Falowa natura materii Dualizm falowo-korpuskularny. Fale de Broglie’a. Funkcja falowa. Zasada nieoznaczoności. Równanie Schrödingera

Dualizm Fizyk francuski Louis de Brouglie wysunął w roku 1923 hipotezę, że dualizm jest zjawiskiem w przyrodzie uniwersalnym, a nie osobliwością w dziedzinie zjawisk optycznych. Znany był efekt fotoelektryczny już w wieku XIX. W 1905 roku Einstein ogłosił teorię zjawiska fotoelektrycznego. Poglądy Einsteina były w pewnym sensie powrotem do korpuskularnej teorii Newtona. Einstein zaakceptował wprowadzoną przez Plancka ideę kwantów energii. W odróżnieniu od poglądów Plancka uważał, że energia kwantu pozostaje przez cały czas jego istnienia skupiona w małym obszarze. Kwanty (fotony) według Einsteina rozchodzą się w przestrzeni jak małe cząstki. Planck sądził, że fotony rozpływają

Energia kwantu Pęd kwantu się w postaci fali na całą przestrzeń. W teorii korpuskularnej (Einstein) przypisuje się każdemu fotonowi pewną energię  i pęd p. Energia kwantu (1) Pęd kwantu (2)

Dualizm falowo - korpuskularny Parametry falowe:  - długość fali c - prędkość światła  - częstotliwość Wzory: (1, 2) Przeliczanie parametrów falowych na korpuskularne Parametry korpuskularne:  - energia p - pęd ?

Zjawisko fotoelektryczne w interpretacji Einsteina polega na zderzeniu fotonów o dostatecznie dużych energiach  z elektronami swobodnymi w metalu. W jednym akcie zderzenia elektron absorbuje całą energię jednego fotonu. Uzyskuje przez to energię na wykonanie pracy wyjścia. Natężenie światła w teorii kwantowej określa liczba kwantów przechodzących przez jednostkę powierzchni ustawionej prostopadle do kierunku ruchu kwantów w jednostce czasu. Kwantowa teoria światła nie tłumaczy wszystkich zjawisk optycznych, w szczególności interferencji, dyfrakcji i polaryzacji światła. Te zjawiska tłumaczy teoria falowa. Z tego względu powstał dualistyczny pogląd na naturę światła - niektóre zjawiska tłumaczone za pomocą modelu kwantowego, inne za pomocą falowego.

Rozwiązanie tego dylematu (modele te nawzajem się wykluczają) przyniosła dopiero mechanika kwantowa. De Brouglie był przekonany, że w przyrodzie panuje symetria. Zgodnie z takim poglądem, należałoby się spodziewać, że materia, którą uważamy za korpuskularną - elektrony, protony, atomy itd. zachowa się jak fala.

Falowa natura materii De Broglie założył, że podobnie jak poprzednio [wzory (1), (2)], powinny być zależności pozwalające na przejście od obrazu korpuskularnego do falowego. De Broglie otrzymał parametry falowe  i  obiektów, które mają masę m, pęd p i prędkość v (3, 4).

(3) (4) h - stała Plancka w przypadku fotonu pęd (5)

Fale materii. De Broglie przypisał każdej cząstce pewną falę o długości  i częstotliwości . Na poparcie swojej tezy nie miał żadnych argumentów doświadczalnych. 1926 r. - Schrödinger podjął i opracował matematycznie idę de Broglie’a 1927 r. - Amerykanie Davisson i Germer wykonali doświadczenie, w którym zauważono interferencję fal elektronowych ugiętych na sieci krystalicznej niklu. Detektor ustawiony pod kątem do odpowiednich płaszczyzn atomowych zarejestrował maksima ugiętej wiązki elektronowej, zgodnie z wzorem: 2dsin = n n = 0, 1, 2,.... (6)

 - kąt ugięcia  - długość fali przewidziana przez de Broglie’a, której wartość można wyliczyć, porównując energię kinetyczną elektronów z energią pola przyspieszającego. m - masa elektronu e - ładunek elektronu U - napięcie przyspieszające v - prędkość elektronów (7) (8) (9)

        d Wiązka elektronów padających Wiązka ugięta           Płaszczyzny sieciowe odległe o d d Wzór (6) jest zgodny z warunkiem Bragga - Wulfa dla promieni Roentgena, które zostały ugięte na płaszczyznach sieci krystalicznej o stałej d pod kątem . Wzór (6) jest przybliżony, nie uwzględnia załamania wiązki na granicy kryształ - ośrodek zewnętrzny.

Funkcja falowa Funkcją falową nazywamy wielkość fizyczną będącą w danym miejscu pola falowego i w danej chwili miarą zaburzenia równowagi jego elementów. W przypadku fal rozchodzących się w ośrodku sprężystym miarą zaburzenia, a więc funkcją falową jest chwilowa wartość wychylenia drgających cząsteczek z położenia równowagi. Natomiast w przypadku fal elektromagnetycznych funkcją falową jest chwilowa wartość pola elektrycznego E lub magnetycznego B.

Najprostszym typem fali jest harmoniczna fala płaska, którą można zapisać w postaci: y - wartość chwilowa y0 - amplituda t - czas x - droga T - okres  - długość fali  - pulsacja k - liczba falowa (10) lub (11) Równania (10, 11) przedstawiają również falę harmoniczną. (12) gdzie (13)

Taką falę przypisano mikrocząstce, np. elektronowi. Suma fal harmonicznych jest również falą harmoniczną. Posługując się znanym w matematyce liczb zespolonych wzorem Eulera (eix = cosx + isinx) , zapisujemy równanie fali płaskiej w postaci: (14) Najprostszą harmoniczną falę płaską materii przedstawia się jako (15)

W 1925 r. M. Born zaproponował następujące znaczenie funkcji falowej fal de Broglie’a: Kwadrat modułu funkcji falowej gdzie * oznacza funkcję zespoloną, sprzężoną z , jest miarą prawdopodobieństwa (W) znalezienia cząstki (elektronu) w danym miejscu, w danej chwili. (16) (17) dW jest prawdopodobieństwem znalezienia cząstki w danej chwili t w elemencie objętości dV, otaczającym dany punkt o współrzędnych x, y, z ( = (x,y,z,t).

(18) w jest gęstością prawdopodobieństwa w danym punkcie. Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki (elektronu) jest różne od zera tylko tam, gdzie  jest różne od zera. Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w całym obszarze jest równe 1 (pewność). * (19) Fale de Broglie’a są „falami prawdopodobieństwa” (wg. Maxa Borna), kwadrat modułu funkcji falowej równa się gęstości prawdopodobieństwa zastania mikrocząstki w tym obszarze.

Interpretacja Borna jest interpretacją statystyczną Interpretacja Borna jest interpretacją statystyczną. Cząstki poruszają się w sposób opisany równaniem Schrödingera. Funkcje falowe (14, 15) nie są rzeczywiste, ale opisują zachowanie się cząstek lepiej niż mechanika niutonowska. Przypisanie poruszającej się cząstce fali harmonicznej jest dużym uproszczeniem. Fala harmoniczna jest procesem nieograniczonym w czasie i przestrzeni, podczas gdy cząstka jest obiektem zlokalizowanym w czasie i w przestrzeni. Lepszym opisem fal materii jest przypisanie poruszającej się cząstce tzw. paczki fal (grupy fal), czyli ciągu falowego złożonego z wielu fal harmonicznych. Można wykazać, że wszystkie składowe fale harmoniczne interferując ze sobą znoszą się nawzajem wszędzie, za wyjątkiem pewnego obszaru x, w obrębie którego wypadkowa jest różna od zera.

vg Prędkość grupowa równa się prędkości, z jaką porusza się cząstka. x vg x Paczkę fal charakteryzują: • prędkości fazowe - prędkości z którymi wzdłuż kierunku propagacji przemieszczają się określone wartość fazy każdej z harmonicznych, • prędkość grupowa - prędkość przemieszczania się maksimum amplitudy paczki fal (vg) Prędkość grupowa równa się prędkości, z jaką porusza się cząstka.

Zasada nieoznaczoności Heisenberga Wyobraźmy sobie, że dysponujemy doskonale dokładnymi przyrządami i wyeliminowane zostały wszystkie źródła błędów pomiarowych w trakcie pomiaru pewnej wielkości fizycznej x. Okazuje się jednak, że otrzymujemy rozrzut wyników przy kolejnych pomiarach wykonanych w identycznych warunkach. Możemy wtedy powiedzieć, że ta sama wielkość fizyczna jest nie do końca określona. W takim przypadku mówimy o pewnej nieokreśloności lub nieoznaczoności.

Nieoznaczoność położenia i pędu 1925 r. - Werner Heisenberg sformułował jedno z podstawowych praw - zasadę nieoznaczoności. Prawo to odnosi się do sytuacji, w której w jednym doświadczeniu chcemy mierzyć jednocześnie więcej niż jedną wielkość fizyczną. Jest rzeczą niemożliwą równoczesne i dokładne zmierzenie takiej pary wielkości fizycznych, których iloczyn nieoznaczoności jest stały, nie mniejszy niż stała Plancka. (20) Nieoznaczoność położenia i pędu Nieoznaczoność energii i czasu (21)

Zależności te (20) i (21) są zgodne z ogólnymi własnościami paczek fal Zależności te (20) i (21) są zgodne z ogólnymi własnościami paczek fal. Nieokreśloność położenia elektronu równa się długości reprezentującej go paczki fal. Jest to również zgodne ze statystyczną interpretacją tych fal, według której prawdopodobieństwo znalezienia elektronu jest różne od zera tylko w obrębie paczki. Można obliczyć punkt, w którym gęstość prawdopodobieństwa jest największa, jest to tylko prawdopodobieństwo, a nie ścisłe położenie elektronu. Przykład 1. Wyznaczyć nieoznaczoność położenia elektronu, jeżeli jego prędkość wynosi 300 m/s, z dokładnością 0.010 %

Traktowanie elektronu jako punktu nie jest słuszne. h = 6.625 • 10-34 J • s Traktowanie elektronu jako punktu nie jest słuszne. Dla ciał makroskopowych zasada nieoznaczoności nie odgrywa żadnej roli. Dla poruszającej się cząstki o masie 1g, o położeniu znanym z dokładnością 1m, nieoznaczoność jej prędkości wynosi v  1.1 • 10-23 cm/s

Równanie Schrödingera W 1926 roku Schrödinger podał równanie stanowiące podstawę mechniki kwantowej. Wykorzystał nie tylko hipotezę de Broglie’a, ale również wykorzystał prace angielskiego matematyka W. R. Hamiltona, który znalazł równanie różniczkowe, opisujące powierzchnie stałej fazy pewnych hipotetycznych fal. Równanie falowe opisuje proces rozprzestrzeniania się fal w danym ośrodku. W układzie kartezjańskim dla izotropowego i jednorodnego ośrodka ma postać: (22)

gdzie u = u(x, y, z, t) - funkcja współrzędnych przestrzennych oraz czasu, opisująca zaburzenie falowe, v - prędkość fal w tym ośrodku. Różniczkowe równanie falowe stosowane jest też do opisu rozchodzenia się fal elektromagnetycznych. Równanie falowe dla światła w ośrodku ma postać: (23) gdzie D jest wektorem indukcji elektrycznej, uf - prędkością fazową

Korzystając z prac Hamiltona Schrödinger ustalił różniczkowe równanie fal materii. Równanie to opisuje zachowanie znanej już funkcji falowej , wprowadzonej dla fal materii. Funkcja  jest jest skalarem w odróżnieniu od funkcji występującej w poprzednio podanym równaniu falowym. Równanie Schrödingera nie jest pełną analogią poprzednich równań falowych ze względu na różnice między falami materii a falami opisywanymi przez poprzednie równania. Równanie to we współrzędnych kartezjańskich ma postać następującą: (24)

Cząstka w mikroświecie opisana jest za pomocą funkcji falowej (x,y,z,t), która związana jest z prawdopodobieństwem znalezienia cząstki. Występujące w równaniu Schrödingera stałe to: m - masa poruszającej się cząstki, V - potencjał, h - stała Plancka, i - jest liczbą zespoloną. gdzie (25)

Równanie Schrödingera jest równaniem operatorowym Równanie Schrödingera jest równaniem operatorowym. Operator - pewien symbol wskazujący na sposób postępowania z funkcją, która za nim występuje. W równaniu Schrödingera występuje operator energii kinetycznej oraz operator energii potencjalnej. Operatory te działają na funkcję falową (x,y,z,t), Operator energii kinetycznej działający na funkcję falową Operator energii potencjalnej działający na funkcję falową

Ostatnia postać równania Schrödingera jest zapisana w sposób poprzednio niedopuszczalny w matematyce, natomiast wprowadzony dopiero przez mechanikę kwantową. Równanie Schrödingera, podstawowe w mechanice kwantowej, jest w fizyce tej rangi, co klasyczne równania Newtona i klasyczne równanie falowe. Nie występują w nim wielkości kinematyczne, lecz funkcje pozwalające wyznaczyć prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w pewnym obszarze. Funkcja , stanowiąca rozwiązanie tego równania, opisuje stan o określonej energii cząstki. Znalezienie tej funkcji pozwala przewidzieć skwantowanie energii na przykład elektronu w atomie czy skwantowanie energii jąder atomowych.

Jeżeli występujący w równaniu (23) potencjał V nie zależy od czasu, rozwiązanie równania można zapisać w postaci: (26) Jeżeli cząstka może przemieszczać się wzdłuż jednej tylko osi na przykład x, niezależne od czasu równanie można zapisać jako: (27)

Własności funkcji falowej Zależna od czasu i współrzędnych przestrzennych jest wraz ze swymi pierwszymi pochodnymi skończona, ciągła i jednoznaczna Wielkość  2 jest gęstością prawdopodobieństwa, zatem w całym obszarze V (19a)

Przykład2. Cząstka znajduje się w nieskończonej jamie (studni) potencjału o szerokości a. Znaleźć jej funkcję falową.  = 0  = 0   0 a x W przedziale [0 - a] potencjał V = 0, na zewnątrz tego przedziału V = . Funkcja falowa jest niezerowa wewnątrz tego przedziału.

 = Aeikx + Be-ikx lub  = A1sinkx +B1coskx Równanie Schrödingera dla przedziału 0 < x < a Wprowadźmy oznaczenie Ogólne rozwiązanie tego równania ma postać:  = Aeikx + Be-ikx lub  = A1sinkx +B1coskx Funkcja falowa jest równa 0 na zewnątrz przedziału, stąd współczynnik B1 = 0, a odpowiadające nam rozwiązanie ma postać:

Cząstka w studni potencjału ma energię skwantowaną.  = A1sinkx Dla x = a można napisać warunek ka = n dla n = 1, 2,....... z tego wynikają warunki skwantowania energii cząstki: Cząstka w studni potencjału ma energię skwantowaną.

Stałą A1 można wyznaczyć na podstawie wzoru (19) przyjmując obszar całkowania od 0 do a, gdzie wiadomo, że stąd ostatecznie

Stany kwantowe cząstki w jamie potencjalnej dla liczb kwantowych n = 1,2, 3 (x) x2 Energia Gęstość prawdopodobieństwa Funkcja falowa n = 1 n = 2 n = 3

Dozwolone wartości energii jamy potencjału nazywamy poziomami energetycznymi, a liczbę naturalną n, wyznaczającą poziomy energetyczne, liczbą kwantową. Każdej wartości liczby kwantowej odpowiada określony stan kwantowy scharakteryzowany funkcją falową (x). Wnioski z przedstawionego modelu: 1) Energia w jamie potencjalnej jest skwantowana, a najmniejsza jej wartość jest większa od zera (według mechaniki klasycznej energia przyjmuje dowolne wartości, w tym również wartość zero. 2) Gęstość prawdopodobieństwa oscyluje między wartością maksymalną a zerem (według mechaniki klasycznej gęstość prawdopodobieństwa powinna być stała w przedziale [0, a]).

Przykład 3. Na próg potencjału pada cząstka o energii E mniejszej od wysokości progu V energii potencjalnej. Obliczyć współczynnik odbicia od progu. Na jaką odległość xef cząstka wnika w głąb progu? Przyjąć, że xef odpowiada odległości, na jakiej amplituda funkcji falowej maleje e razy. I II U U - energia V E x Klasyczna cząstka nie mogła pokonać bariery potencjału w przypadku E < V. Mechanika kwantowa dopuszcza sytuację taką, że cząstka o energii mniejszej od wysokości bariery energetycznej wnika w głąb takiej bariery.

Aby to pokazać rozwiązujemy równanie Schrödingera niezależne od czasu, które ma postać dla obszarów I i II odpowiednio: I x < 0 II x > 0 Rozwiązanie równania w obszarze I będzie miało postać: gdzie

Rozwiązanie równania w obszarze II ma postać: gdzie Moduły stałych A, B i C nie mogą przekraczać jedności ze względu na to, że kwadrat modułu funkcji falowej oznacza gęstość prawdopodobieństwo znalezienia cząstki, natomiast stała D musi być równa zero (ex  ). Ostatecznie mamy rozwiązania: Fala odbita Fala padająca Fala wnikająca w głąb bariery

Związki między stałymi A, B i C można wyznaczyć z warunku ciągłości funkcji falowej i jej pierwszej pochodnej. stąd Następnie obliczamy współczynnik odbicia R jako kwadrat modułu stosunku amplitudy fali odbitej do padającej.

Głębokość wnikania fali materii w barierę wyznaczamy z warunku: ostatecznie

Współczynnik odbicia R = 1 oznacza, że fala materii na pewno się odbije. Istnieje jednak niezerowe prawdopodobieństwo wniknięcia fali do wnętrza bariery, mimo energii kinetycznej cząstki mniejszej od energii bariery. Takiego efektu mechanika klasyczna nie przewidywała. Istnienie niezerowego prawdopodobieństwa wnikania fali stwarza możliwość przenikania cząstki przez wysokie bariery o skończonej grubości, czyli tunelowego przejścia cząstek przez bariery. Mechanika kwantowa przewiduje takie zjawiska i potwierdza to eksperyment. Istnieje w przyrodzie szereg zjawisk tunelowych, na przykład emisja cząstek alfa, przechodzenie swobodnych nośników w półprzewodnikach z pasma podstawowego do pasma przewodnictwa bez zmiany energii itp. Niektóre z nich znalazły praktyczne zastosowania. Dzięki nim powstały takie przyrządy jak dioda tunelowa, czy dioda Zenera.

Model atomu Bohra Demokryt, 460 - 370 p.n.Chr. Atomos - niepodzielny, najmniejszy składnik materii Thomson, 1904 r. - model w postaci dodatnio naładowanej kuli (10-9 m), wewnątrz której znajdują się elektrony Rutheford, 1909 r. - atom składa się z dodatnio naładowanego jądra (10-15 m), wokół, którego krążą elektrony po orbitach rzędu 10-9 m. Model wzorowany na budowie Układu Słonecznego, którego stabilność zapewnia równowaga między siłami grawitacyjnymi a dośrodkowymi. W przypadku elektronów krążących wokół jądra występuje sprzeczność z elektrodynamiką, według której każdy ładunek poruszający się z przyspieszeniem, wypromieniowuje energię. Atom powinien być niestabilny.

Model kwantowy (1913). Postulaty Bohra: Elektrony w atomie mogą krążyć tylko po pewnych dozwolonych orbitach, dla których moment pędu jest całkowitą wielokrotnością stałej Plancka h, czyli mvr = n Atom może absorbować albo emitować promieniowanie w postaci kwantów energii E = h przechodząc z jednej orbity dozwolonej na drugą, przy czym E = En1 - En2 (20) (21)

r - promień orbity elektronu, gdzie En1, En2 - energie elektronu na odpowiednich orbitach n = 1, 2..., m - masa elektronu, v - jego prędkość, r - promień orbity elektronu,  - stała Plancka podzielona prze z 2 Model Bohra usunął sprzeczności z prawami elektrodynamiki. Kwantowa teoria Bohra stała się punktem zwrotnym w opisie procesów wewnątrz atomów. Kwantowa teoria Bohra dawała wyniki zgodne z doświadczeniem, zwłaszcza dla wodoru, ale nie wyjaśniała faktu, dlaczego pojęć mechaniki klasycznej nie można stosować dla mikrocząstek.

Równanie Schrödingera dla atomu wodoropodobnego Liczbę elektronów w atomie danego pierwiastka nazywamy liczbą atomową i oznaczamy literą Z. Atom jako całość jest elektrycznie obojętny, a ładunek jądra jest równy +Ze. Opis budowy atomu na podstawie równania Schrödingera w przypadku atomów wieloelektronowych (Z > 1) jest trudny, ponieważ każdy elektron pozostaje pod działaniem ze strony jądra (przyciąganie) i ze strony pozostałych elektronów (odpychanie). Ograniczymy się do przypadku atomu wodoropodobnego, w którym wokół jądra o ładunku +Ze, krąży tylko jeden elektron.

Z = 1 atom wodoru Z = 2 jednokrotnie zjonizowany atom helu Z = 3 dwukrotnie zjonizowany atom litu Energia potencjalna dwóch ładunków punktowych q1, q2 odległych o r wyraża się wzorem (22) Dla rozpatrywanego atomu wodoropodobnego energia ta może być zapisana jako (23)

Podstawiając to wyrażenie do równania Schrödingera, niezależnego od czasu, otrzymamy (24)  -masa elektronu Równanie to rozwiązuje się zwykle we współrzędnych sferycznych r, , . r - promień wodzący,  - kąt biegunowy,  - kąt azymutalny.

Związek między współrzędnymi sferycznymi a kartezjańskimi  r y (25) x 

Funkcję falową można przedstawić jako iloczyn dwóch fukcji (26) (27) We współrzędnych sferycznych Zastępując funkcję  iloczynem R • Y, równanie (24) można napisać w postaci (28)

Mnożąc to równanie przez r2/RY i przenosząc część wyrazów na prawą stronę, otrzymujemy (29) Lewa strona równania zależy tylko od r, prawa od  i . Każda ze stron musi być równa pewnej stałej np.  (30)

(31) Równanie (31) nazywane jest równaniem funkcji kulistych. Równanie to ma rozwiązanie jednoznaczne, skończone ciągłe tylko wtedy, jeżeli (32)  = l(l +1) l = 0, 1, 2,........ Część kątowa funkcji falowej jest opisana funkcjami kulistymi Ylm(, ), których ilość jest określona wskaźnikami l i m, nazywanymi liczbami kwantowymi. Przyjmują one wartości l = 1, 2, 3,... Liczba kwantowa orbitalnego momentu pędu m = 0, 1, 2,..l Magnetyczna liczba kwantowa (33)

Ogólne wyrażenie na funkcje kuliste jest skomplikowane, przykładowe funkcje są podane niżej (34) (35) Podstawiając do równania części radialnej funkcji falowej wyrażenie (32) otrzymamy (36)

Równanie to można zapisać jako (40), wprowadzjąc podane niżej oznaczenia. Podane są również wartości wprowadzonych parametrów. (37) (38) (39)

(40) Równanie to ma rozwiązanie jednoznaczne, ciągłe i skończone pod warunkiem, że (41) n jest liczbą naturalną spełniającą warunek (42)

Ogólne rozwiązanie równania (40) ma postać skomplikowaną Ogólne rozwiązanie równania (40) ma postać skomplikowaną. Przykładowo dla n = 1 i l = 0 mamy (43) Stałe E i E1 w równaniu (40) mają wymiar energii, natomiast warunek (41) wskazuje na to, że równanie Schrödingera dla elektronu związanego ma tylko wtedy rozwiązanie, gdy energia elektronu En jest skwantowana. n = 1, 2, .. Główna liczba kwantowa (44)

Energia elektronu związanego jest skwantowana i przyjmuje wartości ujemne. Najniższy poziom energii (n =1) nazywany jest podstawowym, wszystkie poziomy, dla których n >1 - poziomami wzbudzonymi. W stanie wzbudzonym atom przebywa krótko, rzędu 10-8 s, następnie elektron wraca do swego stanu podstawowego, bezpośrednio, lub poprzez poziomy pośrednie. Nadmiar energii zostaje wypromieniowany w postaci jednego, lub więcej fotonów. Energia emitowanego fotonu (44) Pobranie dużej porcji energii przez atom może spowodować jonizację - oderwanie się elektronu od atomu.

Serie widmowe wodoru (nie pokazano poziomów o n > 6)  E [eV] 5 4 3 Seria Paschena 2 Seria Balmera 1 Seria Lymana