Fale elektromagnetyczne Równania Maxwella przewidują istnienie fal elektromagnetycznych o prędkości rozchodzenia się w próżni: (1)

Równania Maxwella przewidują, że zmienne w czasie pole magnetyczne indukuje wirowe pole elektryczne i na odwrót, zmienne w czasie pole elektryczne indukuje wirowe pole magnetyczne. Każda zmiana w czasie pola elektrycznego wywoła powstanie zmiennego pola magnetycznego, które z kolei wytworzy zmienne pole pole elektryczne. Ciąg wzajemnie sprzężonych pól elektrycznych i magnetycznych stanowi falę elekromagnetyczną. Fale elektromagnetyczne możemy podzielić na stojące (np. wnęka rezonansowa) i bieżące - rozchodzące się wzdłuż linii przesyłowej lub w wolnej przestrzeni.

Obwód LC Przykład powstawania fal elektromagnetycznych. Drganiom wytworzonym w elektrycznym obwodzie LC (cewka, kondensator) towarzyszy okresowa zmiana energii pola elektrycznego kondensatora w energię pola magnetycznego cewki. Jeżeli pominiemy straty na ciepło, to energia drgań w obwodzie pozostanie stała.

Pole B L C Pole E Do generatora drgań Obwód taki przekształcamy w następujący sposób: cewkę redukujemy do prostoliniowego przewodu, okładki kondensatora zmniejszamy, a przewody prostujemy. Pole elektryczne i magnetyczne wypełnia teraz bardzo dużą przestrzeń.

Przekształcanie zamkniętego obwodu drgań w dipol elektryczny Przekształcony obwód ma teraz większą zdolność emitowania energii, stał się obwodem otwartym. Powstały obwód stanowi dipol elektryczny o momencie dipolowym zależnym od czasu. B Do generatora drgań

Jeżeli do prętów dipola doprowadzone zostanie napięcie zmienne, to pręty będą się ładować okresowo ładunkiem dodatnim i ujemnym. Zatem obwód taki staje się oscylującym dipolem elektrycznym emitującym falę elektromagnetyczną we wszystkich kierunkach. Pole elektryczne dipola w czterech chwilach: +q +- - + -q - + t = 0 t = 1/8 T t = 1/4 T t = 3/8 T

Wykres biegunowy natężenia fali emitowanej przez dipol, znajdujący się na osi z. Długość odcinka OP jest proporcjonalna do natężenia fali emitowanej w danym kierunku. z P x O Zmienne napięcie doprowadzone do z generatora powoduje przepływ prądu wzdłuż dipola. Ładunki zbierające się na końcach prętów dipola wytwarzają tam największe napięcia. Drgania elektryczne rozchodzące się wzdłuż dipola dają w wyniku falę stojącą. Fala emitowana przez dipol jest już falą rozchodzącą się w przestrzeni (bieżącą). Fala ta jest spolaryzowana, wektor E jest równoległy do osi dipola, B - prostopadły.

Na podstawie wprowadzonych równań Maxwell wykazał, że wzajemnie sprzężone pola elektryczne i magnetyczne tworzą falę poprzeczną i obliczył prędkość fali. W fali elekromagnetycznej wektory E i B są prostopadłe do siebie i do kierunku rozchodzenia się fali. Dla fali rozchodzącej się wzdłuż osi x zależność natężenia pola B i E od czasu i położenia ma postać następującą: B = Bmsin(kx - t) E = Em sin(kx -  t)  - pulsacja,  = 2 k - liczba falowa (3) (2) (4a) (4)  - długość fali T - okres drgań  - częstotliwość (6) (5)

Płaska fala elektromagnetyczna poruszająca się w dodatnim kierunku osi x dx y     • • • •     h c • • • •     • • • • x z E  z B  y c  x Pola E i B są zgodne w fazach.

Prostokąt o wymiarach h i dx nie porusza się w przestrzeni Prostokąt o wymiarach h i dx nie porusza się w przestrzeni. W miarę przesuwania się fali strumień magnetyczny B będzie się zmieniał, co spowoduje powstanie indukowanych pól elektrycznych. To indukowane pola elektryczne, to składowe elektryczne wytworzonej fali bieżącej. Zastosujmy prawo Faradaya dla obwodu prostokąta o bokach h i dx (pł. xz). (7) (8) Strumień pola magnetycznego przechodzący przez powierzchnię prostokąta (płaszczyzna xz) wynosi: (9) B jest wartością bezwzględną pola w prostokącie

Różniczkowanie po czasie daje (10) Na podstawie prawa Faradaya w postaci (8 ) otrzymujemy (11) stąd (13) (12)

E(x,t) i B(x,t) są znane, więc równanie (13) można zapisać jako (14) czyli (15) ale (16) Oznacza to również, że związek słuszny jest dla dowolnych wielkości pola E i B w danym momencie. (17) Zastosujmy teraz prawo Ampera w postaci: (18)

Całkując to równanie po obwodzie prostokąta o bokach h i dx w płaszczyźnie xy otrzymujemy: (19) Strumień pola elektrycznego przechodzący przez ten prostokąt wynosi: (20) Różniczkując po czasie otrzymujemy: (21) a więc równanie (18 ) można przepisać w postaci (22)

Korzystając z równań (14 ), (22 ) otrzymujemy: (23) stąd (24) Eliminując Em/Bm otrzymamy: c - prędkość światła w teorii elektromagnetyzmu. Maxwell przewidział ten związek przed odkryciem fal radiowych! (1)

Energia niesiona przez falę elektromagnetyczną Wyznaczmy energię fali przechodzącą przez pudełko o objętości sdx, gdzie s jest polem powierzchni podstawy w płaszczyźnie yz. Przyjmujemy h = 1 B y h•h = s c E x z dx

dW = dWE + dWB = (uE + uB)sdx W pewnej chwili energia dW zawarta w pudełku o objętości sdx przenoszona przez falę elektromagnetyczną wynosi dW = dWE + dWB = (uE + uB)sdx (25) uE - gęstość pola E uB - gęstość pola B Energia pola E Energia pola B (26) ale (17) (28)

Zgodnie z (1) oraz Energia przepływająca przez jednostkową powierzchnię w jednostkowym czasie. Energię tę oznaczono następnie przez S i wprowadzono odpowiadający jej wektor przepływu energii zwany wektorem Pointynga (29) (30) (31)

Wielkość S jest wyrażona przez wartości chwilowe, więc jest funkcją czasu. Wektor S jest prostopadły do wektora E i do wektora B. Wektor Pointynga pokazuje kierunek przenoszenia energii. Z trzech wielkości występujących w równaniu (31), jedna ma ściśle określoną wartość: pozostałe c i 0 są mierzalne. Na podstawie równania (1) wykorzystuje się zmierzoną dokładnie wartość prędkości światła c = 2.99792458 • 108 m/s do wyznaczania wartości 0.

Prędkość c, mimo że dotyczy wszystkich fal elektromagnetycznych, nazywa się prędkością światła. W roku 1888 Heinrich Hertz przeprowadził po raz pierwszy eksperyment, w którym były wytwarzane i odbierane fale elektromagnetyczne, dowodząc tym samym ich istnienia i potwierdzając słuszność równań Maxwella.

James Maxwell Maxwell urodził się w 1831 r. w Edynburgu w Szkocji. Był tzw. Cudownym dzieckiem; mając zaledwie piętnaście lat przedstawił pracę naukową w Edinburgh Royal Society. Uczęszczał na uniwersytet w Edynburgu. Stopień naukowy otrzymał na uniwersytecie w Cambridge. Był żonaty, ale nie miał dzieci. Maxwell uważany jest powszechnie za największego fizyka teoretyka w okresie pomiędzy Newtonem i Einsteinem. Jego wspaniała kariera zakończyła się przedwcześnie; zmarł na raka w 1879 r., na krótko przed czterdziestymi ósmymi urodzinami.

Hertz Heinrich Rudolf (1857-1894)

Kwantowe własności promieniowania Ciało doskonale czarne

Z doświadczeń wiadomo, że ciało ogrzane do odpowiednio wysokiej temperatury zaczyna wysyłać promieniowanie widzialne, jak również wiadomo, że ciało ogrzane do temperatury wyższej promieniuje bardziej intensywnie niż ciało o temperaturze niższej. Obserwacje i dokładniejsze pomiary pozwalają na stwierdzenie, że wszystkie ciała emitują promieniowanie elekromagnetyczne, które nazywamy promieniowaniem cieplnym w każdej temperaturze wyższej od zera bezwzględnego T > 0 K. Widmo promieniowania cieplnego jest bardzo szerokie od zakresu radiowego do rentgenowskiego, ale zakres najbardziej intensywny zależy od temperatury. Teoretyczny opis promieniowania cieplnego przeprowadza się dla wyidealizowanego ciała zwanego ciałem doskonale czarnym. Wyobraźmy sobie wnękę wydrążoną w dowolnym ciele, połączoną z otoczeniem niewielkim otworem.

Promieniowanie padające na ten otwór i dostające się do wnęki będzie ulegało wielokrotnemu odbiciu od ścianek wnęki. W wyniku strat zachodzących przy odbiciu, promieniowanie zostanie prawie całkowicie pochłonięte nim wiązka trafi z powrotem do otworu. Model ciała doskonale czarnego

Widmo promieniowania ciała doskonale czarnego 50 T1 > T2 1 < 2 T1 R - jedn. umow-ne 40 30 20 T2 10 1 1 2 2 3 4 5 [μm]  - długość fali

Prawo Wiena Pierwszą teorię ciała doskonale czarnego stworzył Wien. Uważał on, że podobieństwo krzywych rozkładu promieniowania cieplnego do maxwellowskiego rozkładu prędkości cząsteczek gazu wynika stąd, że drgające cząsteczki w gorącym ciele stałym mają rozkład prędkości podobny do rozkładu Maxwella. Prędkościom tym powinny odpowiadać odpowiednie termiczne przyspieszenia cząsteczek. Ponieważ cząsteczki obdarzone są ładunkami elektrycznymi, więc zgodnie z elektrodynamiką klasyczną powinny emitować promieniowanie w trakcie niejednostajnego ruchu. Na podstawie tego Wien dopasował do krzywej doświadczalnej zdolności emisyjnej modelu ciała doskonale czarnego wzór empiryczny (3) na rozkład zdolności emisyjnej względem długości fali , analogiczny do rozkładu Maxwella.

Zdolność emisyjna R zdefiniowana jest jako moc P promieniowania wysyłanego z jednostki powierzchni s ciał w jednostkowym przedziale długości fal . (32) Całkowita zdolność emisyjna R ciała jest to moc promieniowania w całym zakresie długości fal, wysyłanego z jednostki powierzchni ciała. (33) T - temperatura C1 i C2 - odpowiednio pierwsza i druga stała emisyjna Zdolność emisyjna podana przez Wiena ma postać następującą: (34)

Wartości stałych emisyjnych we wzorze Wiena dobrano tak, że aby otrzymać dobrą zgodność w zakresie fal krótkich. W zakresie fal długich obliczone na podstawie wzoru (3) zdolności emisyjne były znacznie mniejsze od wyników doświadczalnych. Wzór Rayleigha-Jeansa Uczeni ci rozpatrywali ciało doskonale czarne w postaci wnęki mającej zwierciadlane ścianki. Wewnątrz takiej wnęki powstają wówczas elektromagnetyczne fale stojące, podobne do fal w strunie lub w rezonatorze akustycznym, w którym obok drgania podstawowego występuje szereg wyższych harmonicznych. Rayleigh i Jeans otrzymali związek na liczbę fal powstałych w jednostce objętości wnęki w zakresie długości fal od  do  + d o postaci:

(35) Każdej z tych fal można przypisać dwa stopnie swobody i każdemu z nich przypisać energię kT/2, co oznacza, że każdej fali odpowiada całkowita energia kT. Mnożąc liczbę fal przypadających na jednostkę objętości przez kT otrzymamy wzór Rayleigha-Jeansa: gdzie k jest stałą Boltzmanna (36) Wzór ten jest zgodny z fizyką klasyczną, ale w zakresie fal krótkich dawał wyniki absurdalne, niezgodne z danymi doświadczalnymi.

Prawo Plancka Max Planck (1900) zwrócił uwagę, że gdyby wzór Wiena zmienić w prosty sposób, dawałby wyniki zgodne z doświadczeniem. Planck założył, że atomy ścian wnęki (ciąła doskonale czarnego) zachowują się jak oscylatory elektromagnetyczne, z których każdy ma charakterystyczną częstotliwość drgań. Atomy te emitują do wnęki i absorbują z niej energię elektromagnetyczną. Własności powstałego promieniowania we wnęce wynikają z własności oscylatorów, z którymi wnęka jest w równowadze. Planck przyjął dwa istotne założenia:

1. Oscylator nie może mieć dowolnej energii, lecz tylko energie dane wzorem: E = nh (37) gdzie  oznacza częstotliwość oscylatora, h - stała (zwana obecnie stałą Plancka, n - pewna liczba (liczba kwantowa), która może przybierać tylko całkowite wartości. Z równania tego wynika, że energia oscylatorów musi być skwantowana. Późniejsze odkrycia pokazały, że poprawny wzór na energię oscylatora harmonicznego ma postać: (38)

2. Oscylatory nie wypromieniowują energii w sposób ciągły, lecz skokami czyli kwantami. Kwanty energii są emitowane, kiedy oscylator przechodzi z jednego do drugiego stanu energetycznego. Jeżeli n zmienia się o jedność w równaniu (6), wypromieniowana zostaje ilość energii dana wzorem: E =  nh = h (39) Dopóki oscylator pozostaje w jednym ze swoich stanów kwantowych, zwanych stacjonarnymi, dopóty nie emituje ani nie absorbuje. Przy takich założeniach widmowa zdolność emisyjna ciała doskonale czarnego, podana przez Plancka ma postać (40)

Po scałkowaniu R względem  otrzymujemy wyrażenie na zdolność emisyjną ciała doskonale czarnego (41) Związek ( ) zapisuje się często w postaci (42) Przy czym  = 5.67 • 10-8 W/m2 •K4. Jest to prawo Stefana-Boltzmanna, które mówi, że Całkowita zdolność emisyjna ciała doskonale czarnego jest proporcjonalna do czwartej potęgi jego temperatury bezwzględnej

Dla dowolnego ciała rzeczywistego emisja promieniowania ma mniejszą wartość i można wyrazić ją wzorem (43) gdzie A oznacza zdolność absorpcyjną ciała. Dla ciała doskonale czarnego A = 1, dla ciał rzeczywistych 0<A<1. Ciała doskonale odbijające A = 0. Widmowa zdolność emisji R ma wartość maksymalną dla pewnej długości fali max, którą możemy obliczyć z warunku: Różniczkując to wyrażenie dochodzimy do zależności: (44)

(45) gdzie b = 2898 • 10-6 m • K Wzór ten nazywa się prawem przesunięć Wiena: Ze wzrostem temperatury maksimum promieniowania ciała doskonale czarnego przesuwa się w stronę fal krótszych. Efekt taki obserwujemy jako zmianę barwy ciała, które ogrzewamy do wysokiej temperatury. Prawo przesunięć może być też wyprowadzone z wzoru (34). Stała Plancka, wprowadzona w modelu ciała doskonale czarnego, wyznaczona jest na podstawie efektu fotoelektrycznego, potwierdzającego kwantową naturę promieniowania. Wynosi ona: h = 6.625 • 10-34 J • s

Doświadczalne dowody kwantowej natury promieniowania Efekt fotoelektryczny: a) zewnętrzny, b) wewnętrzny

Zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne polega na wybijaniu elektronów z powierzchni ciała stałego przez promieniowanie. Zjawisko obserwowane jest w układzie zawierającym bańkę próżniową z dwiema elektrodami. W obwodzie zewnętrznym znajduje się źródło zasilania, miernik prądu i miernik napięcia. Pod wpływem padającego na katodę promieniowania można zaobserwować przepływ prądu. Analiza zjawiska fotoelektrycznego obejmuje badanie zależności natężenia od napięcia oraz wpływu częstotliwości na przebieg zjawiska fotoelektrycznego. W zakresie napięć hamujących przepływ prądu tylko te elektrony docierają do anody, których energia kinetyczna jest większa od energii pola elektrycznego. Przy pewnej wartości pola prąd zanika, odpowiadające temu napięcie Uh nazywamy napięciem hamującym. Możemy zauważyć że maksymalna energia elektronów równa jest energii hamującego pola.

+ - Ekmax = e Uh (46) a I b Różnica potencjałów V [V] Różnica potencjałów V [V] Prąd fotoelektryczny I w zależności od różnicy potencjałów V. Krzywą b otrzymano przy mniejszym natężeniu światła niż w przypadku krzywej a. Energia kwantów jednakowa.

Jeżeli pole przyspiesza elektrony, wówczas obserwujemy najpierw wzrost prądu, a następnie jego nasycenie ograniczone zdolnością emisyjną katody. h I Układ do badania fotoprądu I w funkcji różnicy potencjałów V V Wyjaśnienie własności zjawiska fotoelektrycznego jest możliwe na podstawie kwantowej teorii światła. Zgodnie z nią energia fotonu padającego na powierzchnię ciała stałego zostaje pochłonięta przez elektron.

Część tej energii zostaje zużyta na oderwanie się od elektronu od powierzchni, pozostałą część elektron zachowuje w postaci energii kinetycznej. Stosując zasadę zachowania energii możemy napisać: (47) h =  + Ekmax równanie Einsteina dla zjawiska fotoelektrycznego. Energia kwantu Praca wyjścia Energia kinetyczna Wpływ częstotliwości światła na przebieg zjawiska fotoelektrycznego wyraża się zależnością napięcia hamującego Vh od częstotliwości światła. Istnieje pewna częstotliwość progowa 0 poniżej której zjawisko fotoelektryczne nie zachodzi.

h 0 =  Częstotliwości progowej 0 odpowiada Ekmax = 0. Zatem (48) Energia kwantu Praca wyjścia W przypadku (48) foton ma tylko tyle energii, ile potrzeba do wyjścia elektronu na zewnątrz z zerową energią kinetyczną. Jeżeli h > , to wybite elektrony mają energię kinetyczną, która pozwala im dotrzeć do anody, a jeżeli ta energia jest wystarczająca, mogą pokonać potencjał hamujący. Odkrycie zjawiska fotoelektrycznego pozwoliło na zbudowanie fotokomórki.

Albert Einstein (1879 – 1947) Albert Einstein – jeden z największych fizyków-teoretyków XX wieku, twórca ogólnej teorii względnościi, współtwórca korpuskularno-falowej teorii światła, odkrywca emisji wymuszonej. Laureat nagrody Nobla za wyjaśnienie efektu fotoelektrycznego. Opublikował ponad 450 prac, w tym ponad 300 naukowych. Wniósł też swój wkład do rozwoju filozofii nauki.

Zjawisko Comptona Zjawisko Comptona polega na zderzeniu kwantu promieniowania z elektronem słabo związanym z atomem. Elektron taki traktujemy jako swobodną cząstkę, a samo oddziaływanie kwantu z elektronem traktujemy jako zderzenie sprężyste. Zderzenie to musi podlegać prawu zachowania energii i prawu zachowania pędu. Przed zderzeniem elektron ma tylko energię spoczynkową m0c2, a kwant enegię h0 i pęd pf0 równy (49) Po zderzeniu foton zostaje odrzucony w bok, tworząc kąt  z pierwotnym swoim kierunkiem, natomiast elektron uzyskuje pęd pe = mv i porusza się pod kątem .

Wektorowy wykres prawa zachowania pędu w zjawisku Comptona AB2 = OB2 + OA2 - 2OB • OAcos (50) A pf pf0   O B pe Zapisujemy prawo zachowania energii i prawo zachowania pędu dla zderzenia comptonowskiego.

Prawo zachowania energii (51) Prawo zachowania pędu (52) Na podstawie związków między bokami trójkąta OAB można napisać: (53) lub (54)

Z równania (51) znajdujemy (55) skąd (56) Odejmując od tego związku wyrażenie (53) znajdujemy (57) ale (58)

Wobec tego znajdujemy (59) a następnie (60) Wykorzystujemy związki między prędkością c, długością fali -  i częstotliwością -  , indeks „0” oznacza wartości przed zderzeniem (61) (62)

Wobec tego mamy wzór na zmianę długości fali w zjawisku Comptona. (63) lub (64) (65) Zwykle oznaczamy: W zjawisku Comptona obserwujemy fotony rozproszone pod różnymi kątami. Zmiana długości fali, a co za tym idzie zmiana energii fotonu zależy od kąta rozproszenia. Od kąta zależy też energia elektronów, które brały udział w zderzeniu.

Ilustracja zjawiska Comtona  e- ’

Ilustracja wewnętrznego zjawiska fotoelektrycznego 

Ilustracja zjawiska tworzenia się par elektron - pozyton  e+

Widmo kobaltu 60Co Spektrometr scyntylacyjny Zjawisko Comptona h > 2m0c2 1.17 MeV 1.33 MeV Zjawisko fotoelektryczne

Widmo cezu 137Cs Spektrometr scyntylacyjny 0.66 MeV h < 2m0c2 Zjawisko Comptona Zjawisko fotoelektryczne