Wykład 4 5.8.1 Rozwinięcie potencjału znanego rozkładu ładunków na szereg momentów multipolowych w układzie sferycznym Rozwinięcia tego można dokonać stosując funkcje kuliste Ylm(,), które są funkcjami własnymi operatora kwadratu krętu orbitalnego i stanowią układ zupełny i ortogonalny funkcji kątów  i . Okazuje się, że (5.28)

r< to mniejszy wektor z pary . r> to większy wektor z pary . Dla otrzymujemy: (5.29) W układzie sferycznym momentem multipolowym układu ładunków nazywamy wyrażenie: (5.30)

l=0 monopolowy q0 l=1 dipolowy q1 l=2 kwadrupolowy q2 l=3 oktupolowy Poniższa tabelka informuje nas o nazwach najniższego rzędu momentów l=0 monopolowy q0 l=1 dipolowy q1 l=2 kwadrupolowy q2 l=3 oktupolowy q3 l=4 hexadekapolowy q4 Ogólnie można powiedzieć, że momenty multipolowe informują nas o rozkładzie ładunków i odstępstwach tego rozkładu od symetrii sferycznej. Przykłady momentów najniższych rzędów dla kilku konfiguracji ładunków są podane na następnej stronie

+ + _ + + _ _ + Q q0 = Q q0 = Q q1 = LQ q2 = 0 q2 = L2Q q0 = 0 q0 = 0 H _ L _ L L q2 = 0 + q2 = 2LHQ

q2 = 0, q3 = 0 q2 < 0, q3 = 0 a b q2 > 0, q3 = 0 q2 0, q3  0

5.9 Dipol w polu elektrycznym Rozważmy jednorodne pole elektryczne i umieśćmy w nim dipol pod dowolnym kątem. + Wartość siły wypadkowej jest równa 0, ale para sił powoduje pojawienie się momentu obrotowego M.  - (5.31)

Dipol ustawia się równolegle do kierunku pola elektrycznego E. Wartość liczbowa tego momentu wynosi M = PE sin. Obrót dipola odpowiada wykonaniu pracy Znak minus oznacza, że to dipol wykonuje pracę (dla małych  ). Energia potencjalna V zmienia się więc o dV = -dW Otrzymujemy więc: Stałą C wyznaczamy z faktu, że dla  = 900, V=0.

+ - (5.32) Umieśćmy teraz dipol w polu niejednorodnym.  x y Siły w tym przypadku już się nie równoważą, czyli poza pojawieniem się momentu obrotowego istnieje również wypadkowa siła Załóżmy, że po pewnym czasie dipol ustawił się w kierunku osi x.

Wypadkowa siła w kierunku x będzie wynosiła: Policzmy zmianę natężenia pola w miejscu, w którym znajduje się ładunek dodatni w stosunku do pozycji ładunku ujemnego. (Szereg Taylora) Czyli

Składowa wektora siły w kierunku x wyrazi się następująco: Siła zależy więc bardzo mocno od orientacji dipola w polu . Jeśli dipol pod wpływem pola obróci się tak, że , to dipol zostanie przesunięty w kierunku rosnącego natężenia pola z siłą równą , (5.33) Czyli zgodnie z poprzednim rysunkiem w lewo.

- + Przedstawia to poniższy rysunek . Tego rodzaje dipole indukują się w ciałach stałych, głównie dielektrykach.

Energia potencjalna dowolnego układu ładunków 6.1 Energia układu ładunków punktowych Rozważmy układ trzech ładunków punktowych w dowolnej konfiguracji. Obliczmy pracę potrzebną do przesunięcia z nieskończoności trzech ładunków swobodnych do dowolnego położenia takiego np. jak na rysunku obok. q2 r12 r23 q1 q3 r13

Na początku w miejscu do którego ściągamy pierwszy ładunek nie ma pola elektrycznego. Praca potrzebna do ściągnięcia pierwszego ładunku jest więc zerowa. Inaczej jest z pozostałymi ładunkami. Drugi ładunek musi przezwyciężyć pole wytworzone przez pierwszy ładunek, a trzeci pole dwóch pierwszych. Korzystając ze wzoru (5.12) możemy policzyć pracę potrzebną do ściągnięcia trzech ładunków. (6.1) rij w powyższym wzorze oznacza wzajemne odległości pomiędzy ładunkami. Wyrażenie (6.1) możemy przekształcić w następujący sposób:

(6.2) W nawiasach okrągłych znajdują się wyrażenia na potencjał wytworzony przez odpowiednie dwa ładunki w miejscu w którym znajduje się trzeci ładunek. Możemy więc wzór ten zapisać prosto następująco;

(6.3) Wynik ten można uogólnić dla N ładunków. Otrzymamy wtedy: (6.3a) Wróćmy z powrotem do naszego układu ładunków i spróbujmy napisać energię tego układu w oparciu o ich położenie w układzie współrzędnych.

q2 r12 r23 q1 q3 r13 Widzimy z rysunku, że Wtedy dla układu N ładunków I oddziaływania każdego z każdym przy zachowaniu braku oddziaływania z polem wytworzonym przez samego siebie otrzymamy na energię tego układu ładunków wyrażenie:

(6.4) Korzystając z definicji potencjału otrzymujemy: (6.5) Dla dowolnego ciągłego rozkładu ładunku (6.6)

Jeśli do poprzedniego wzoru wprowadzimy wyrażenie na potencjał, to otrzymamy: (6.7) Jeśli w równaniu (6.6) wyrazimy gęstość ładunku z równania Poissona (5.14) to (6.8) Korzystając z następujących tożsamości:

Możemy równanie (6.8) przedstawić w postaci sumy dwóch całek W oparciu o twierdzenie Gaussa (r. (5.6) ) możemy drugą całkę napisać jako:

Ponieważ w lewej całce możemy zwiększać  do nieskończoności, należy się zapytać jak będzie się zachowywała całka po prawej stronie, która jest całką po powierzchni, gdy . V~1/r, V ~ 1/r2, a dA ~ r2 Widzimy więc, że druga całka ~ 1/r, czyli całka ta dąży do zera gdy r dąży do nieskończoności. Otrzymujemy więc na energię rozkładu ładunków wzór (6.9) Całka ta obejmuje całą objętość, w której występuje pole elektryczne.

Korzystając z zależności pomiędzy potencjałem a natężeniem pola elektrycznego otrzymujemy na energię pola wyrażenie: (6.10) Gęstość energii pola elektrycznego definiujemy jako:

6.1 Energia potencjalna jednorodnie naładowanej kuli – jądro atomowe Jednorodnie naładowana kula ma następujący rozkład gęstości: Wystartujmy z równania Poissona. Ze względu na symetrię sferyczną omawianego problemu 11 marca 203 Reinhard Kulessa

Potencjał którego szukamy zależy tylko od r. Równanie Poissona w układzie sferycznym ma postać: (6.12) Rozważmy najpierw przypadek r > R dla którego (r) =0. Rozwiązanie równania Poissona da wynik: W celu wyznaczenia stałej C1 posłużmy się prawem Gaussa; 11 marca 203 Reinhard Kulessa

Otoczmy naładowaną kulę czaszą kulistą o promieniu R’ Promień kuli R < R’. Zgodnie z Prawem Gaussa mamy: R’ Korzystając z faktu, że na granicy naładowanej kuli i obszaru nie naładowanego natężenie pola powinno być ciągłe, mamy: Wiedząc, że 11 marca 203 Reinhard Kulessa

Otrzymujemy więc wartość stałej . Możemy więc przystąpić do drugiego całkowania co daje nam; Ponieważ V0 gdy r   musi być C2=0. Potencjał w odległości r > R od jednorodnie naładowanej kuli jest więc równa: (6.13) Zajmiemy się teraz drugim przypadkiem dla r < R, gdzie (r) = 0. 11 marca 203 Reinhard Kulessa

Musimy więc scałkować równanie (6.12). Pierwsze całkowanie daje po krótkich przekształceniach: Drugie całkowanie daje: Ze względu na to, że potencjał V(r) dla r  0 powinien mieć skończoną wartość, wynika, że C3=0. 11 marca 203 Reinhard Kulessa

Otrzymujemy więc na potencjał dla r > R wyrażenie: Zakładając, że mamy do czynienia z jądrem o Z protonach możemy do ostatniego wzoru wstawić wyrażenie na gęstość ładunku: , otrzymamy wtedy: Stałą C4 policzymy wiedząc, że potencjał dla r > R i r < R musi dla r = R być taki sam. Mamy wtedy, korzystając m.in. z wzoru (6.13) Otrzymujemy więc na potencjał dla r > R wyrażenie: 11 marca 203 Reinhard Kulessa

(6.14) Poniższy rysunek podaje przebieg potencjału w odległości r od jednorodnie naładowanej kuli o promieniu R. V Jest to dobre przybliżenie potencjału jądra atomowego stosowane m.in. w rozproszeniu sprężystym protonów na jądrze atomowym parabola hiperbola r R 11 marca 203 Reinhard Kulessa