Przejścia fazowe w modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonych Politechnika Warszawska Wydział Fizyki Przejścia fazowe w modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonych Krzysztof Suchecki Janusz A. Hołyst

Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonych Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska EAB połączeń międzysieciowych preferencyjnych (i~ki) 2 sieci Barabasi-Albert, N węzłów, średni stopień <k>

Przybliżenie średniopolowe K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonych Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska Przybliżenie średniopolowe Zwykłe równanie samouzgodnione dla modelu Isinga Średnie połączenie i-j Samouzgodnione równanie spinu Spin ważony Samouzgodnione równanie spinu ważonego G. Bianconi, “Mean field solution of the Ising model on a Barabasi-Albert network”, Physic Letters A 303, 166-168 (2002)

Połączone sieci - analogicznie Założenie: kABi=pAkAAi ; kBAi=pBkBBi A K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonych Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska Połączone sieci - analogicznie Założenie: kABi=pAkAAi ; kBAi=pBkBBi A B Zwykłe oddziaływania w sieci B-A Wpływ drugiej sieci Analityczne rozwiązanie daje dwie temperatury krytyczne: TC- i TC+

Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonych Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska Połączone sieci

Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonych Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska Stabilne stany układu T Stan paramagnetyczny Tc+ ferromagnetyk-paramagnetyk Stan ferromagnetyczny równoległy Tc- antyrównoległy-równoległy Stan ferromagnetyczny antyrównoległy

Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonych Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska Przejścia fazowe na przykładzie sprzężonych grafów regularnych (<k>=const.) Ferromagnetyk-Paramagnetyk: Tc+ Nie sprzężone: Tc0 Antyrównoległy-Równoległy, przejście 1 rodzaju: Tc1 Antyrównoległy-Równoległy: Tc-

Przejście fazowe 1 rodzaju K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonych Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska Przejście fazowe 1 rodzaju grafy regularne (k=const.)

Przejście fazowe 1 rodzaju K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonych Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska Przejście fazowe 1 rodzaju Warunek niestabilności: Założenie: takie same sieci (kA=kB=k) Daje się wyznaczyć zależność p(T). Można odwrócić zależność graficznie, uzyskując wykres Tc1(p).

Przejście fazowe 1 rodzaju K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonych Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska Przejście fazowe 1 rodzaju Mapa 2-wymiarowa Po czasie  przyjmujemy, że mapa osiągnęła stabilny punkt stały – rozwiązanie układu równań

Przejście fazowe 1 rodzaju K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonych Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska Przejście fazowe 1 rodzaju Analityka zakładająca przejście 2 rodzaju Analityka przejścia 1 rodzaju Iteracje mapy

Pomiar temperatury krytycznej K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonych Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska Pomiar temperatury krytycznej Symulacje Monte-Carlo, przykład dla sieci B-A (N=2000, <k>=4)   Czas uśredniania =100 warunki początkowe t

Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonych Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska Czas uśredniania =10-3000 =100 2 sieci B-A (N=5000, <k>=10) Wybrany czas – powolne zmiany dla wyższych czasów Wystarczająco długi aby układ się ztermalizował, zbyt krótki by układ przeskakiwał do stanu równoległego

Temperatury krytyczne K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonych Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska Temperatury krytyczne Tc- - stan początkowy antyrównoległy badanie <S> Tc+ - stan początkowy równoległy badanie podatności Symulacje Monte-Carlo, 2 sieci B-A (N=5000, <k>=10) Czas uśredniania =100

Temperatury krytyczne K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonych Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska Temperatury krytyczne Tc1 - stan początkowy antyrównoległy badanie <S> i <|S|> Symulacje Monte-Carlo, 2 sieci B-A (N=5000, <k>=10) Czas uśredniania =100

Temperatury krytyczne K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonych Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska Temperatury krytyczne TC+, przejście fazowe 2 rodzaju OK TC-, założenie przejścia 2 rodzaju, ŹLE dlaczego się zgadza ?

Temperatury krytyczne K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonych Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska Temperatury krytyczne Analityka zakładająca przejście 2 rodzaju Iteracje mapy Symulacje Monte-Carlo przeskalowane Monte-Carlo

Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonych Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska Dziękuję za uwagę K.Suchecki, J.A.Hołyst, “Ising model on two connected Barabasi-Albert networks”, Phys. Rev. E 74: 011122 (2006) K.Suchecki, J.A.Hołyst, “First order phase transition in Ising model on two connected Barabasi-Albert networks”, w przygotowaniu