Wykład no 12 sprawdziany: 2-06-2006

Tory teletransmisyjne Tory teletransmisyjne miedziane 1. Para skręcana (skrętka) – stosowana do budowy sieci lokalnych do 10Mbit/s dla długości 100m. 2. Kabel koncentryczny

Impedancja falowa typowe wartości 50Ω lub 75Ω Stosowana teoria linii długiej. Linia powoduje zmianę amplitudy i fazy sygnału w zależności od częstotliwości, co powoduje zniekształcenie sygnału. Przykładowo na wyjściu sygnał będący sumą sygnału o częstotliwości 1kHz i 3kHz

wejście

wyjście

sygnał wejściowy sygnał wejściowy sygnał wyjściowy

Odcinek linii o długości δx modelujemy: i(x,t) i(x+δx,t) u(x,t) u(x+δx,t) R,G,L,C – stałe kilometryczne linii Równania opisujące prąd i(x,t) i spadek napięcia wzdłuż linii u(x,t):

Typowe wartości stałych kilometrycznych to: R≈100Ω/km, G≈10μS/km, L≈0.25mH/km, C≈0.1μF/km Przyjmiemy sygnał sinusoidalnie zmienny o pulsacji ω i zastosujemy metodę amplitud zespolonych czyli i(x,t)=Re[I(x)ejωt], u(x,t)=Re[U(x)ejωt] gdzie I(x), U(x) - amplitudy zespolone odpowiednio prądu i napięcia. Ze względu na liniowość układu równań telegrafistów mamy:

Eliminując prąd otrzymujemy: bądź eliminując napięcie: gdzie - stała propagacji Stałą propagacji można zapisać w postaci: γ=α+jβ α – jest liczbą rzeczywistą i jest nazywane tłumiennością jednostkową toru. Podawane jest w neperach. β – jest liczbą rzeczywistą i jest nazywane przesuwnością.

Rozwiązując równanie: Mamy: gdzie Rozwiązanie równania: ma postać:

i podobnie dla amplitudy zespolonej prądu mamy: Ze względu na równanie: znajdujemy związek między stałymi A1, A2 i B1, B2: i mamy:

Rozwiązania dla amplitud zespolonych napięcia i prądu są: gdzie - impedancja falowa Rozwiązania dla amplitud zespolonych napięcia i prądu są: Niech stałe A1 i A2 są liczbami zespolonymi o postaci: A1=|A1|ejφ i A2=|A2|ejθ biorąc pod uwagę, że γ=α+jβ możemy zapisać:

mnożąc zespoloną amplitudę napięcia przez ejωt i biorąc część rzeczywistą mamy rzeczywisty rozkład napięcia u(x,t) w linii: Biorąc część rzeczywistą mamy: Oznaczmy up(x,t)=cos(ωt-βx+θ) i uo(x,t)=cos(ωt+βx+θ) Niech Φ=ωt0–βx0 +θ – faza funkcji cosinus w chwili t0 w punkcie x0 i zobaczmy co dzieje się dla kolejnych chwil t>t0

cos(ωt-βx+φ)

zależność prędkości fazowej od pulsacji (częstotliwości) Obraz stałej fazy: ωt-βx+φ=const porusza się z prędkością prędkość ta jest nazywana prędkością fazową. Biorąc pod uwagę: mamy: zależność prędkości fazowej od pulsacji (częstotliwości) nazywamy dyspersją.

Ponieważ fala up(x,t)=cos(ωt-βx+θ) porusza się w kierunku dodatnich x będziemy ją nazywać falą padającą. Niech Θ=ωt0+βx0+θ i zbadamy jak propaguje się stała faza dla funkcji uo(x,t)=cos(ωt+βx+θ) dla czasów t>t0

cos(ωt+βx+θ)

Fala porusza się w kierunku malejących x i będziemy ją nazywali falą odbitą. Obraz stałej fazy: ωt+βx+θ=const porusza się z prędkością a więc co do wartości bezwzględnej prędkość fazowa fali odbitej ma tę samą wartość co prędkość fali padającej. Rozpatrzmy wpływ tłumienności α na rozkład fali wzdłuż linii. Tłumienność α: powoduje, że następuje tłumienie amplitudy fali wzdłuż linii:

|A2|e-αx -|A2|e-αx |A2|e-αxcos(ωt-βx+φ)

Rozważmy na wejściu linii transmisyjnej sygnał zmodulowany amplitudowo: swej(t)=[1+mcos(ωt)]cos(ωct) swej(t) 1+m(t) -[1+m(t)] t

Na wyjściu mamy sygnał swyj(t): 1+m(t) -[1+m(t)]

Idealną byłaby sytuacja gdyby tłumienność α=0. Możemy to uzyskać, jeżeli R≈0 i G≈0 Linia spełniająca powyższe warunki nazywa się linią bezstratną Dla linii bestratnej mamy: a więc α=0 i impedancja falowa jest liczbą rzeczywistą, a prędkość fazowa: nie zależy od częstotliwości, co oznacza, że nie występuje dyspersja.

Przykładowo linią bezstratną jest linia anteny telewizyjnej w pasmie kanałów 21 – 35, które znajdują się w zakresie od 470 – 590 MHz. Typowe parametr kabla antenowego: C=0.1 μF/km, R=100 Ω/km, G=10 μS/km i L=0.25 mH/km mamy dla 500 MHz: ωC=314 S/km>>G=10 μS/km oraz ωL=0.785 MΩ/km>>R=100 Ω/km Praktycznie można pominąć wpływ rezystancji i upływności na przesył sygnału, jeżeli ωL > 10R oraz ωC > 10G W zakresie niskich częstotliwości wpływ rezystancji i upływności nie może być zaniedbany i wtedy naszym celem jest tak dobrać parametry linii aby sygnał nie uległ odkształceniu.

Oznacza to, że tłumienność α i przesuwność β: powinny: α – musi być niezależne od częstotliwości (pulsacji), β – musi być liniową funkcją częstotliwości. Dla uzyskania tego: można to uzyskać, jeżeli

bo wtedy mamy: i

a więc tłumienność linii: jest niezależna od częstotliwości i przesuwność: jest liniową funkcją częstotliwości. Jeżeli linia jest nieodkształcająca, co oznacza, że to również jej impedancja falowa: jest niezależna od częstotliwości i równa:

a rozwiązanie ma postać: Prędkość fazowa fali: jest identyczna jak dla linii bezstratnej i nie zależy od częstotliwości, a więc nie następuje zniekształcenie sygnału wywołane dyspersją. Warunek: jest niespełniony w typowych kablach Dla linii o typowych parametrach: C=0.1 μF/km, R=100 Ω/km, G=10 μS/km i L=0.25 mH/km mamy:

Jedynym możliwym rozwiązaniem jest zwiększenie stałych kilometrycznych linii. W grę wchodzą dwa parametry G – upływność linii. Jednak zwiększenie tego parametru prowadzi do wzrostu i w efekcie prowadzi do wzrostu tłumienia sygnału, co jest niewskazane. Dlatego stosuje się zwiększanie drugiego parametru L – indukcyjności linii. W praktyce wykonuje się to w ten sposób, że w ustalonych odstępach wprowadza się do linii cewki, które dobiera się w ten sposób aby uzyskać spełnienie warunku dla danego odcinka linii o długości d:

skąd wartość indukcyjności cewki: i dla linii o parametrach: C=0.1 μF/km, R=100 Ω/km, G=10 μS/km i L=0.25 mH/km mamy: 1 H, co kilometr lub 0.5 H co pół kilometra Czynność powiększania indukcyjności linii przez wprowadzenie dodatkowych indukcjności skupionych nazywa się pupinizacją. Niestety wprowadzenie skupionej indukcyjności powoduje, że uzyskuje się linię nieodkształcającą w wąskim pasmie niskich częstotliwości. Aby operacja była skuteczna w szerokim pasmie należałoby wprowadzić indukcyjność równomiernie rozłożoną, taką próbą jest tzw. krarupizacja.

Krarupizacja polega na owinięciu żyły przewodzącej dodatkowym przewodem wykonanym z materiału o bardzo wysokiej względnej przenikalności magnetycznej, co powoduje wzrost indukcyjności. Niestety również ten zabieg daje efekty tylko w zakresie kilku kHz. Pupinizacja powoduje spowolnienie sygnału, gdyż prędkość: i dla C=0.1 μF/km, R=100 Ω/km, G=10 μS/km, L=0.25 mH/km i Lp=1 H/km mamy: 3160 km/s, a więc w czasie 0.5 s sygnał przebywa drogę: 1580km czyli biorąc pod uwagę rozmowę telefoniczną w odległości 790 km słyszymy odpowiedź po 0.5 s, co jest niedopuszczalne przy transmisji sygnałów telefonicznych.

Pupinizacja powoduje ograniczenie pasma częstotliwości przesyłanych sygnałów analogowych. Nie jest stosowana dla sygnałów cyfrowych.

Prędkość fazowa i prędkość grupowa Prędkość fazową dla dowolnej linii definiujemy:

i dla linii opisanej przez stałe kilometryczne R, L, G, C jest: gdzie Natomiast prędkość grupowa: opisuje zmianę nachylenia obwiedni fali sinusoidalnej i zależność prędkości grupowej od częstotliwości powoduje zmianę kształtu obwiedni, a tym samym zniekształcenie przesyłanej informacji.

Odbicia Sygnał propagujący się w torze transmisyjnym bez strat: możemy ogólnie rozłożyć na dwie fale: falę padającą zależną od argumentu ωt-βx i opisującą falę wędrującą w kierunku rosnących x, i falę odbitą zależną od argumentu ωt+βx opisującą falę wędrującą w kierunku malejących x. Zapiszemy krótko: Dla prądów mamy podobną sytuację, czyli:

Z równań dla linii bez strat mamy: i podstawiając znajdujemy: gdzie a więc ostatecznie:

Dla prądu mamy: ale i podstawiając mamy: Podstawiając do równania:

mamy: Pamiętając, że dla linii bezstratnej vL=zc i porównując funkcje o tych samych argumentach mamy: up, ip uo, i0 Dla obciążenia na końcu linii mamy bilans: uk, ik zodb

Eliminując napięcie uk i prąd ik mamy: a korzystając z równań: mamy: i fala odbita prądu: Tłumienność odbicia jest:

Stan dopasowania falowego zodb=zc Nie występuje odbicie tak prąd jak i napięcia, czyli: uo=0 oraz io=0 Linia nieobciążona – stan jałowy linii zodb=∞ Współczynnik refrakcji (odbicia) czyli odbita fala napięcia prądu i napięcia ma identyczną amplitudę jak fala padająca uo=up oraz io=ip

Fala padająca napięcie

Sytuacja po odbiciu napięcie

zerowanie się wypadkowego napięcia i podwojenie wypadkowego Stan zwarcia zodb=0 Współczynnik odbicia w przypadku zwarcia jest: co oznacza, że napięcie i prąd odbijają się z przeciwnym znakiem, czyli przy zwarciu nastąpi: zerowanie się wypadkowego napięcia i podwojenie wypadkowego prądu

Dla uniknięcia odbicia stosuje się tłumiki dopasowujące. Przykład tłumika dopasowującego dwa kable: jeden o impedancji falowej 75Ω, a drugi o impedancji falowej 50Ω

Propagacja fal radiowych Prędkość propagacji fal elektromagnetycznych w powietrzu: gdzie μ0=4π·10-7 H/m – przenikalność magnetyczna próżni, ε0=8.8547·10-12 F/m – przenikalność elektryczna próżni, stąd c=3·108 m/s. Widmo promieniowania elektromagnetycznego

Fale elektromagnetyczne rozchodzą się w postaci fal poprzecznych (TEM)

Propagacja jonosferyczna Zasięg pierwszego odbicia wyznaczamy:

θc – jest kątem krytycznym. Fale padające pod kątem mniejszym od krytycznego nie zostaną odbite

Kąt krytyczny zależy od częstotliwości fal elektromagnetycznych, ze wzrostem częstotliwości rośnie kąt krytyczny i fale są gorzej odbijane przez jonosferę. Częstotliwość fc, przy której kąt krytyczny jest równy zeru, jest nazywana częstotliwością krytyczną Maksymalną częstotliwość użytkową (MUF) wyznacza się z tzw. prawa sekansa: