Metody numeryczne część 3. Całkowanie metodą Eulera i Simpsona. Programowanie w VBA Metody numeryczne część 3. Całkowanie metodą Eulera i Simpsona.

Krztyna teorii Dana jest funkcja f(x). Jeśli jest ona ciągła w przedziale [a,b] i znana jest funkcja F(x) spełniająca warunek: F’(x)=dF(x)/dx=f(x) to całkę oznaczoną oblicza się ze wzoru: Jeżeli funkcja F(x) nie istnieje lub jest zbyt trudna do wyznaczenia metodami analitycznymi, można do obliczenia całki oznaczonej użyć metody numerycznej. Potrzebne są do tego wartości w punktach funkcji lub wyznaczone takie wartości w wyniku eksperymentu.

Całka i kwadratura Całkowanie numeryczne (kwadratura numeryczna) – obliczenie przybliżonej wartości całki przez sumowanie pól tworzących przybliżony obszar całkowania pod krzywą funkcji. Im większa ilość tych podpól (pionowych "pasków" o szerokości Δx), tym dokładniejsze oszacowanie całki – przy nieskończonej ilości równo rozmieszczonych pól jest to po prostu dokładny obszar całki, taki jak ze wzoru na całkę oznaczoną (czyli suma pól o nieskończenie małej szerokości - dx). a b X Y

Metoda Newtona-Cotesa Polega na podzieleniu zakresu całkowania [a,b] na n równych odcinków h ( h=Δx=(b-a)/n ), gdzie miejsca podziału są nazywane "węzłami" interpolacji (xi). Następnie zliczamy pola kolejnych obszarów ze wspólnego wzoru, znając wartości funkcji w węzłach (lub licząc je na potrzeby całkowania numerycznego). Dokładność wyznaczenia całki zależy od ilości podziałów, a także od tego, ilu węzłów użyjemy do obliczenia pola pojedynczego podpola.

Metoda prostokątów Metoda polega na obliczeniu sumy pól prostokątów utworzonych przez odcinek między węzłami xi i xi+1 i wysokość w połowie tego odcinka: P = ΣPi = h∙Σf(xi+h/2) a (xi) b X Y xi+1 (xi+h) xi+2 xi+3 xi+h/2

Metoda prostokątów a (xi) b X Y xi+h/2 a (xi) b X Y xi+1 (xi+h) xi+h/2

Metoda trapezów (Eulera) Metoda polega na obliczeniu sumy pól trapezów utworzonych przez węzły xi i xi+1 oraz wartości w punktach xi i xi+1: P = ΣPi = h/2∙Σ(f(xi)+f(xi+1)) a (xi) b X Y xi+1 (xi+h) xi+2 xi+3

Metoda trapezów (Eulera) a (xi) b X Y a (xi) b X Y xi+1 (xi+h)

Metoda parabol (Simpsona) Metoda polega na obliczeniu sumy pól pod parabolami utworzonymi na trzech kolejnych węzłach xi, xi+1 i xi+2: P = ΣPi = h/3∙Σ(f(xi)+4∙f(xi+1)+f(xi+2)) a (xi) b X Y xi+1 (xi+h) xi+2 xi+3

Metoda parabol (Simpsona) a (xi) b X Y Nie da się z dwóch węzłów a (xi) b X Y xi+1 (xi+h)

Wzory Metoda prostokątów: P = ΣPi = h∙Σf(xi+h/2) Metoda Eulera: P = ΣPi = h/2∙Σ(f(xi)+f(xi+1)) → h/2∙((f(a)+f(b))+2∙Σf(xi)) Metoda Simpsona: P = ΣPi = h/3∙Σ(f(xi)+4∙f(xi+1)+f(xi+2)) → h/3∙((f(a)+f(b))+4∙Σf(xśrodkowe)+2∙Σf(xzewnętrzne)) Podobieństwo wzorów nie jest przypadkowe: wszystkie są zbudowane na członach wielomianu Lagrange'a (ogólna metoda Newtona-Cotesa).

Jakiej dokładności rzeczywiście trzeba? Dokładność a potrzeba Jakiej dokładności rzeczywiście trzeba? d = 8,6 km O = 27 km Obliczenia teoretyczne: ε = ułamki J vs. dziesiątki MJ → → 8-9 cyfr znaczących Obliczenia inżynierskie: ε = 3mm / 27km → 7 cyfr znaczących

Błędy oszacowania Im mniejsze zakresy (odległości między węzłami), więc im więcej podziałów – tym dokładniejszy wynik; Z powyższego wynika, że im równiejszy podział, tym lepiej (równe podprzedziały); Im wyższego stopnia wielomian przybliża całkę wielomianu wyższego stopnia, tym dokładniejszy wynik (zasadniczo metoda Simpsona jest lepsza od Eulera) – dla danej liczby podziałów i kryterium zbieżności; Im mniejsza krzywizna funkcji, tym dokładniejszy wynik przy danej liczbie podziałów;