Wykład dla doktorantów (2013) Wykład 4 Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika Kwantowa Wykład dla doktorantów (2013) Wykład 4 Najpiękniejszą rzeczą, jakiej możemy doświadczyć jest oczarowanie tajemnicą. Jest to uczucie, które stoi u kolebki praw­dziwej sztuki i prawdziwej nauki. Ten, kto go nie zna i nie potrafi się dziwić, nie potrafi doznawać zachwytu, jest  martwy, niczym zdmuchnięta świeczka. Marek Zrałek Zakład Teorii Pola i Cząstek Elementarnych Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski Katowice, 2013

Matematyczny język Mechaniki Kwantowej ( najważniejsze elementy, c.d.)

Izomorfizm dwóch przestrzeni Φ oraz Φ’ z iloczynem skalarnym Operatory liniowe: Operator sprzężony A+: Operator samosprzężony: A+ = A Operator Hermitowski: A+ = A oraz D(A+) = D(A) jest gęsta

Wektory i wartości własne operatorów: Zdegenerowana wartość własna: Dla operatorów hermitowskich: 1) Wartości własne są rzeczywiste 2) Wektory własne należące do różnych wartości własnych są ortogonalne Operatory odwrotne: Operatory unitarne: Komutacja operatorów:

Algebra operatorów {A} = A Zbiór operatorów {A} tworzy ALGEBRĘ, gdy 1) Zbiór {A} tworzy przestrzeń liniową, 2) Dla każdego A i B ( ) określony jest ich iloczyn o własnościach A (AB)C=A(BC) A(B+C) = AB + AC (A+B)C = AC +BC (αA)B = A(αB) = α(AB) 3) Dla każdego A istnieje operator I taki, że AI = IA = A

Istotne elementy teorii przestrzeni liniowych i operatorów w nich działających Twierdzenie spektralne Jądrowe twierdzenie spektralne Właściwe i uogólnione wektory własne |En) oraz Rozwinięcie spektralne operatora jednostkowego Rozwinięcie spektralne H Jednoznaczne określenie wektora DYSTRYBUCJA Topologia przestrzeni Hilberta Nowa topologia Hp Analogiczne relacje: Odwzorowanie

Twierdzenie spektralne Dla każdego operatora hermitowskiego A w skończenie wymiarowej przestrzeni Φ istnieje układ jego wektorów własnych taki, że dla każdego wektora zachodzi: Iloczyn skalarny: nazywamy składową wektora w bazie . W przestrzeniach ∞ wymiarowych powyższe twierdzenia nie jest w ogólności słuszne

W przestrzeniach ∞ wymiarowych zawsze istnieje ortonormalny układ wektorów bazy, ale nie każdy operator samosprzężony musi mieć przeliczalny zbiór wektorów własnych tworzących bazę Poza tym będziemy mieć także do czynienia z operatorami o widmie ciągłym, lub ciągłym i dyskretnym. Jądrowe twierdzenia spektralne (NST) Istnieją ∞ wymiarowe przestrzenie Φ (istnieją topologie w tych przestrzeniach) dla których twierdzenia spektralne można udowodnić dla każdego operatora samosprzężonego, które będą interesujące z fizycznego punktu widzenia Mechanikę kwantową będziemy formułować w takich przestrzeniach, w których NST zachodzi.

Weźmy dwie obserwable, energię H i położenie Q Dla każdego zachodzi; albo: -- właściwy wektor własny przestrzeń ciągłych liniowych funkcjonałów określonych na Φ, wektory uogólnione. --

ciągłe widmo operatora położenia Q Rozwinięcia spektralne operatorów: Z fizycznego punktu widzenia interesują nas wektory jednoznacznie określone a więc unormowane:

Chcemy też, aby określone było działanie dowolnego operatora A na stan, tzn. : Jeżeli: to: Tak więc interesują nas takie przestrzenie Φ, w której dowolne wektory spełniają: nie tylko: , . ale także:

Dowolny wektor mogę przedstawić: lub: Możemy więc określić przestrzenia izomorficzne: Tak będzie zdefiniowana przestrzeń stanów kwantowych

Iloczyn skalarny jest funkcjonałem antyliniowym: Ciągłe Funkcjonały ; ; . Funkcjonał liniowy: Funkcjonał antyliniowy: Iloczyn skalarny jest funkcjonałem antyliniowym: Zapiszemy:

Możemy określić liniową przestrzeń funkcjonałów antyliniowych: Co zapiszemy w trochę inny sposób: Przestrzeń dualna Zbiór antyliniowych funkcjonałów {F} na przestrzeni Φ tworzy przestrzeń liniową nazywamy ją przestrzenią sprzężoną lub przestrzenią dualną do Φ i oznaczamy Φ*.

W przestrzeniach skończenie wymiarowych: Niech { ei; i = 1,2,3,….N} będzie bazą w Φ, określamy i = 1,2,3,….N Dla dowolnego v możemy zapisać: Wtedy:

Każdy funkcjonał jest określony przez zbiór liczb zespolonych {fi; i=1,2,3,….,N} Możemy wtedy określić wektor należący do przestrzeni Φ: Obliczmy iloczyn skalarny: Tak więc w przestrzeniach skończenie wymiarowych Istnieje jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy funkcjonałem F a wektorem f, czyli Φ = Φ*

Dla przestrzeni skończenie wymiarowych: Mówimy, że takie przestrzenie są samodualne W przestrzeniach ∞ wymiarowych taka identyfikacja nie jest na ogół możliwa. Dla przestrzeni nieskończenie wymiarowych(jak zobaczymy za chwilę):

Ψ ---- przestrzeń liniowa bez żadnej topologii Topologia – zbieżność nieskończonego ciągu (wystarczy dla naszych celów. Co to znaczy ? Ψ ---- przestrzeń liniowa bez żadnej topologii H ----- zawiera wszystkie granice ; Φ ---- zawiera granice ciągów ; Nie zawiera punktów granicznych Zawiera p. graniczne według ostrzejszego warunku Zawiera p. graniczne według mniej ostrego warunku Dla przestrzeni dualnych będzie odwrotnie (Rigged Hilbert Space) Tryplet Gelfanda

(1) H zawiera Ψ oraz wszystkie punkty graniczne , dla wszystkich ciągów, które spełniają warunek: (2) Φ zawiera Ψ oraz wszystkie punkty graniczne , dla wszystkich ciągów spełniających warunki (A - dowolny operator, p=1,2,3,…): Jeżeli to ale nie odwrotnie, a to oznacza, że jest więcej ciągów spełniających pierwszy warunek, tak więc,

(1) Φ* jest zbiorem wszystkich F o własnościach Pojęcie ciągłości funkcjonałów: Ψ*, Φ* oraz H*, oznaczają odpowiednia przestrzenie dualne ciągłych antyliniowych funkcjonałów. Warunki, które musza spełniać ciągłe funkcjonały w H* są silniejsze od warunków nałożonych na funkcjonały z Φ*: (1) Φ* jest zbiorem wszystkich F o własnościach F(φi ) F(φ) dla wszystkich ciągów spełniających warunki (2) H* jest zbiorem F o własnościach F(φi ) F(φ) dla wszystkich ciągów zbieżnych w sensie przestrzeni Hilberta Warunki drugie są silniejsze, nie wszystkie funkcjonały F, które spełniają warunki pierwsze, spełniają także warunki 2-ie, a to oznacza, że przestrzeń Φ* jest większa od przestrzeni H*:

Twierdzenie Riesza Dla każdego ciągłego funkcjonału F nad przestrzenią Hilberta istnieje takie f jednoznacznie określone i należące do przestrzeni Hilberta, iż zachodzi warunek: a to oznacza, że H = H*. Symbol będzie więc rozszerzeniem iloczynu skalarnego na funkcjonały, które nie należą do przestrzeni Hilberta Tw Riesza z analizy fukcjonalnej – (Frigyes Riesz (1880 – 1956) matematyk węgierski Możemy rozpatrywać antyliniowe funkcjonały na Φ* . Dla dużej klasy liniowych topologicznych przestrzeni Φ (nazywanych „zwrotnymi”) istnieje jednoznaczny związek pomiędzy elementami z przestrzeni Φ oraz z przestrzeni przestrzeni Φ** :

Do liniowej przestrzeni Φ będą należeć stany układów fizycznych Do liniowej przestrzeni Φ będą należeć stany układów fizycznych. Przestrzeń ta zależy od zbioru obserwabli dla rozpatrywanego układu fizycznego Wektory w przestrzeni Φ Wektory w przestrzeni Φ* v Niefizyczne stany operatora położenia Fizyczne stany energii

W dalszym ciągu Różnica wynika z kontekstu

Dla każdego układu fizycznego: Musi maleć w nieskończoności szybciej niż jakakolwiek potęga 1/x Laurent Schwartz –francuski matematyk (1915 – 12002) Przestrzeń Schwartza: przestrzeń funkcji zespolonych ∞ różniczkowalnych takich, że same funkcje i ich dowolne pochodne znikają w ∞ szybciej niż jakakolwiek potęga 1/x

W przestrzeni Φ dowolny wektor można prezentować w różny sposób H Q Np. dla oscylatora harmonicznego

Wektory uogólnione mają wymiar ( [|x›]= cm-1/2 ) Definicja naszej przestrzeni stanów Φ Realizacja – przestrzeń Schwartza Często Izomorfizm przestrzeni Φ oraz Elementy teorii reprezentacji, przejście pomiędzy bazami Zagadnienie własne w bazie dyskretnej Przykłady przestrzeni Schwartza K(a): φ(x) = 0 dla |x| > a, Szereg Fouriera K(∞): - ∞ < x < ∞, Wielomiany Hermite’a K(-1,1): -1< x < 1, Wielomiany Legendre’a K(0, ∞): 0 < x < ∞, Wielomiany Laguerre’a