Metody badania stabilności Lapunowa Stabilność II Metody badania stabilności Lapunowa Interesuje nas w sposób szczególny system: Wprowadzamy dla niego pojęcia: - stabilności wewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu przy zerowym wejściu, czyli związane jest z jednorodnym równaniem stanu, którego rozwiązanie zależy wyłącznie od warunku początkowego - stabilności zewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu w ujeciu wejście - wyjście

Rozpoczniemy od ogólniejszego przypadku

Definicja SII.1. Stan równowagi systemu jest  Stabilny, jeżeli dla danego dowolnego istnieje odpowiednia taka, że  Niestabilny, jeżeli nie jest stabilny  Asymptotycznie stabilny, jeżeli jest on stabilny i można wybrać taką, że W szczególności, dla danego dowolnego istnieje chwila czasowa dla której odpowiadająca jej trajektoria spełnia  Globalnie asymptotycznie stabilny, jeżeli jest on stabilny i dla dowolnego stanu początkowego zachodzi W szczególności, dla danego dowolnego oraz istnieje chwila czasowa taka, że

 Ekspotencjalnie stabilny, jeżeli istnieją dodatnie stałe oraz takie, że  Globalnie ekspotencjalnie stabilny, jeżeli istnieją dodatnie stałe oraz takie, że dla wszystkich warunków początkowych zachodzi globalna asymptotyczna stabilność asymptotyczna stabilność niestabilność stabilność

Przykład 1: Dla dowolnego punktu początkowego trajektoria stanu która zbiega do w czasie Globalna asymptotyczna stabilność, bo dla dowolnego punktu początkowego Ale nie ekspotencjalna stabilność !

Dla przypadku punkt jest punktem równowagi

Definicja SII.2. Stan równowagi systemu jest  Stabilny, jeżeli istnieje skończona dodatnia stała taka, że dla dowolnego stanu początkowego dla odpowiadającej mu trajektorii stanu, zachodzi  Niestabilny, jeżeli nie jest stabilny  (Globalnie) asymptotycznie stabilny, jeżeli dla dowolnego istnieje takie, że dla dowolnego stanu początkowego dla odpowiadającej mu trajektorii stanu zachodzi  (Globalnie) ekspotencjalnie stabilny, jeżeli istnieją dodatnie stałe oraz takie, że dla wszystkich warunków początkowych , dla odpowiadających im trajektorii stanu zachodzi

Twierdzenie SII.1. Stan równowagi systemu jest  Stabilny, wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wartości własne macierzy mają niedodatnie części rzeczywiste i geometryczna krotność którejkolwiek wartości własnej mającej zerową część rzeczywistą jest równa jej krotności algebraicznej  (Globalnie) asymptotycznie stabilny, wtedy i tylko wtedy, gdy każda wartość własna macierzy ma ujemną część rzeczywistą

Analiza energetyczna stabilności Przykład 2: system mechaniczny Model systemu wejście - wyjście: Model przestrzeni stanu: Naturalny wybór zmiennych stanu: przemieszczenie masy , prędkość przemieszczania masy

Model przestrzeni stanu: Stąd Podstawiając do modelu we - wy Postać równań stanu modelu przestrzeni stanu

Postać równania wyjścia modelu przestrzeni stanu Wejście systemu Postać macierzowa: Różniczkowe równanie stanu Algebraiczne równanie wyjścia

System drugiego rzędu, jedno wejście, jedno wyjście m = p = 1, n = 2 Rozważmy stabilność wewnętrzną – zerowe wejście Jednorodne równanie różniczkowe

Zmienne stanu przykładu związane z energią układu x1 – energia potencjalna zgromadzona w sprężynie (przemieszczenie) x2 – energia kinetyczna poruszającej się masy (prędkość) Całkowita energia systemu Właściwości:  całkowita energia systemu jest dodatnia we wszystkich punktach przestrzeni stanu takich, że  całkowita energia systemu osiąga minimum równe zero w stanie równowagi

Dla zerowej wartości współczynnika tłumienia mamy Dla oceny wartości funkcji energii wzdłuż trajektorii stanu systemu policzmy pochodną po czasie Przypadek 1: Dla zerowej wartości współczynnika tłumienia mamy - całkowita energia systemu pozostaje stała wzdłuż dowolnej trajektorii Wniosek: ma miejsce wieczysta przemiana energii potencjalnej zgromadzonej w sprężynie i kinetycznej zgromadzonej w poruszającej się masie

To pokazuje, że dla tego przypadku stan jest stabilnym stanem równowagi Zachodzą następujące nierówności co wskazuje, że istnieje ograniczenie na normę trajektorii wskazujące na sposób doboru stałej  z Definicji stabilności SII.2

Wyniki symulacji: Wartości własne Parametry - zerowa część rzeczywista - różne (zespolone sprzężone) = krotność algebraiczna równa krotności geometrycznej Warunek początkowy Zmienne stanu

Energia całkowita systemu

Przypadek 2: Jednorodne równanie stanu - przemieszczenie - prędkość Punkt równowagi Wniosek: Zdążanie energii całkowitej systemu do zera, dla dowolnej trajektorii stanu, przy czasie zdążającym do nieskończoności powinno odpowiadać asymptotycznej zbieżności tej trajektorii do stanu równowagi

Zdążanie energii całkowitej systemu do zera oznacza, że dla dowolnego istnieje , że dla Wykorzystując uprzednio ustalone granice dla co potwierdza, że asymptotycznie stabilnym stanem równowagi

Wyniki symulacji: Wartości własne Parametry - ujemna część rzeczywista - różne (zespolone sprzężone) = krotność algebraiczna równa krotności geometrycznej Warunek początkowy Zmienne stanu

Energia całkowita systemu

Przypadek 3: Zwiększanie się energii całkowitej systemu wzdłuż jakiejkolwiek trajektorii dla której prędkość masy nie jest tożsamościowo równa zeru Zwiększanie się energii całkowitej systemu wzdłuż jakiejkolwiek trajektorii różnej od Jednorodne równanie stanu - przemieszczenie - prędkość Punkt równowagi Wniosek: Zwiększanie się energii całkowitej systemu dla dowolnej trajektorii stanu dla dowolnego stanu początkowego różnego od stanu równowagi powoduje, że trajektoria ta oddala się nieskończenie od stanu równowagi przy czasie zdążającym do nieskończoności

Wyniki symulacji: Wartości własne Parametry - dodatnia część rzeczywista - różne (zespolone sprzężone) = krotność algebraiczna równa krotności geometrycznej Warunek początkowy Zmienne stanu

Energia całkowita systemu

Wniosek z przykładu: stabilność punktu równowagi może być określona bezpośrednio z w oparciu o pochodną po czasie funkcji energii całkowitej systemu liczoną wzdłuż trajektorii stanu systemu Obliczanie tej pochodnej po czasie może być interpretowane jako liczenie następującej funkcji zmiennych stanu której wartość liczona wzdłuż trajektorii stanu systemu równa się

Analiza stabilności Lapunova Źródła: spostrzeżenie, że wnioski na temat stabilności stanu równowagi mogą być wyciągnięte z analizy tzw. funkcji energetycznej systemu Dla systemu rozważana jest funkcja rzeczywista posiadająca ciągłe pochodne cząstkowe względem każdej ze zmiennych stanu i która jest dodatnio określona, tzn.:

Dla analizy pochodnej czasowej funkcji wzdłuż trajektorii stanu systemu definiuje się

Twierdzenie bezpośredniej metody Lapunova Twierdzenie SII.2. Stan równowagi systemu jest  Stabilny, jeżeli ujemnie półokreślona; to znaczy dla wszystkich trajektorii w otoczeniu  Asymptotycznie stabilny, jeżeli ujemnie określona; to znaczy dla wszystkich trajektorii w otoczeniu

Nas interesuje szczególnie asymptotyczna stabilność Dla niej, podsumowując możemy podać twierdzenie Twierdzenie SII.3. Stan równowagi systemu jest  Asymptotycznie stabilny, jeżeli istnieje funkcja Lapunova taka, że pozostaje słuszne w otoczeniu

Przykład 3: system nieliniowy Rozważamy system Propozycja funkcji Lapunova Zachodzi oczywiście Policzymy

Zatem jest słuszne dla dowolnego otoczenia Stan jest globalnie asymptotycznie stabilny Przykład 4: system nieliniowy Rozważamy system Propozycja funkcji Lapunova

Zachodzi oczywiście Policzymy Zachodzi oczywiście Ponadto dla otoczenia punktu równowagi Zachodzi Stan jest lokalnie asymptotycznie stabilny

Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę