Streszczenie Założenie o dw ó ch i to r ó wnoprawdopodobnych wariantach sygnału (s=2) jest wygodne i bardzo często stosowane np.: w sieciach Boolowskich, modelach Isinga lub szkieł spinowych, do opisu szerokiej gamy rzeczywistych system ó w. Jednocześnie w sieciach Boolowskich często używa się dw ó ch wejść do wierzchołka (K=2), co razem daje wyjątkową stabilność nie spotykaną w pozostałych sytuacjach. W tym aspekcie om ó wię podstawowe wyniki szkoły Kauffmana dotyczące rozprzestrzeniania się zaburzenia (damage spreading) w sieciach Boolowskich. Ponadto przedstawię moje argumenty (także symulacyjne) za stosowaniem s>2 i uproszczony algorytm do takich statystycznych badań. Rozważane będą sieci autonomiczne obliczane synchronicznie, r ó żnych typ ó w, w tym także scale-free. Dlaczego 2 równoprawdopodobne warianty sygnału bywają złym wyborem Andrzej Gecow Instytut Paleobiologii PAN Seminarium DUZ Instytut Fizyki Politechniki Warszawskiej

Andrzej Gecow Instytut Paleobiologii PAN Seminarium DUZ Instytut Fizyki Politechniki Warszawskiej Dlaczego dwa równoprawdopodobne warianty sygnału bywają złym wyborem

Sieć Boolowska = logiczna = Kauffmana Wierzchołek realizuje funkcję logiczną c:=f(a,b,...) K zmiennych. Jedna logiczna wartość c wyprowadzana jest w k różnych kierunkach. c - stan wierzchołka a, b, c = 0 lub 1 k=3 (np.) c:=f(a,b) K=2 (np.) zwykle const. c ab c c opisana w JTB w 1969 k zmienne - jako stopień wierzchołka, Kauffman stosuje sieć Random Erdos-Renyi Będziemy rozważać sieć autonomiczną, obliczaną synchronicznie. Dla sieci autonomicznych = K Zakładamy jednakowe prawdopodobieństwo 0 i 1 czyli s=2.

Damage w sieci Boolowskiej Mamy 2 identyczne systemy. Jeden z nich zaburzamy małą zmianą (np. jeden stan). d = damage = Liczba wierzchołków o różnych stanach/N d t+1 = 1-((1-d t ) +(1-(1-d t ) )/s) KK quenched model - normalny annealed model - Derrida & Pomeau Po każdym wyliczeniu nowego stanu pozostawiane są stany ale generowane nowe połączenia i funkcje. S. A. Kauffman, The Origins of Order: Self-Organization and Selection in Evolution. Oxford University Press, New York, s=2

Tabela 5.1 state cycle# state cycleHomeostatic Reachability among cycles lengthattractorsstabilityafter perturbation K=N0.5*2 N/2 N/elowhigh K>50.5*2 BN ~Nf(P K )lowhigh K=1(π/2*N) 1/2 expotential in Nlowhigh K=2N 1/2 N 1/2 high low 1-median # of states on state cycle 2-# of state cycle attractors in one net, 3-refers to tendency to return to same state cycle after change of 1 node state. 4-# of other state cycles to which net flows from each state cycle after all possible change of 1 node state. Sieci dla różnych K K=N Dla N=200 atraktor ma 10 stanów...; Każda zniana daje stan losowy. Chaotic behavior in these Boolean networks shows up in 2 major ways: The lengths of state cycles and sensitivity to initial conditions. 30 K>5 P - internal homogenity in Boolean functions = K K=2 Phase transition from chaos to order. Percolation of frozen clusters. 5 do 15% zm.st.1.el. system zmienia atraktor, 70% zamrożone. Dla N=10000 atraktor ma 100 stanów a przestrzeń stanów Tabela 5.2: dla K od 1 do 7 kolejno: 0.5, , , , , ,

Modyfikacje Sieci Kauffmana Wierzchołek realizuje funkcję logiczną c:=f(a,b,...) K zmiennych. Jedna logiczna wartość c wyprowadzana jest w k różnych kierunków. a, b, c = 0 lub 1 k=3 (np.) c:=f(a,b) K=2 (np.) zwykle const. c ab c c Ja stosuję też: (c,d):=f(a,b) (od 1975r) agregat automatów k = K = 2, 3,... (const.) (c,d):=f(a,b) c ab d Nowość: Iguchi at al. JTB 247, pp , (2007) użyli zmiennego K dla sieci scale-free => sygnały: a, b, c = 0..(s-1) s=2, 4, 8, 16,... proponuję: Kauffmana ale już nie Boolowska k jako stopień wierzchołka - różne typy sieci, nie tylko Random Erdos-Renyi ale i scale-free, single-scale i inne.

współczynnik rozmnażania zmiany w = k (s-1)/s wierzchołek jeżeli jeden sygnał wejściowy jest zmieniony przekształca: nowe sygnały wyj. := f(nowe sygnały wej.) zwykle inne niż stare sygnały wyjściowe Tylko dla k=2, s=2 (w=1) zmiana nie rośnie. Dlatego typowe sieci Boolowskie są skrajne i dają inne zjawiska (szczególny porządek) niż zwykle (chaos). s - równoprawdopodobnych wariantów sygnału k - wyjść z wierzchołka Ile średnio jest zmienionych sygnałów wyjściowych?

k=3 (np.) c:=f(a,b) K=2 (np.) zwykle const. c ab c c współczynnik rozmnażania zmiany w = k (s-1)/s Dla K=2: d := dw - d w/2 dla sieci Kauffmana d := dw - d dla agr.aut (s-1) (s+1)s d = w t w = w = 1.5 Damage spreading Dla sieci autonomicznych = K

k=3 (np.) c:=f(a,b) K=2 (np.) zwykle const. c ab c c dla inicjacji d = w t w = w = 1.5 s wpływa na dynamikę różnie dla różnych sieci

Tylko dla k=2, s=2 damage nie rośnie (w=1). Taka typowa sieć Boolowska jest skrajna, leży w obszarze przejścia fazowego chaos/porządek, może dawać nadmierną stabilność, dla wszystkich innych k i s oczekujemy chaosu. 1. Do badania obszaru chaotycznego stosuje się K>2 ( lub podwyższone P) ale zawsze tylko s=2. Pokazałem, że K>2 nie może zastąpić s>2 nawet gdy wsp. w jest ten sam, ponieważ daje to inne zachowanie różnych typów sieci: 2. Dlaczego należy badać s>2 dla inicjacji k=3 (np.) c:=f(a,b) K=2 (np.) zwykle const. c ab c c s wpływa na dynamikę różnie dla różnych sieci (internal homogenity)

Dlaczego powinno być s > 2 ? Tylko dla k=2, s=2 damage nie rośnie (w=1). Ten przypadek jest wyjątkowy, może dawać porządek zamiast chaosu. 1. K>2 nie może zastąpić s>2 w badaniach zachowania sieci Teoria informacji Shannona : zip pliku jest zwykle mniejszy. (Komputer jako sieć Boolowska) 4. Dobra alternatywa jest zwykle znacznie mniej prawdopodobna. (w systemach podlegających adaptacji) 3, 4 => Alternatywy zwykle nie są równoprawdopodobne. Ale my lubimy wygodne założenie o równym prawdopodobieństwie wariantów sygnału! => np. dla 1/4 i 3/4 możemy użyć s=4, jeden jest dobry a reszta zła => Bądźcie ostrożni modelując nie fizykę używając s=2 i modeli Isinga lub szkieł spinowych albo sieci Boolowskich...

Algorytm Mamy 2 identyczne systemy A i B. Jeden z nich np. B, zaburzamy małą zmianą (np. jeden stan). d = damage = Liczba wierzchołków o różnych stanach/N to wynik porównania A i B w kolejnych t po zaburzeniu Ja liczę tylko jeden system B i to tylko samą damage, ale statystycznie. Intuicja: W sieci bez sprzężeń zwrotnych można znaleźć taki stan sieci, że każdy wierzchołek ma stan (wyjście) odpowiadające jego wejściom. Podczas wzrostu sieć utrzymywana jest w zbliżonym stanie. Liczone są jedynie te wierzchołki, które mają zmieniony stan wejść, zakłada się, że brakujące (niezmienione) sygnały wejściowe są takie jak stare. To staranie jest zbędne, wystarczy, że: Wierzchołek do którego dotarła zmiana ma wynik losowy, który z określonym prawdopodobieństwem propaguje się dalej. Powtórne liczenie tych samych wierzchołków musi dać ten sam wynik statystyczny. Różnice: U mnie proces gaśnie gdy jest zbyt mało jeszcze nie liczonych, normalnie proces trwa w ustalonym statystycznie stanie.

k=3 (np.) c:=f(a,b) K=2 (np.) zwykle const. c ab c c współczynnik rozmnażania zmiany w = k (s-1)/s Dla K=2: d := dw - d w/2 dla sieci Kauffmana d := dw - d dla agr.aut (s-1) (s+1)s d = w t w = w = 1.5 Wygasanie realne i pseudo Różnice: U mnie proces gaśnie gdy jest zbyt mało jeszcze nieliczonych, normalnie proces trwa w ustalonym statystycznie stanie. Tu zakłada się 1 zmieniony sygn.wej. Średnia nie wygasa (wygasanie rzeczywiste)

Wygasanie pseudo Różnice: U mnie proces gaśnie gdy jest zbyt mało jeszcze nieliczonych, normalnie proces trwa w ustalonym statystycznie stanie. Tempo wzrostu damage w początkowym odcinku o małej statystyce w środowisku o silnie zróżnicowanym k (i przez to w) jest silnie zróżnicowane.

Rozkłady wygasania dla inicjacji

Rozkłady wygasania 67

Algorytm i przyczyny różnic w zachowaniu się sieci dla inicjacji Mamy 2 identyczne systemy A i B. Jeden z nich np. B, zaburzamy małą zmianą (np. jeden stan). d = damage = Liczba wierzchołków o różnych stanach/N to wynik porównania A i B w kolejnych t po zaburzeniu Ja liczę tylko jeden system B i to tylko samą damage, ale statystycznie.