jeśli zbiór jego wierzchołków może być podzielony na dwa zbiory V1, V2 w ten sposób, że każda krawędź grafu G łączy wierzchołek należący do V1 z wierzchołkiem należącym doV2. W grafie dwudzielnym wszystkie cykle są parzyste.

Jeśli |V1|=r, |V2|=s, to graf pełny dwudzielny oznaczamy Kr,s. Graf K1,n-1 nazywamy gwiazdą. Szlak jest to ciąg wierzchołków (v1, v2,..., vn-1, vn) (w którym dozwolone są powtórzenia) taki, że v1v2, v2v3,..., vn-1vn są różnymi krawędziami grafu (dozwolone są powtórzenia wierzchołków, ale nie krawędzi). Ścieżka- szlak, w którym żadne dwa wierzchołki nie powtarzają się. Szlak postaci (v1, v2,..., vn, v1), w którym (v1, v2,..., vn-1, vn) jest ścieżką, nazywamy cyklem. Graf G jest spójny, jeśli u,vV istnieje ścieżka łącząca u z v.

Drzewa Twierdzenie 1 (lemat o uściskach dłoni) Dla każdego grafu G=(V,E),  vV dG(v) = 2|E|. Twierdzenie 2 (wniosek) W każdym grafie G=(V,E) liczba wierzchołków stopnia nieparzystego jest parzysta. Twierdzenie 3 Jeśli G jest grafem spójnym o n wierzchołkach, to n-1 |E| n(n-1)/2. Drzewa Drzewem nazywamy graf spójny bez cykli. Jeśli v V(T) jest wierzchołkiem stopnia jeden, to v nazywamy liściem albo wierzchołkiem końcowym.

Twierdzenie 4 Jeśli T jest drzewem o n wierzchołkach, to |E(T)|=n-1. Twierdzenie 5 Jeśli T jest drzewem o n wierzchołkach, to następujące warunki są równoważne: T jest drzewem, b) T nie zawiera cykli i ma n-1 krawędzi, c) T jest spójny i ma n-1 krawędzi, d) T jest spójny i dla każdej jego krawędzi uv graf T-uv jest niespójny, e) dowolne dwa wierzchołki grafu T są połączone dokładnie jedną ścieżką, f) T nie zawiera cykli, ale dla każdej pary u,v, gdzie u,v są wierzchołkami i uv nie jest krawędzią, T+uv posiada dokładnie jeden cykl.

Twierdzenie 6 (Cayley’a) Algorytm wyznaczania kodu Prufera: Aby wyznaczyć kod Prufera dla danego drzewa T na zbiorze wierzchołków {1,...,n}, należy: znaleźć najmniejszy wierzchołek stopnia jeden, powiedzmy v. Niech w będzie wierzchołkiem połączonym z v; b) zapisać w oraz usunąć wierzchołek v wraz z krawędzią vw; c) Jeśli w drzewie pozostała więcej niż jedna krawędź, to przejść do kroku a); w przeciwnym razie zakończyć algorytm. Otrzymany ciąg liczb jest kodem Prufera dla drzewa T.

Algorytm otrzymywania drzewa z kodu: Dla zadanego ciągu liczb (a1, a2,..., an-2) wybranych w dowolny sposób ze zbioru {1,...,n}, aby wyznaczyć drzewo T, dla którego ciąg ten jest kodem Prufera, należy: Zapisać dwie listy; pierwszą a1, a2,..., an-2 oraz drugą 1,2,...,n i rozpocząć ze zbiorem wierzchołków {1,...,n} i pustym zbiorem krawędzi. 2. Wyznaczyć z drugiej listy najmniejszą liczbę, powiedzmy i, która nie występuje na pierwszej liście. Usunąć pierwszy element z pierwszej listy, powiedzmy j, usunąć i z drugiej listy oraz dodać do zbioru krawędzi ji. 3. Jeśli pierwsza lista zawiera co najmniej jedną liczbę, to przejść do punktu 2. Jeśli pierwsza lista jest pusta, to druga będzie się składać z dokładnie dwóch liczb. Dodać do zbioru krawędzi ostatnią, której wierzchołkami są właśnie te liczby i zakończyć algorytm.

Grafy Eulera Leonard Euler 1707-1783

- w wieku lat 13-tu zaczął studiować teologię; - w wieku lat 16-tu ukończył studia matematyczne; - znalazł matematyczny dowód na istnienie Boga; - wymyślił popularną teraz łamigłówkę SUDOKU; - opublikował ponad 900 prac z różnych dziedzin, był wielkim popularyzatorem matematyki; - 77 miejsce na 100 postaci, które miały największy wpływ na dzieje ludzkości (opracowanie Michaela Harta- na 2 miejscu Newton, na 33 Szekspir); - jest autorem hipotezy, że Ziemia jest wewnątrz pusta, w centrum ma słońce, na dodatek ta przestrzeń jest zamieszkana (UFO- forum top secret); - słynny „wzór Eulera” wymyślił mając zaledwie roczek.

Mosty królewieckie - 7 mostów łączących brzegi rzeki Pregoły (1736)

Pytanie Eulera: czy można przejść przez miasto przechodząc przez każdy most dokładnie jeden raz ?

Zastępujemy obszary lądu wierzchołkami a mosty krawędziami: Czy można przejść przez cały graf, używając każdej krawędzi dokładnie raz? (czy graf jest eulerowski?) Graf jest eulerowski wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wierzchołek ma stopień parzysty.

The Graph Theory Hymn Text by BOHDAN ZELINKA Music by ZDENĔK RYJÁČEK English text by DONALD A. PREECE Seven bridges spanned the River Pregel, Many more than might have been expected; Königsberg's wise leaders were delighted To have built such very splendid structures. Refrain: Eulerian graphs all have this restriction: THE DEGREE OF ANY POINT IS EVEN. That's the oldest graph result That mankind has ever known.

Hymn Teorii Grafów Nowej wiedzy Euler dał podstawy przez co zyskał całe wieki sławy. My śladami Mistrza podążamy i naukę jego rozwijamy. Więc Koledzy, na koniec powstańmy, wznosząc toast głośno zaśpiewajmy: Niechaj żyje nam Teoria Grafów, obwieszczajmy ją całemu światu. Ref. Eulera graf, to fakt oczywisty, wszystkie wierzchołki ma stopni parzystych- to doskonale znana jest w Teorii Grafów pierwsza z tez.

Szlak domknięty- taki, który kończy się w swoim punkcie wyjścia. Szlak Eulera (cykl Eulera)- szlak domknięty, przechodzący przez wszystkie krawędzie grafu. Graf eulerowski- graf zawierajacy szlak Eulera. Twierdzenie 7 (Eulera-Hierholtza)- warunek konieczny i dostateczny na to, aby graf był eulerowski Niech G będzie grafem spójnym. Następujące trzy własności są równoważne: 1. Każdy wierzchołek w G ma stopień parzysty; 2. Istnieje p cykli c1, c2,..., cp takich, że każda krawędź grafu G należy do dokładnie jednego cyklu (G można przedstawić jako sumę rozłącznych krawędziowo cykli); 3. G jest eulerowski.

Algorytm- jak przejść po grafie eulerowskim używając każdej krawędzi dokładnie raz? (korzystając z dowodu twierdzenia E-H) 1. Wybieramy dowolny wierzchołek v0  V(G) i cykl c zawiera v0; 2. Wszystkie krawędzie c oznaczamy cechą 0; 3. Wybieramy cykl c’, „sąsiedni” z cyklem już wybranym i jego krawędziom przypisujemy cechę c+1, gdzie c jest cechą poprzednio wybraną- tak do wyczerpania grafu G; 4. Startujemy z v0 i idziemy wzdłuż cyklu oznaczonego symbolem 0 aż do spotkania wierzchołka vi incydentnego z nie odwiedzaną jeszcze krawędzią oznaczoną wyższym symbolem. Wybieramy krawędź z najwyższą cechą aż do wyczerpania wszystkich krawędzi.

Algorytm Fleury’ego. Niech G będzie grafem eulerowskim. Wtedy następująca konstrukcja jest wykonalna i daje w wyniku cykl Eulera w grafie G: Zacznij cykl w dowolnym wierzchołku u i przechodź krawędzie w dowolnej kolejności, dbając jedynie o zachowanie zasad: Usuwaj z grafu przechodzone krawędzie i wierzchołki izolowane powstałe w wyniku usuwania tych krawędzi. 2. W każdym momencie przechodź przez „most” tylko wtedy, gdy nie masz innej możliwości.

Grafy Hamiltona. Def. Spójny graf G jest grafem Hamiltona (hamiltonowskim), jeśli zawiera cykl przechodzący przez wszystkie wierzchołki grafu G. Twierdzenie 8 (Ore) Jeżeli dla każdych dwóch nie sąsiednich wierzchołków grafu G suma ich stopni jest nie mniejsza niż ilość wszystkich wierzchołków w G, to G jest hamiltonowski. Twierdzenie 9 (Diraca) Jeżeli graf G ma co najmniej trzy wierzchołki i stopień każdego z wierzchołków jest równy co najmniej połowie ilości wierzchołków w G, to G jest hamiltonowski.

Twierdzenie o małżeństwach Przykład 1 Kasia zna Maćka, Adama i Kubę; Monika – Adama i Kubę; Jola zna Kubę, Łukasza i Tomka; Marta – Adama i Maćka; Renia zna Kubę, Adama i Maćka; Magda – Michała, Łukasza i Bartka. Czy jest możliwe znalezienie męża dla każdej z dziewcząt? ( tj. dla każdej innego  chłopca spośród tych których zna)

Twierdzenie Halla o małżeństwach W grupie dziewcząt każda może wybrać męża spośród chłopców, których zna, wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym podzbiorze dziewcząt (powiedzmy r spośród z nich), dziewczyny te znają co najmniej r chłopców.

Agata zna Janka i Zbyszka; Asia – Pawła i Zbyszka; Przykład 2 Agata zna Janka i Zbyszka; Asia – Pawła i Zbyszka; Aga zna Janka, Zbyszka, Piotrka i Michała; Amelia – Pawła, Piotrka, Wojtka i Jurka; Ala zna Janka i Michała; Ania – Pawła i Janka. W tym przypadku każdy zbiór k dziewcząt zna przynajmniej k chłopców.

Janek Paweł Zbyszek Piotrek Michał Wojtek Jurek Agata Asia Aga Amelia Ala Ania Co poradzimy Ani???

Ania  Paweł + Asia  Janek + Agata Zbyszek + Aga Michał + Ala  Piotrek + Amelia Zbyszek + Agata  Wojtek  Jurek Piotrek +Aga Janek + Ania Wojtek + Amelia

A1={1,3} A2={2,3} A3={1,3,4,5} A4={2,4,6,7} A5={1,5} A6={1,2} A1={1,3} Twierdzenie Halla- wersja transwersalowa. Transwersala- system różnych reprezentantów. Dana jest uporządkowana rodzina  = (A1, A2,..., An). Zbiór X  Ui=1,...,n Ai jest transwersalą rodziny , gdy: 1. |X|=n, X={a1, a2,..., an}; 2. ai  Ai, i=1,...,n, to znaczy ai reprezentuje zbiór Ai dla każdego i. Przykład A1={1,3} A2={2,3} A3={1,3,4,5} A4={2,4,6,7} A5={1,5} A6={1,2} A1={1,3} A2={2,3} A3={1,3,4,5} A4={2,4,6,7} A5={1,5} A6={1,2}

Ai1 – zbiór chłopców znanych dziewczynie 1 Twierdzenie (Halla- wersja transwersalowa) Rodzina  = (A1, A2,..., An) ma transwersalę wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego podzbioru I  {1,...,n}, I={i1,...,ir} | Ai1  Ai2  ... Air | r = |I|. Ai1 – zbiór chłopców znanych dziewczynie 1 Air – zbiór chłopców znanych dziewczynie r R = |I|- moc podzbioru dziewcząt

Twierdzenie Halla- wersja grafowa. Skojarzenie (matching) w grafie dwudzielnym G=(V1, V2, E) jest to zbiór krawędzi E’  E taki, że każdy wierzchołek z V1 należy do krawędzi z E’ i krawędzie te są wierzchołkowo rozłączne.

Twierdzenie (Halla- wersja grafowa) Jeżeli G=(V1, V2, E) jest dwudzielny, to istnieje skojarzenie zbioru V1 w zbiór V2 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego X  V1, |NG(X)|  |X|. Skojarzenia- zawarte związki małżeńskie; Ilość sąsiadów- ilość znajomych chłopców; Graf ma skojarzenie wtedy i tylko wtedy, gdy każda dziewczyna znajdzie męża spośród chłopców, których zna

Kolorowanie krawędzi. Mając dany graf, chcemy pokolorować jego krawędzie tak, by żadne krawędzie tego samego koloru nie miały wspólnego wierzchołka. Najmniejszą liczbę kolorów potrzebną do pokolorowania krawędzi grafu G nazywamy indeksem chromatycznym grafu G i oznaczamy e(G). Jeśli największy stopień wierzchołka w grafie wynosi , to e(G)  . Twierdzenie (Koniga) Jeśli G jest grafem dwudzielnym, gdzie wierzchołek o największym stopniu ma stopień , to e(G) = .

Kolorowanie wierzchołków. Twierdzenie (Vizinga) Jeśli G jest grafem, to (G) e(G) (G)+1. Kolorowanie wierzchołków. Dany jest graf G=(V,E). Będziemy rozważać funkcję f:VN. Jest ona poprawnym kolorowaniem wierzchołków grafu G, jeśli dla każdych dwóch wierzchołków u,v, takich, że uv  E(G), f(u)  f(v). (G)=min{|f(v)|} (minimum po wszystkich możliwych kolorowaniach)- liczba chromatyczna grafu G. Liczba chromatyczna grafu G- najmniejsza liczba kolorów potrzebna do prawidłowego pokolorowania grafu G.

Wielomian chromatyczny. Jeśli G=(V,E) jest grafem, a k  N, to oznaczmy przez PG(k) liczbę różnych kolorowań (prawidłowych) grafu G w dokładnie k kolorów. Przykład PK3(k)=k(k-1)(k-2) PKn(k)=k(k-1)(k-2)...(k-(n-1)) PK5(6)=6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 PK5(4)=4 ·3 ·2 ·1 · 0 – nie da się pokolorować w cztery kolory Grafu pełnego o pięciu wierzchołkach

(G)- najmniejsze k  N takie, że PG(k) > 0. Jeśli u,v są wierzchołkami grafu G i nie są połączone krawędzią, to przez G+uv oznaczmy graf powstały z G przez dodanie krawędzi uv. Jeśli u,v są wierzchołkami grafu G, to przez G(u=v) oznaczmy graf powstały z G przez ściągnięcie wierzchołka u do v.

Twierdzenie Jeśli u,v są wierzchołkami grafu G i uv nie jest krawędzią tego grafu, to PG(k) = PG+uv(k)+PG(u=v)(k). Zadanie Znaleźć PG(k) oraz (G), jeśli G jest cyklem pięciowierzchołkowym z jedną cięciwą.

Grafy planarne Graf G=(V,E) jest planarny, jeżeli może być narysowany na płaszczyźnie tak, że dowolne jego krawędzie „spotykają się” co najwyżej we wspólnym wierzchołku końcowym. Każdy rysunek takiego grafu jest jego planarną reprezentacją. Mając daną planarną reprezentację grafu, można rozpatrywać zbiór punktów na płaszczyźnie, które nie należą do tej reprezentacji: zbiór ten w naturalny sposób dzieli się na „kawałki” zwane regionami.

Twierdzenie (wzór Eulera) Jeśli G=(V,E) jest spójnym grafem planarnym, to w dowolnej jego planarnej reprezentacji liczba regionów f jest równa |E|-|V|+2. Twierdzenie Dla każdego grafu planarnego G=(V,E),  i k(Oi)= 2|E|, gdzie k(Oi) oznacza ilość krawędzi ograniczających obszar Oi. Twierdzenie Jeśli G=(V,E) jest spójnym grafem planarnym o co najmniej trzech wierzchołkach, to |E|  3|V|-6. Twierdzenie Jeśli G=(V,E) jest spójnym grafem planarnym dwudzielnym o co najmniej trzech wierzchołkach, to |E|  2|V|-4.

Kolorowanie map W 1852 roku Francis Guthrie kolorował mapę Anglii, zauważył, że cztery kolory wystarczą, by każde dwa sąsiadujące hrabstwa różniły się barwą. Pomyślał: czy cztery barwy wystarczą do pokolorowania dowolnej, nawet najbardziej skomplikowanej mapy?

Wierzchołki to obszary (państw), krawędzie - gdy obszary mają jedną lub więcej wspólnych granic. Pierwszy dowód pojawił się dopiero w roku 1879. Przedstawił go Alfred Kempe, londyński prawnik. Był to zapewne najsłynniejszy fałszywy dowód w całej historii matematyki. 1976 : Kenneth Appel, Wolfgang Haken, wspomagani w sprawach komputerowych przez studenta Johna Kocha. Lata 90. XX wieku: Neil Robertson, Dan Sanders, Paul Seymour i Robin Thomas- dowód bardziej strukturalny.

Kolorowanie mapy jest równoważne z kolorowaniem wierzchołków grafu planarnego. Twierdzenie Każda mapa może być pokolorowana pięcioma kolorami.

Fundamentalny zbiór cykli Niech  oznacza zbiór wszystkich podgrafów spinających grafu G=(V,E), tzn.  = {(V,E’): E’ E}. W zbiorze  określamy dodawanie , przyjmując dla dowolnych (V,E’), (V,E”) , (V,E’)  (V,E”) = (V,E’  E”), gdzie E’  E” jest różnicą symetryczną zbiorów E’ oraz E”. Zbiór  z dodawaniem jest przestrzenią wektorową nad ciałem {0,1}. W zbiorze  określamy mnożenie przez liczby z {0,1}; dla dowolnego G’= (V,E’)  mamy 1*G’=G’; 0*G’=(V,).

Wektorem zerowym jest graf (V, ), a wektorem przeciwnym do G’ jest G’. Niech C oznacza zbiór tych podgrafów spinających grafu G, w których stopień każdego wierzchołka jest parzysty. Zauważmy, że elementami zbioru C są cykle i sumy krawędziowo rozłącznych cykli grafu G rozumiane jako jego podgrafy spinające. C jest podprzestrzenią przestrzeni . Podprzestrzeń C nazywamy przestrzenią cykli grafu G. Bazę C przestrzeni C złożoną jedynie z cykli nazywamy bazą cykli grafu G.

Weźmy pod uwagę graf G=(V,E) i jego drzewo spinające T=(V,E’) oraz wszystkie krawędzie {e1,...,em}  E-E’, których liczba jest równa |E|-|V|+1. Dodanie krawędzi ei=uv do drzewa T tworzy dokładnie jeden cykl ci złożony z krawędzi ei i jedynej drogi T(u,v). Tak więc zbiór C={c1,...,cm} jest bazą cykli grafu G, nazywamy ją fundamentalną bazą cykli wyznaczoną przez drzewo spinające T. Dowolny cykl w G można wyrazić jako różnicę symetryczną pewnych cykli bazowych w odniesieniu do drzewa T. Zbiór cykli bazowych rozpina zatem przestrzeń C.

Dominowanie w grafach. Problem pięciu królowych (1850 r). Jaka jest najmniejsza liczba królowych jaka może być rozmieszczona na szachownicy 8 x 8 tak, by każde pole było w zasięgu jakiejś królowej? Problem pięciu królowych-problem znalezienia „zbioru dominującego” o mocy 5.

Dla danych wierzchołków x,y grafu G mówimy, że x dominuje y, jeśli x=y albo jeśli xy E(G). W takim razie x dominuje siebie i wszystkie wierzchołki sąsiednie z wierzchołkiem x. Zbiór DV(G) jest zbiorem dominującym w grafie G, jeśli każdy wierzchołek ze zbioru V(G)-D w grafie G jest dominowany przez wierzchołek ze zbioru D. Jeśli D jest dominujący w G, to każdy nadzbiór D’ D też jest dominujący. Z drugiej strony, nie każdy podzbiór D”  D jest dominujący w G.

Zbiór dominujący D jest minimalny dominujący, jeśli żaden podzbiór właściwy D”  D nie jest dominujący.

Twierdzenie Zbiór dominujący D jest minimalnym zbiorem dominującym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego wierzchołka u  D zachodzi jeden z dwóch warunków: a) u jest izolowany w D; b) istnieje v  V-D, dla którego NG(v)  D = {u}. Moc najmniejszego zbioru dominującego w grafie G nazywamy liczbą dominowania grafu G i oznaczamy  (G). Moc największego zbioru minimalnego dominującego w grafie G nazywamy górną liczbą dominowania grafu G i oznaczamy  (G).  (G)=5  (G)=3

Niech D - zbiór dominujący i niech u  D. Mówimy, że wierzchołek v jest prywatnym sąsiadem wierzchołka u (w odniesieniu do D), jeśli NG[v]  D = {u}. Zbiór prywatnych sąsiadów wierzchołka u: PN[u,D]={v : NG[v] D = {u} }. u  PN[u,D], jeśli jest izolowany w podgrafie indukowanym G[D], wtedy mówimy, że u jest swoim własnym prywatnym sąsiadem. Zbiór dominujący D jest minimalny dominujący wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wierzchołek z D ma przynajmniej jednego prywatnego sąsiada.

Twierdzenie Dla każdego grafu G,  (G)  n - (G). Twierdzenie Jeśli graf G nie ma wierzchołków izolowanych oraz diam(G)  3, to  (Gd) = 2, gdzie Gd jest dopełnieniem grafu G.