Elekrostatyka Podstawowe pojęcia i prawa: ładunek, siła, natężenie pola, energia potencjalna, potencjał, prawo Coulomba, prawo Gaussa

Zasada zachowania ładunku Istnienie ładunków elektrycznych stwierdzono doświadczalnie. Zasada zachowania ładunku Całkowity ładunek układu odosobnionego jest stały. Jednostka w układzie SI 1 C = 1A•1s ładunek przenoszony przez prąd o natężeniu 1A w czasie 1 s. Ładunek elementarny (ziarnistość ładunku) 1e = 1.603 •10-19 C Prawo Coulomba F21 - siła jaką ładunek q1 działa na ładunek q2 r21 - wektor łączący ładunek q1 z ładunkiem q2 (1)

Przenikalność elektryczna próżni: Oddziaływanie ładunków ze sobą świadczy o istnieniu pola, które charakteryzujemy wektorem natężenia pola E, będącym stosunkiem siły F działającej na próbny ładunek dodatni q do wielkości tego ładunku. (2) Ładunek q1 wytwarza pole w otaczającej go przestrzeni, pole oddziałuje na ładunek q2 , przejawia się to jako siła, której działanie doznaje ładunek. Sytuacja symetryczna - każdy ładunek znajduje się w polu wytworzonym przez drugi ładunek. ładunek  pole  ładunek

Siły elektrostatyczne działają wzdłuż linii sił pola elektrostatycznego. Zależność pomiędzy liniami sił a wektorem natężenia pola elektrycznego jest następująca: 1. Styczna do linii sił w dowolnym punkcie wyznacza kierunek pola E w tym punkcie. 2. Linie sił wykreśla się tak, że liczba linii na jednostkę powierzchni przekroju jest proporcjonalna do wielkości pola E. a) b) - + Linie sił pola elektrycznego wytworzonego przez a) dodatnio naładowaną kulę, b) - ujemnie naładowaną.

- + b) a) - - Rozkład pola elektrycznego wokół a) ładunków różnoimiennych, b) - jednoimiennych Znajdowanie pola elektrycznego w danym punkcie: obliczanie pola elektrycznego En pochodzącego od każdego ładunku, a następnie wektorowe dodawanie natężeń pola w celu znalezienia wypadkowego pola E. E = E1 + E2 + E3 ....= En n = 1, 2, 3,.......

Prawo Gaussa 0E = q (3) Strumień pola elektrycznego przechodzącego przez powierzchnię Gaussa Całkowity ładunek zamknięty wewnątrz powierzchni Gaussa Pole elektrostatyczne jest polem źródłowym.

S dS dS S - powierzchnia Gaussa dS  S, w każdym punkcie powierzchni q3 q2 dS q1 Linia pola E dS dS q4 S (4) Def. Strumienia pola E:

Prawo Gaussa Strumień pola elektrycznego E przechodzący przez powierzchnię zamkniętą, zwaną powierzchnią Gaussa, obejmującą wewnątrz ładunki jest proporcjonalny do sumy tych ładunków. Współczynnikiem proporcjonalności jest przenikalność elektryczna próżni 0. Postać całkowa tego prawa może też być zapisane w sposób następujący: (3a)

Związek prawa Gaussa z prawem Coulomba. dS jest wektorem, którego wartość jest równa powierzchni bardzo małego elementu powierzchni Gaussa, q jest sumą wszystkich ładunków wewnątrz tej powierzchni. Związek prawa Gaussa z prawem Coulomba. r E Pojedynczy ładunek q umieszczamy wewnątrz powierzchni Gaussa. q dS

Dla przypadku pokazanym na rysunku: (5) Pole E jest stałe na powierzchni kuli, więc (6) gdzie całka równa jest powierzchni kuli (7) stąd (8)

Umieśćmy drugi ładunek punktowy q0 w punkcie, w którym wyznaczyliśmy E Umieśćmy drugi ładunek punktowy q0 w punkcie, w którym wyznaczyliśmy E. Wielkość siły działającej na q0 wynosi: (9) F = E q0 (10) co oznacza, że otrzymujemy prawo Coulomba.

Potencjał elektryczny Pole elektryczne wokół ładunków można opisać za pomocą wektora pola E oraz za pomocą pewnej funkcji skalarnej zwanej potencjałem. Aby wyznaczyć różnicę potencjałów między punktami A i B, przesuwamy ładunek próbny q0 z A do B, mierząc pracę WAB. Praca ta może być dodatnia, ujemna, lub równa zeru (11)

Jednostką potencjału jest 1V (wolt) Zwykle punkt A wybiera się w dużej odległości od innych i przyjmuje potencjał za równy zeru. Wtedy można opuścić wskaźniki i napisać (12) Jeżeli chcemy znaleźć pracę WAB, to korzystamy z podstawowej zależności (siła F pomnożona skalarnie przez przesunięcie dl) (13)

• B • A F E dl Ładunek próbny przesuwa się od punktu A do B w jednorodnym polu elektrycznym o natężeniu E pod wpływem zewnętrznej siły F, gdzie F = - q0E.

Następnie otrzymujemy (14) Jeżeli punkt A leży w nieskończoności i potencjał w nieskończoności jest równy zeru, to potencjał V w punkcie B jest równy: (15)

Potencjał od ładunku punktowego Obliczmy różnicę potencjałów miedzy punktami A i B przyjmując, że ładunek q przesuwany jest ruchem jednostajnym wzdłuż linii radialnej z punktu A do B. Jeżeli kierunek ruchu jest przeciwny do kierunku pola, to E•dl = Ecos1800dl = - Edl. Jeżeli jeszcze przesuw jest taki, że dl = - dr, to Edl = Edr.

A q0 • dl B • q F E Ładunek próbny q0 porusza się pod wpływem zewnętrznej siły F od punktu A do B w polu elektrycznym wytworzonym przez ładunek q.

Edl = Ecos1800dl = - Edl. Wstawiając to do równania (14) i korzystając z (8 ) otrzymujemy (16) (17)

Przyjmując, że punkt A leży w nieskończoności, VA = 0 i opuszczając wskaźnik B otrzymujemy potencjał ładunku punktowego (18) Potencjał pochodzący od układu ładunków otrzymujemy obliczając kolejne potencjały Vn i następnie sumując otrzymane wartości. (19) gdzie (20)

Potencjalna energia elektrostatyczna Chcąc zwiększyć odległość dwóch jednoimiennych ładunków elektrycznych q1 i q2 musimy wykonać z zewnątrz pracę dodatnią. q1 q2 r12 Wykonana praca zostaje zmagazynowana w układzie ładunków i stanowi energię potencjalną.

Jeżeli przesuniemy q2 do nieskończoności, to potencjał elektryczny wytworzony przez ładunek q1 w punkcie w którym znajduje się ładunek q2 jest następujący: Do przeniesienia ładunku q2 z nieskończoności do pierwotnego położenia potrzebna jest praca W: Stąd wynika, że praca równa energii potencjalnej U wynosi (21) (22)

m b  M s Przykład Proton zbliża się do jądra o dużej masie M i ładunku ze. W odległości nieskończenie wielkiej energia protonu jest równa 0.5Mv2, v <<c (c - prędkość światła). Tor ekstrapolowany liniowo od dużych odległości do małych przechodzi przez minimum odległości b od cząstki ciężkiej, tak jak na rysunku. Jaka jest odległość największego zbliżenia s dla rzeczywistej orbity? Przyjąć, że masa ciężkiego jądra M = 207 m, aby pominąć energię odrzutu.

m = 1.67 • 10-27 kg M = 344.02 • 10-27 kg Z = 82 e = 1.6 • 10-19 C G = 6.67 • 10-11 N • m2 • kg-2 Siły zewnętrzne nie działają, spełnione jest prawo zachowania energii i prawo zachowania momentu pędu. Proton znajdzie się w polu grawitacyjnym jądra oraz polu elektrostatycznym. Które z tych pól w sposób istotny wpłynie na jego tor?

Prawo zachowania energii po uwzględnianiu pola grawitacyjnego v – początkowa prędkość protonu s – odległość największego zbliżenia vS = prędkość w tej odległości Prawo zachowania energii po uwzględnianiu pola elektrostatycznego

Porównajmy energie potencjalne Porównajmy energie potencjalne. Wystarczy porównać współczynniki przy 1/s. Energia elektrostatyczna jest 1037 razy większa. Oddziaływanie grawitacyjne można pominąć. Należy też zauważyć, że różne są znaki energii potencjalnych dla tego przypadku.

Na podstawie prawa zachowania momentu pędu otrzymujemy równanie stąd Wstawiamy do równania prawa zachowania energii Mnożymy przez s, otrzymujemy

Obliczanie pojemności, kondensatory Kondensator tworzą dwa całkowicie odizolowane od otoczenia przewodniki o równych, lecz różnoimiennych ładunkach. Jeżeli między tymi przewodnikami istnieje różnica  V, to współczynnik proporcjonalności między wartością ładunku q i  V nazywamy pojemnością. Q Q = CV (23) C = (23a) V

Przekrój prostopadłościanu, który tworzy powierzchnię Gaussa Przykład 1 Wyznaczyć pojemność kondensatora płaskiego o powierzchni okładek S i d - odległości okładek. Korzystając z prawa Gaussa wyznaczamy natężenie pola elektrycznego E, następnie różnicę potencjałów między okładkami kondensatora. y 0 E = 0 ES = Q (24) S -Q d Pole E (25) S +Q Przekrój prostopadłościanu, który tworzy powierzchnię Gaussa

(26) (27) Przykład 2 Wyznaczyć pojemność kondensatora cylindrycznego o długości l i promieniach okładek a, b, c. Zakładamy, że kondensator jest bardzo długi l >> c. Za powierzchnię Gaussa przyjmujemy cylinder o promieniu r, długości l, umieszczony współosiowo z cylindrami, które tworzą kondensator. Uwaga! Dobór powierzchni Gaussa ma na celu ułatwienie obliczeń.

Ładunek + Q i - Q jest równomiernie rozłożony na powierzchni. Przez powierzchnię boczną walca o promieniu r przechodzi niezerowy strumień pola E, przez podstawy - zerowy. Stąd c E (3a) b r Przekrój przez powierzchnię Gaussa a - Q + Q (25) (28) (29)

(30) Podobnie jak w przykładzie 1, pojemność kondensatora zależy tylko od wymiarów geometrycznych (a, b, l) oraz przenikalności elektrycznej próżni. (31) Na podstawie prawa Gaussa można również wykazać, że pole elektryczne wewnątrz walca , dla r < a jest równe zeru, bo ładunki kondensatora znajdują się na powierzchniach walca. Natomiast na zewnątrz kondensatora, dla r > c, pole znika, bo całkowity ładunek zamknięty wewnątrz powierzchni Gaussa +Q - Q = 0

Energia pola elektrycznego Wszystkie układy ładunków mają pewną elektryczną energię potencjalną U, równą pracy W, która musi być dostarczona na utworzenie ich z pojedynczych ładunków. Aby rozdzielić dwa różnoimienne ładunki trzeba wykonać pracę. Praca ta jest zmagazynowana w układzie i może być zwrócona, jeżeli pozwolimy na ponowne zbliżenie ładunków. W przypadku kondensatorów możemy sobie wyobrazić, że jakiś czynnik zewnętrzny wyciąga elektrony z okładki dodatniej i przesuwa je na elektrodę ujemną. Potrzebna do tego energia pochodzi ze źródła (bateria lub zasilacz) dołączonego do kondensatora (magazyn energii).

Opis procesu magazynowania energii W czasie t z jednej okładki na drugą został przeniesiony ładunek q’(t). Różnica potencjałów po czasie t wynosi V(t). Aby przenieść dodatkową ilość ładunków dq’ trzeba wykonać dodatkową pracę dW. (32) Jeżeli proces będzie trwał tak długo, aż przeniesiony zostanie cały ładunek Q, to całkowita praca wyniesie wówczas (33)

Na podstawie zależności Q = CV możemy również napisać: Wzór słuszny dla dowolnego kondensatora (34) W kondensatorze płaskim natężenie pola ma we w wszystkich punktach taką samą wartość. Wobec tego gęstość energii u, musi też być stała i dla kondensatora płaskiego próżniowego o wymiarach S i d wynosi: (35)

Dielektryki Prawo Gaussa dla dielektryków + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Kondensator płaski bez dielektryka i z dielektrykiem

Dielektryki są ciałami, które nie przenoszą ładunków elektrycznych Dielektryki są ciałami, które nie przenoszą ładunków elektrycznych. Natomiast zewnętrzne pole elektryczne powoduje niewielkie przesunięcie ładunków. Cząsteczki niektórych dielektryków mają trwały moment dipolowy (dielektryki polarne), zewnętrzne pole działa na dipole i powoduje uporządkowanie tych dipoli. W dielektrykach niepolarnych moment dipolowy może pojawić się po umieszczeniu dielektryka w polu elektrycznym przez indukcję. + + + + - - - - - + - + - + + - + - + - - + - + - + - +- + - + - +- + - + - + + - - + + + - - + - - + - + E’ E E0 = 0 E0 E0 E0 - pole elektryczne zewnętrzne, E’ - pole wytworzone przez ładunki powierzchniowe, E - pole wypadkowe.

Umieszczenie dielektryka w polu elektrycznym kondensatora powoduje oddziaływanie pola z ładunkami dielektryka, zmiany natężenia tego pola, różnicy potencjałów i pojemności kondensatora. Do opisu zjawisk nie wystarcza tylko jeden wektor natężenia pola, stosuje się więc jeszcze wektor indukcji elektrostatycznej D i wektor polaryzacji P. Pole elektryczne Indukcja elektrostatyczna Polaryzacja + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + + + + _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ D P 0E

D = 0E + P E - jest wektorem pola elektrycznego. D - wektor indukcji elektrycznej (wektor przesunięcia), linie indukcji łączą ładunki elektryczne swobodne P - polaryzacja, wektor równy indukowanemu elektrycznemu momentowi dipolowemu na jednostkę objętości D = 0E + P (36)

Jeżeli dielektryk umieszczony jest w w polu elektrycznym, to pojawiają się indukowane ładunki powierzchniowe, które prowadzą do osłabienia pierwotnego pola wewnątrz dielektryka. To osłabienie pola elektrycznego ujawnia się w postaci zmniejszenia różnicy potencjałów. Zgodnie ze wzorem (26), zachowane będą zależności między natężeniem pola kondensatora bez dielektryka E0 i z dielektrykiem E oraz różnicą potencjałów kondensatora płaskiego V0 bez dielektryka i z dielektrykiem. =  (37) V < V0 V0 + + _ _ V + + _ _

Jeżeli wprowadzamy płytkę dielektryczną do kondensatora naładowanego, to pojawia się siła wciągająca płytkę do wnętrza, związane jest to też ze stratą energii kondensatora. Zastosujmy teraz prawo Gaussa do kondensatora z dielektrykiem. + + + + + + + + + + Powierzchnia Gaussa (przekrój prostopadłościanu) obejmująca ładunki swobodne na okładce i indukowane w dielektryku. - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - Gdy w kondensatorze nie ma dielektryka, to zgodnie z (3)

Natężenie pola wówczas wynosi Po wprowadzeniu dielektryka, pojawia się ładunek indukowany i zaznaczona na rysunku powierzchnia Gaussa obejmuje ładunki swobodne q i indukowane q’, (36) natężenie pola E wtedy (37) Równanie (37) wiąże natężenie pola E0 z E

(38) Wstawiając to do równania (37) otrzymujemy (39) i (40) Jeżeli uwzględnimy to w prawie Gaussa o postaci (3a), otrzymamy inną jego postać, opisującą kondensatory z dielektrykami. (41)

Prawo Gaussa dla dielektryków 0E = D Wektor indukcji elektrostatycznej (42) (43) Prawo Gaussa dla dielektryków Strumień indukcji elektrostatycznej D przechodzący przez powierzchnię zamkniętą, zwaną powierzchnią Gaussa, obejmującą wewnątrz ładunki swobodne równy jest sumie tych ładunków. Tak sformułowane prawo Gaussa uwzględnia już tylko sumę ładunków swobodnych na okładkach kondensatora oraz związany z nimi strumień D wektora indukcji elektrostatycznej D.

Przykład 3. Płaski kondensator powietrzny został naładowany do różnicy potencjałów V0 i odłączony od źródła zasilania. Powierzchnia płyt tego kondensatora wynosi S, a odległość między nimi d. Pomiędzy okładki wsunięto następnie dielektryk o stałej dielektrycznej , tak że połowa przestrzeni między nimi jest wypełniona. C C0 V0 0 d   0 S Znaleźć pojemność kondensatora po wsunięciu dielektryka i zmianę energii elektrostatycznej W. Co się stało z jej ubytkiem?

Po odłączeniu kondensatora od źródła zasilania, ładunek zgromadzony na okładkach pozostanie nie zmieniony. Q = C0V0 gdzie C0 jest pojemnością kondensatora bez dielektryka. Można to zapisać również jako (a) Różnica potencjałów między okładkami zmniejszy się po wsunięciu dielektryka, ale w obu częściach kondensatora będzie taka sama, co oznacza, że E1d = E2d i E1 = E2 . E1 i E2 - są to natężenia pola w kondensatorze, odpowiednio w części bez dielektryka i z dielektrykiem. Na podstawie prawa Gaussa możemy zapisać związek między między natężeniem pola E1 i E2 a powierzchniową gęstością ładunków 1, 2, również dla obu części kondensatora.

(b) (c) Na podstawie równań a, b i c, dostajemy układ równań: (d) Z układu tego wyliczamy gęstości powierzchniowe ładunków 1, 2 .

Wsunięcie dielektryka spowodowało przesunięcie ładunków na okładkach kondensatora. Następnie obliczamy różnicę potencjałów V kondensatora po wsunięciu dielektryka. (d)

Ubytek energii zużywany jest na polaryzację wsuwanego dielektryka. Pojemność kondensatora C możemy obliczyć traktując go jako dwa równolegle połączone kondensatory - C1 i C2. (e) Energia kondensatora W wynosi Na tej podstawie obliczamy zmianę energii kondensatora (f) Ubytek energii zużywany jest na polaryzację wsuwanego dielektryka.