Wykład 6 5.7.3 Pole elektryczne i potencjał pochodzące od jednorodnie naładowanej nieprzewodzącej kuli W celu wyznaczenia natężenia posłużymy się prawem Gaussa. E dA r A r’ R A’ =const dA’ Reinhard Kulessa

E Zgodnie z równaniem (5.17) wyrażenia na natężenie pola i potencjał w odległości r>R od środka naładowanej nieprzewodzącej kuli są następujące: dA r A r’ R A’ (5.19a) dA’ =const Powierzchnia sferyczna o promieniu r’ wewnątrz kuli obejmuje tylko część ładunku Q(r’). Reinhard Kulessa

r’<R (5.20) Wobec tego zgodnie z prawem Gaussa: Widzimy więc, że we wnętrzu kuli natężenie pola wzrasta liniowo wraz z odległością od środka kuli Reinhard Kulessa

Na odległości r<R od środka jednorodnie naładowanej kuli Dla odległości większych niż promień kuli, natężenie pola i potencjał jest takie jak we wzorze (5.19a) Na odległości r<R od środka jednorodnie naładowanej kuli potencjał przyjmuje następującą wartość: (proszę obliczyć). (5.21) E(r) Rysunek obok przedstawia zależność natężenia w zależności od odległości od środka jednorodnie naładowanej kuli. r R Reinhard Kulessa

5.7.4 Dipol elektryczny Policzymy potencjał i natężenie pola elektrycznego pochodzącego od dipola elektrycznego, czyli układu dwóch jednakowych ładunków o przeciwnych znakach znajdujących się w pewnej odległości od siebie. P P Potencjał w punkcie P liczymy zgodnie z zasadą superpozycji. L cos   -Q +Q L Reinhard Kulessa

 L cos  Dla dużych r zachodzi r+ || r || r- i wtedy możemy napisać -Q +Q L Na potencjał w punkcie P otrzymujemy wyrażenie; Reinhard Kulessa

Wyrażenie nazywamy momentem dipolowym. (5.22) Wyrażenie nazywamy momentem dipolowym. Otrzymujemy więc: (5.23) Widzimy więc, że potencjał dipola maleje jak 1/r2, podczas gdy Potencjał ładunku punktowego maleje jak 1/r. Reinhard Kulessa

Gradient we współrzędnych biegunowych ma składowe: W oparciu o znany potencjał policzmy natężenie pola elektrycznego pochodzące od dipola. Ponieważ mamy symetrię wokół osi x, możemy wykonać obliczenia we współrzędnych biegunowych na płaszczyźnie. y Gradient we współrzędnych biegunowych ma składowe: Mamy więc x P Reinhard Kulessa

Czyli, Korzystając z zależności pomiędzy wersorami układów kartezjańskiego i biegunowego: Reinhard Kulessa

Składowe równoległa (x) i prostopadła (y) natężenia pola elektrycznego pochodzącego od dipola są następujące: (5.24) Reinhard Kulessa

Linie sił natężenia pola elektrycznego dipola, oraz linie ekwipotencjalne są przedstawione na poniższym rysunku. Reinhard Kulessa

5.7.5 Jednorodnie naładowany dysk Wyliczymy potencjał i natężenie pola elektrycznego na osi jednorodnie naładowanego dysku, który podzielimy na pierścienie o promieniu y i szerokości dy R y x P dy Na pojedynczym pierścieniu znajduje się ładunek dq. Potencjał pochodzący od żółtego pierścienia w punkcie P wynosi: Reinhard Kulessa

Całkowity potencjał uzyskamy całkując po wszystkich pierścieniach Ładunek dq zawarty w pierścieniu wynosi dq = s 2p y dy. Na całkowity potencjał w punkcie P uzyskamy: Reinhard Kulessa

Pole elektryczne ma składową tylko w kierunku x. Mamy więc Reinhard Kulessa

Po zróżniczkowaniu otrzymamy na wartość natężenie pola elektrycznego w punkcie P na osi dysku wartość: Reinhard Kulessa

5.8 Rozkład potencjału dla zadanego ładunku na multipole  r -  r d  y Aby obliczyć potencjał w punkcie P pochodzący od zadanego rozkładu ładunku w objętości  stosujemy wzór (5.10). x Reinhard Kulessa

(5.10) W ten sposób wyrażony potencjał, który jest funkcją wyrażenia możemy rozłożyć w szereg Taylora. Przypomnienie! Jeśli mamy jakąś ogólną funkcję to rozwinięcie tej funkcji w szereg Taylora wokół wygląda następująco: Reinhard Kulessa

Rozwijając w szereg Taylora funkcję; Policzenie odpowiednich pochodnych cząstkowych pozostawiam Państwu. Na następnej stronie przedstawione są otrzymane wyrażenia na pochodne cząstkowe. Reinhard Kulessa

i.t.d. A więc dla r> możemy potencjał V(r) przedstawić następująco: Reinhard Kulessa

Równanie to możemy napisać w następującej postaci: (5.25) Potencjał monopola Potencjał dipola Potencjał kwadrupola Widzimy więc, momentem monopolowym jest całkowity ładunek układu Q. Jest to wielkość skalarna. Reinhard Kulessa

Składowe wektora momentu dipolowego są następujące: Powyższe jest uogólnieniem wprowadzonego poprzednio momentu dipolowego dwóch ładunków +Q i -Q. Trzeci człon (3cz) w wyrażeniu (5.25) możemy przekształcić do następującej postaci: Wskazówka: korzystamy z tożsamości: Reinhard Kulessa

W wyrażeniu tym zdefiniowaliśmy tensor momentu kwadrupolowego Qij,, który w układzie kartezjańskim ma następującą postać: (5.26) Reinhard Kulessa

Przedyskutujmy uzyskane wyrażenie: (5.27) Przedyskutujmy uzyskane wyrażenie: kolejne składniki maleją ze wzrostem r coraz szybciej wyraz monopolowy  1/r wyraz dipolowy  1/r2 wyraz kwadrupolowy 1/r3 tensor momentu kwadrupolowego zdefiniowany w r.(5.26 ma tylko pięć niezależnych składników. Wynika to z tego, Qij=Qjj , oraz z faktu, że Qii=0. Ponieważ V(r) jest skalarem, każdy z momentów jest odpowiednio mnożony przez wielkość zależną od r tak, aby uzyskać skalar. Reinhard Kulessa