Wykład 9 7. Pojemność elektryczna 7.1 Pole nieskończonej naładowanej warstwy -ładunek powierzchniowy z + S2 E2 E1 y dS1 dS2 S1 x 18 marca 2003 Reinhard Kulessa

Zgodnie z prawem Gaussa całkowity strumień jest równy Natężenie pola elektrycznego pochodzące od nieskończonej naładowanej warstwy możemy wyznaczyć dwoma sposobami, metodą superpozycji, oraz w oparciu o prawo Gaussa. Zgodnie z prawem Gaussa całkowity strumień jest równy Linie natężenia pola elektrycznego są prostopadłe do naładowanej płaszczyzny, wobec tego całkowity strumień wynosi: Widzimy z rysunku, że Całkowity strumień jest więc równy: 18 marca 2003 Reinhard Kulessa

Pole pochodzące od tej warstwy wygląda następująco: Czyli: Pole pochodzące od tej warstwy wygląda następująco: z y 18 marca 2003 Reinhard Kulessa

7.2 Pole między dwoma nałądowanymi warstwami + i - Zastanówmy się jaka jest wartość pola pomiędzy dwoma przeciwnie naładowanymi warstwami. - + y 18 marca 2003 Reinhard Kulessa

Układ taki nazywamy kondensatorem płaskim. 7.3 Kondensator płaski Zajmijmy się układem dwóch płasko-równoległych przewodników (elektrod) o powierzchni S położonych w odległości d od siebie. Elektrody są naładowane odpowiednio ładunkami +Q i –Q. Układ taki nazywamy kondensatorem płaskim. Gęstość powierzchniowa ładunku wynosi: S +Q  = Q/S d -Q Pole wewnątrz elektrod z pominięciem efektów brzegowych jest jednorodne. Niech różnica potencjałów pomiędzy elektrodami wynosi V. 18 marca 2003 Reinhard Kulessa

Oznaczmy tą różnicę przez . Z zależności pomiędzy potencjałem a natężeniem pola elektrycznego r. (5.9) otrzymujemy, że: Widzimy więc, że: , a korzystając z obliczonej poprzednio wartości natężenia pola elektrycznego pomiędzy dwoma naładowanymi płaszczyznami otrzymujemy: (7.1) 18 marca 2003 Reinhard Kulessa

Pojemność kondensatora płaskiego wynosi więc: Wprowadźmy pojęcie pojemności kondensatora jako współczynnika we wzorze: (7.2) Pojemność kondensatora płaskiego wynosi więc: (7.3) 18 marca 2003 Reinhard Kulessa

Pole elektryczne dla takiego układu jest polem radialnym, więc E 7.4 Kondensator kulisty Rozpatrzmy układ dwóch współśrodkowych czasz kulistych naładowanych odpowiednio ładunkami +Q i –Q. Pole elektryczne dla takiego układu jest polem radialnym, więc E +Q -Q r1 R r2 Policzmy strumień pola elektrycznego przechodzącego przez powierzchnię kuli w środku „0” i promieniu R dS . 18 marca 2003 Reinhard Kulessa

Z prawa Gaussa otrzymamy: dla dowolnego R z podanego poprzednio przedziału. Różnica potencjałów V=V1 – V2 wartość: Zgodnie z wzorem (7.2) otrzymujemy na pojemność kondensatora złożonego z dwóch czasz kulistych wyrażenie: 18 marca 2003 Reinhard Kulessa

Jednostką pojemności w układzie SI jest FARAD. (7.4) Z wyrażenia tego widać, że gdy pojemność kondensatora kulistego, inaczej mówiąc pojemność przewodnika będącego kulą jest równa: Jednostką pojemności w układzie SI jest FARAD. Pojemność kuli ziemskiej, R~6.4 106 m, C = 710 F, a kula o pojemności 1F ma promień 9 106 km. 18 marca 2003 Reinhard Kulessa

7.5 Kondensator cylindryczny. Kondensator cylindryczny składa się z dwóch współśrodkowych cylindrów o p promieniach a i b. b Stosując Prawa Gaussa dla dowolnej odległości r od środka walców otrzymujemy, że a l Pow. +Q -Q r Na wartość potencjału otrzymamy więc wyrażenie: 18 marca 2003 Reinhard Kulessa

Pojemność kondensatora cylindrycznego wynosi więc: (7.5) 18 marca 2003 Reinhard Kulessa

7.6 Łączenie kondensatorów 7.6.1 Połączenie równoległe V1 +Q1 +Q2 +Q3 +Q4 C1 C2 C3 C4 -Q1 -Q2 -Q3 -Q4 V2 Potencjał V = V1 – V2 jest taki sam na każdym kondensatorze. Ładunek, który znajduje się na każdym z kondensatorów , a całkowity ładunek . Otrzymujemy więc . Czyli (7.5) 18 marca 2003 Reinhard Kulessa

7.5.2 Połączenie szeregowe V +Q -Q +Q -Q +Q -Q +Q -Q V V1 V2 V3 V4 Ładunki na okładkach kondensatorów połączonych szeregowo są jednakowe. Całkowita różnica potencjałów jest równa sumie różnic potencjałów między okładkami poszczególnych kondensatorów . Wiemy, że czyli . 18 marca 2003 Reinhard Kulessa

Otrzymujemy więc (7.6) 18 marca 2003 Reinhard Kulessa

7.6 Ziemia jako kondensator kulisty Mimo, że wydaje się nam, że Ziemia jest ładunkowo obojętna, to doświadczenie uczy, że tak nie jest. Na Ziemi zachodzi szereg zjawisk charakterystycznych dla ciał naładowanych. Znane nam są wszystkim wyładowania atmosferyczne w czasie burz, ale jak jest w czasie gdy nie ma burz. Okazuje się, że w atmosferze istnieje pionowe pole elektryczne o natężeniu E ~ 100V/m. Co 1 m wysokości potencjał wzrasta o 100 V. Ładunek Ziemi jest ujemny. Warunkiem istnienia pola jest: Obecność jonów w atmosferze, 2. Rozdzielenie istniejących ładunków przez jakiś mechanizm. Ad. 1. Przypuszczano, że obecność jonów w atmosferze związana jest z naturalna promieniotwórczością. Wtedy liczba 18 marca 2003 Reinhard Kulessa

Jonizacja jest wywoływana przez promieniowanie kosmiczne. jonów powinna być największa przy powierzchni Ziemi. Stwierdzono jednak, że liczba jonów rośnie z wysokością i osiąga maksimum na wysokości powyżej 50 km, na wysokości gdzie rozciąga się tzw. jonosfera. Jonizacja jest wywoływana przez promieniowanie kosmiczne. Ad 2. Ziemia ma ładunek ujemny a potencjał powietrza jest dodatni. Stale więc płynie prąd ładunków dodatnich z atmosfery do Ziemi. Całkowity prąd ma moc ok. 700 MW + + + + + + + + + + 50 km Prąd 10-2 jonu/(s m2) 400000 V 18 marca 2003 Reinhard Kulessa

Taki prąd powinien w ciągu 0.5 godz. wyrównać różnicę ładunków. Aby dać odpowiedź na pytanie jaki mechanizm dostarcza ujemnych ładunków powierzchni Ziemi wykonano w różnych miejscach pomiarów zmiany potencjałów i prądów. Wybierano zwykle pogodne dni nad oceanami. Pogodne dni wybierano aby uniknąć wpływu burz na pomiary, a oceany miały osłabić procesy jonizacji zwykle silniejsze nad kontynentami. W wyniku tych pomiarów stwierdzono że: średni gradient potencjału zmienia się o ±15% wraz ze zmianą czasu uniwersalnego. V/cm 100 90 Godz.(Greenwich) 6 12 18 24 18 marca 2003 Reinhard Kulessa

Istnieje mechanizm ładowania Ziemi ładunkiem ujemnym Świadczy to o tym, że: Na dużych wysokościach istnieje duże przewodnictwo poziome, wobec tego różnica potencjałów między jonosferą a Ziemią nie zmienia się. Istnieje mechanizm ładowania Ziemi ładunkiem ujemnym ze średnim prądem 1800 A. Odpowiedzialne za to są burze, głównie tropikalne, a rozładowanie następuje w okresie ładnej pogody. (Patrz Feynmann t.II cz.I § 9-4 na temat mechanizmów powstawania burz na Ziemi) a 18 marca 2003 Reinhard Kulessa

8. Materia w polu elektrycznym Na każdy ładunek umieszczonej w polu elektrycznym materii działa siła wynikająca z prawa Coulomba. Ze względu na różną ruchliwość ładunków w różnych materiałach można zaobserwować następujące zjawiska: a). W przewodniku ruchliwe elektrony zostają przesunięte w stosunku do dodatnich atomów, co daje rozdzielenie ładunków dodatnich od ujemnych, czyli tzw. zjawisko indukcji. b). W izolatorach nośniki ładunku zostają przesunięte tylko nieznacznie, obserwujemy tzw. polaryzację. Rozważmy przewodnik umieszczony w polu elektrycznym. Znajdujące się w nim swobodne elektrony będą przesuwały się w określonym kierunku. 18 marca 2003 Reinhard Kulessa

- + - Doprowadzi to do nagromadzenia się na ściankach przewodnika tzw. ładunku indukcyjnego. Ładunek ten generuje wewnątrz przewodnika pole elektryczne skierowane przeciwnie do pola zewnętrznego. Przesuwanie się ładunku trwa tak długo, aż wypadkowe pole wewnątrz przewodnika osiągnie wartość zero. 18 marca 2003 Reinhard Kulessa

- + ładunki indukcyjne Zastanówmy się teraz jak wygląda sytuacja, gdy w polu elektrycznym umieścimy materiał nie przewodzący ładunku. Doświadczenie uczy nas, że jeśli pomiędzy dwa ładunki wprowadzimy izolator, to maleje siła kolumbowska działająca pomiędzy ładunkami. 18 marca 2003 Reinhard Kulessa

Omówmy ten problem na przykładzie kondensatora płaskiego. C2 C1 powietrze dielektryk Po włożeniu dielektryka pomiędzy okładki kondensatora płaskiego, na pewno nie zmienił się ładunek na okładkach a jednak zmalał potencjał jak wskazał elektroskop. Zgodnie ze wzorem (7.2) musiała wzrosnąć pojemność kondensatora. Równocześnie spadek potencjału na okładkach oznacza spadek natężenie pola elektrycznego wewnątrz okładek. (cdn) 18 marca 2003 Reinhard Kulessa