WYKŁAD 14 DYFRAKCJA FRESNELA

PLAN WYKŁADU Dyfrakcja Fresnela na półpłaszczyźnie; spirala Cornu Dyfrakcja Fresnela na szczelinie PODSUMOWANIE

Dyfrakcja Fresnela na półpłaszczyźnie; spirala Cornu

Dyfrakcja Fresnela na półpłaszczyźnie; spirala Cornu Metoda: korzystamy z zasady Huyghensa-Fresnela

Dyfrakcja Fresnela na półpłaszczyźnie; spirala Cornu Metoda: korzystamy z zasady Huyghensa-Fresnela Całka dyfrakcyjna Fresnela-Kirchhofa

Płaska fala pierwotna (źródło S w nieskończoności) pobudza oscylatory Huyghensa do drgań:

Płaska fala pierwotna (źródło S w nieskończoności) pobudza oscylatory Huyghensa do drgań:

Płaska fala pierwotna (źródło S w nieskończoności) pobudza oscylatory Huyghensa do drgań: W punkcie P0 fala wtórna wypromieniowana przez oscylatory Huyghensa z elementu dh będzie:

Płaska fala pierwotna (źródło S w nieskończoności) pobudza oscylatory Huyghensa do drgań: W punkcie P0 fala wtórna wypromieniowana przez oscylatory Huyghensa z elementu dh będzie:

Płaska fala pierwotna (źródło S w nieskończoności) pobudza oscylatory Huyghensa do drgań: W punkcie P0 fala wtórna wypromieniowana przez oscylatory Huyghensa z elementu dh będzie:

Płaska fala pierwotna (źródło S w nieskończoności) pobudza oscylatory Huyghensa do drgań: W punkcie P0 fala wtórna wypromieniowana przez oscylatory Huyghensa z elementu dh będzie:

jest różnicą dróg (rysunek) Płaska fala pierwotna (źródło S w nieskończoności) pobudza oscylatory Huyghensa do drgań: W punkcie P0 fala wtórna wypromieniowana przez oscylatory Huyghensa z elementu dh będzie: gdzie: jest różnicą dróg (rysunek)

Ponieważ: dla

Ponieważ: dla

Ponieważ: dla i: oraz:

Ponieważ: dla i: oraz:

Ponieważ: dla i: oraz:

Natężenie w punkcie P0:

Natężenie w punkcie P0:

Natężenie w punkcie P0: gdzie: oraz:

Stałą a dobieramy tak, by A = B = 0.5 Natężenie w punkcie P0: gdzie: oraz: Stałą a dobieramy tak, by A = B = 0.5

Całki te przypominają całki określające tzw Całki te przypominają całki określające tzw. spiralę Cornu (zwaną także spiralą Eulera lub klotoidą):

Całki te przypominają całki określające tzw Całki te przypominają całki określające tzw. spiralę Cornu (zwaną także spiralą Eulera lub klotoidą):

Całki C (od cosinus) i S (od sinus) nazywane są całkami Fresnela Całki te przypominają całki określające tzw. spiralę Cornu (zwaną także spiralą Eulera lub klotoidą): Całki C (od cosinus) i S (od sinus) nazywane są całkami Fresnela

Całki C (od cosinus) i S (od sinus) nazywane są całkami Fresnela Całki te przypominają całki określające tzw. spiralę Cornu (zwaną także spiralą Eulera lub klotoidą): Całki C (od cosinus) i S (od sinus) nazywane są całkami Fresnela Wyznaczają parametrycznie krzywą zwaną klotoidą, spiralą Cornu lub Eulera

Spirala Cornu

Żeby skojarzyć całki (x,y) z całkami (A,B), potrzebne jest podstawienie:

Żeby skojarzyć całki (x,y) z całkami (A,B), potrzebne jest podstawienie: czyli: oraz:

Żeby skojarzyć całki (x,y) z całkami (A,B), potrzebne jest podstawienie: czyli: oraz:

Z półpłaszczyzną: A = ½, B = ½, A2 + B2 = ½, bez półpłaszczyzny: (2A)2 + (2B)2 = 2 zatem natężenie w P0 z półpłaszczyzną jest równe ¼ I0

Długość elementu krzywej Cornu wynosi dv, a całkowita długość wzdłuż krzywej, od punktu (0,0) do punktu (x,y) dla parametru v, wynosi właśnie v.

Spirala Cornu: wynik dodawania małych wektorów na płaszczyźnie zespolonej, odpowiadających wtórnym falom elementarnym pochodzących od oscylatorów Huyghensa rozłożonych w otworze wzdłuż h. Każdy z tych wkładów wynosi:

Spirala Cornu: wynik dodawania małych wektorów na płaszczyźnie zespolonej, odpowiadających wtórnym falom elementarnym pochodzących od oscylatorów Huyghensa rozłożonych w otworze wzdłuż h. Każdy z tych wkładów wynosi:

co można porównać z wyrażeniem: Spirala Cornu: wynik dodawania małych wektorów na płaszczyźnie zespolonej, odpowiadających wtórnym falom elementarnym pochodzących od oscylatorów Huyghensa rozłożonych w otworze wzdłuż h. Każdy z tych wkładów wynosi: co można porównać z wyrażeniem:

co można porównać z wyrażeniem: Spirala Cornu: wynik dodawania małych wektorów na płaszczyźnie zespolonej, odpowiadających wtórnym falom elementarnym pochodzących od oscylatorów Huyghensa rozłożonych w otworze wzdłuż h. Każdy z tych wkładów wynosi: co można porównać z wyrażeniem:

co można porównać z wyrażeniem: otrzymanym z zasady Huyghensa. Spirala Cornu: wynik dodawania małych wektorów na płaszczyźnie zespolonej, odpowiadających wtórnym falom elementarnym pochodzących od oscylatorów Huyghensa rozłożonych w otworze wzdłuż h. Każdy z tych wkładów wynosi: co można porównać z wyrażeniem: otrzymanym z zasady Huyghensa.

Jak znaleźć natężenie fali ugiętej w dowolnym punkcie P, powyżej lub poniżej P0?

Jak znaleźć natężenie fali ugiętej w dowolnym punkcie P, powyżej lub poniżej P0?

dla punktu P powyżej; oscylatory nieuwzględnione Jak znaleźć natężenie fali ugiętej w dowolnym punkcie P, powyżej lub poniżej P0? dla punktu P powyżej; oscylatory nieuwzględnione

Punkt P powyżej punktu P0:

Punkt P powyżej punktu P0: trzy różne wartości h; oscylacje

Punkt P powyżej punktu P0: trzy różne wartości h; oscylacje 1. Obliczamy v: trzy różne wartości h; oscylacje

Punkt P powyżej punktu P0: trzy różne wartości h; oscylacje 1. Obliczamy v: trzy różne wartości h; oscylacje

Punkt P powyżej punktu P0: 1. Obliczamy v: 2. Obliczamy natężenie w P ze wzoru: trzy różne wartości h; oscylacje

Punkt P powyżej punktu P0: 1. Obliczamy v: 2. Obliczamy natężenie w P ze wzoru: trzy różne wartości h; oscylacje

Punkt P powyżej punktu P0: 1. Obliczamy v: 2. Obliczamy natężenie w P ze wzoru: trzy różne wartości h; oscylacje v ujemne! natężenie większe niż w P0

Punkt P poniżej punktu P0:

Punkt P poniżej punktu P0:

Punkt P poniżej punktu P0: dla punktu P poniżej; oscylatory uwzględnione niepotrzebnie

Punkt P poniżej punktu P0:

Punkt P poniżej punktu P0: trzy różne wartości h; bez oscylacji, natężenie maleje

Punkt P poniżej punktu P0: 1. Obliczamy v: trzy różne wartości h; bez oscylacji, natężenie maleje

Punkt P poniżej punktu P0: 1. Obliczamy v: trzy różne wartości h; bez oscylacji, natężenie maleje

Punkt P poniżej punktu P0: 1. Obliczamy v: 2. Obliczamy natężenie w P ze wzoru: trzy różne wartości h; bez oscylacji, natężenie maleje

Punkt P poniżej punktu P0: 1. Obliczamy v: 2. Obliczamy natężenie w P ze wzoru: trzy różne wartości h; bez oscylacji, natężenie maleje

Punkt P poniżej punktu P0: 1. Obliczamy v: 2. Obliczamy natężenie w P ze wzoru: trzy różne wartości h; bez oscylacji, natężenie maleje v dodatnie! natężenie mniejsze niż w P0

Rozkład natężenia światła ugiętego na półpłaszczyźnie Model promieni i model falowy (dyfrakcja Fresnela)

Dyfrakcja Fresnela na szczelinie Punkt P0 naprzeciw środka szczeliny punkt P powyżej P0 w odległości h szerokość szczeliny a (Δv):

Dyfrakcja Fresnela na szczelinie Punkt P0 naprzeciw środka szczeliny punkt P powyżej P0 w odległości h szerokość szczeliny a (Δv):

Dyfrakcja Fresnela na szczelinie Punkt P0 naprzeciw środka szczeliny punkt P powyżej P0 w odległości h szerokość szczeliny a (Δv):

Znaleźć punkt P (czyli obliczyć v dla danego h) na spirali Cornu

Znaleźć punkt P (czyli obliczyć v dla danego h) na spirali Cornu Obliczyć Δv (dla danego a) i znaleźć punkty na spirali odpowiadające krawędziom szczeliny (v+Δv/2 i v-Δv/2).

Znaleźć punkt P (czyli obliczyć v dla danego h) na spirali Cornu Obliczyć Δv (dla danego a) i znaleźć punkty na spirali odpowiadające krawędziom szczeliny (v+Δv/2 i v-Δv/2). Obliczyć A i B:

Znaleźć punkt P (czyli obliczyć v dla danego h) na spirali Cornu Obliczyć Δv (dla danego a) i znaleźć punkty na spirali odpowiadające krawędziom szczeliny (v+Δv/2 i v-Δv/2). Obliczyć A i B:

Rozkład natężeń (szczelina o szerokości Δv) wyliczony z tablic całek Fresnela otrzymanych przy pomocy programu Theorist, krok 0.01, dokładność ok. 6 cyfr znaczących. Wartości parametru Δv podano na rysunku. Położenie punktu P na ekranie podano w jednostkach v

PODSUMOWANIE Z dyfrakcją Fresnela mamy do czynienia wtedy, gdy odległość ekranu obserwacyjnego od ekranu z otworami, czy szczelinami nie jest duża i nie spełnia warunku Fraunhofera Całkowanie wkładu od oscylatorów Huyghensa prowadzi, dla dyfrakcji Fresnela, do wyrażeń, w których występują całki Fresnela, które definiują tzw. spiralę Cornu

PODSUMOWANIE Rozkład natężenia światła ugiętego na półpłaszczyźnie z prostoliniową krawędzią; obszar cienia geometrycznego; malejące monotonicznie natężenie Rozkład natężenia światła ugiętego na półpłaszczyźnie z prostoliniową krawędzią; obszar powyżej cienia geometrycznego; oscylacje natężenia

v, położenie punktu P, Δv szerokość szczeliny. PODSUMOWANIE Dla pojedynczej szczeliny natężenie światła w punkcie P na ekranie obserwacyjnym można wyrazić przez następującą sumę kwadratów różnic (lub sum) całek Fresnela: v, położenie punktu P, Δv szerokość szczeliny. Rozkład Fraunhofera dla małych szerokości.