INSTRUMENTY POCHODNE OPCJE

Instrumenty pochodne /definicja Instrument pochodny – umowa o przeprowadzeniu w przyszłości pewnej transakcji. Przedmiotem transakcji mogą być towary lub produkty finansowe, których cena uzależniona jest od wybranych indeksów giełdowych, kursów walut, stóp procentowych, itp. Termin wykonania transakcji oraz cena transakcji są ustalone w momencie jej zawierania. Wynik finansowy transakcji w momencie jej zawierania jest nieznany z uwagi na zmienność ceny przedmiotu transakcji, czyli instrumentu bazowego

Instrumenty pochodne / charakteryzacja Elementy składowe instrumentu pochodnego Rodzaj transakcji (kupno-sprzedaż, wymiana płatności, wymiana walut) Instrument bazowy (towar, akcja, kurs walutowy, indeks giełdowy, stopa procentowa, inny instrument pochodny) Termin wygaśnięcia kontraktu (dzień, przedział czasowy) Obowiązki i prawa stron Sposób rozliczenia i realizacja kontraktu

OPCJE / DEFINICJA Opcja jest prawem do zakupu lub sprzedaży określonej ilości wyspecyfikowanego przedmiotu (tzw. instrumentu bazowego) po z góry ustalonej cenie i w ciągu umówionego okresu lub w wyznaczonym terminie. Opcja jest to umowa dająca jej posiadaczowi prawo do wykonania określonej czynności w określonym momencie lub przedziale czasu.

CELE ZAWIERANIA KONTRAKTÓW OPCYJNYCH Zabezpieczenia przed niekorzystnymi zmianami cen instrumentu bazowego Spekulacji na spadku lub wzroście instrumentu bazowego Arbitrażu między rynkiem instrumentów pochodnych a rynkiem instrumentów bazowych

INSTRUMENTY BAZOWE DLA OPCJI Stopy procentowe opcje na kontrakty futures na stopy procentowe opcje na kontrakty FRA (forward rates agreement) opcje na kontrakty wymiany (swapy) Waluty opcje na kursy walutowe opcje na walutowe kontrakty futures Akcje opcje na poszczególne akcje opcje na kontrakty futures na indeksy akcji Towary opcje na towary opcje na towarowe kontrakty futures

EUROPEJSKA OPCJA KUPNA NA AKCJE (CALL) Prawo (bez obowiązku) kupna akcji określonej spółki po z góry ustalonej cenie, zwanej ceną wykonania, w określonym momencie w przyszłości zwanym datą wykonania Opcja posiada swoją wartość. Premia jest to cena, którą musimy zapłacić za nabycie opcji. Przykład : akcja PKN kosztuje 33 zł. Europejska opcja kupna z ceną wykonania 38 zł wygasająca 23 marca 2010 roku daje jej nabywcy prawo kupienia jednej akcji PKN za 38 zł w dniu 23 marca 2010 roku. (W praktyce opcje nabywa się w ustalonych pakietach pozwalających kupić większe ilości akcji)

OPCJE AMERYKAŃSKIE Prawo (bez obowiązku) kupna akcji określonej spółki po z góry ustalonej cenie, zwanej ceną wykonania, do określonego momentu w przyszłości (OPCJA KUPNA) Prawo (bez obowiązku) sprzedaży akcji określonej spółki po z góry ustalonej cenie, zwanej ceną wykonania, do określonego momentu w przyszłości (OPCJA SPRZEDAŻY)

EUROPEJSKA OPCJA SPRZEDAŻY NA AKCJE (PUT option) Prawo (bez obowiązku) sprzedaży akcji określonej spółki po z góry ustalonej cenie, zwanej ceną wykonania, w określonym momencie w przyszłości zwanym datą wykonania

STRONA KUPUJĄCA, STRONA WYSTAWIAJĄCA KAŻDY INWESTOR MOŻE BYĆ NABYWCĄ OPCJI (KUPUJĄCYM) WYSTAWCĄ OPCJI (SPRZEDAJACYM) (dotyczy to obu rodzajów opcji : kupna, sprzedaży) o nabywcy mówimy że : ZAJĄŁ DŁUGĄ POZYCJĘ NA OPCJI o wystawcy mówimy że : ZAJĄŁ KRÓTKĄ POZYCJĘ NA OPCJI

RAWA I OBOWIAZKI WYSTAWCY, NABYWCY

Funkcja wypłaty / europejska opcja kupna K - cena realizacji (wykonania) T - data wygaśnięcia opcji ST - cena w momencie T waloru bazowego, na który wystawiona jest opcja   Jeśli w chwili T cena rynkowa waloru (ST) jest większa od ceny wykonania K , to posiadający opcję kupna uzyskuje kwotę ST - K , ( opcja daje mu prawo do zakupienia waloru za cenę K, który może sprzedać po cenie rynkowej wynoszącej ST ). Jeśli ST ≤ K, to opcja kupna jest bezwartościowa i nie zostanie zrealizowana. Niech C oznaczać będzie cenę opcji kupna a P będzie ceną opcji sprzedaży

Funkcja wypłaty / europejska opcja kupna Definicja Funkcję zdefiniowaną wzorem   nazywamy funkcją wypłaty dla posiadacza opcji kupna.

Funkcja wypłaty / europejska opcja sprzedaży Jeżeli w chwili T cena rynkowa ST waloru będzie niższa niż cena realizacji K, to posiadacz opcji sprzedaży uzyskuje kwotę K - ST > 0 (opcja daje prawo do sprzedaży w cenie K waloru, który można kupić za ST). Jeżeli ST ≥ K to opcja sprzedaży jest bezwartościowa.

Funkcja wypłaty / europejska opcja sprzedaży Funkcję zdefiniowaną wzorem nazywamy funkcją wypłaty dla posiadacza opcji sprzedaży.

Zysk posiadacza opcji kupna (long call)

Zysk wystawcy opcji kupna (short call) C – cena opcji kupna (premia)

Zysk posiadacza opcji sprzedaży (long put) P – cena opcji sprzedaży (premia)

Zysk wystawcy opcji sprzedaży (short put) P – cena opcji sprzedaży (premia)

Zagadnienia Wycena opcji kupna w modelu jednookresowym Wycena opcji sprzedaży w modelu jednookresowym Wycena opcji kupna w modelu dwuokresowym Wycena opcji kupna w modelu dyskretnym wielookresowym Algorytm wsteczny wyceny Wzór na wycenę

Wycena opcji – model dwumianowy Autorzy (1979) : John Cox Stephen Ross Mark Rubinstein Model dwumianowy wyceny opcji zakłada, że zmiany ceny instrumentu bazowego kształtują się zgodnie z rozkładem dwumianowym.

Wycena opcji – model dwumianowy założenia o rynku doskonałym oprocentowanie depozytów i kredytów bankowych jest jednakowe wysokość zaciąganych kredytów nie jest ograniczona zapewniona jest płynność obrotu wszystkimi aktywami nie ma żadnych kosztów związanych z zawieraniem transakcji wszystkie aktywa są doskonale podzielne dopuszczalna jest krótka sprzedaż aktywów brak możliwości arbitrażu

Arbitraż Możliwość uzyskania zysku ponad stopę wolną od ryzyka, bez ryzyka ponoszenia strat Możliwość uzyskania zysku z różnicy cen, gdy walor handlowany jest na dwóch rynkach

Cel: określenie ceny opcji kupna C0 Dane: cena realizacji - K Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Instrument bazowy - akcja Cel: określenie ceny opcji kupna C0 Dane: cena realizacji - K cena początkowa akcji - S0 cena akcji po upływie okresu w przypadku wzrostu w przypadku spadku stopa wolna od ryzyka - r Zakładamy ponadto że - wycena będzie dokonana w warunkach obojętności wobec ryzyka, tzn. cena opcji nie będzie zależała od późniejszego zachowania akcji - akcja nie przynosi dywidendy - rynek jest doskonały

Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przykład cena realizacji – 110 zł cena początkowa akcji - 100 zł cena akcji po upływie okresu w przypadku wzrostu – 150 zł w przypadku spadku – 70 zł okresowa stopa wolna od ryzyka - 20 %

Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przykład Wartość opcji (funkcja wypłaty) po upływie jednego okresu w przypadku wzrostu ceny akcji Wartość opcji (funkcja wypłaty) po upływie jednego okresu w przypadku spadku ceny akcji

Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przykład Rozważmy portfel składający się z jednej opcji kupna w pozycji krótkiej oraz pewnej liczby akcji, którą oznaczamy symbolem ∆0 Wartość portfela po upływie jednego okresu będzie wynosić: - gdy cena akcji wzrośnie - gdy cena akcji spadnie.

Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przykład Zgodnie z założeniami portfel ma być wolny od ryzyka, czyli spełniać warunek oznacza to, że Stąd ∆0 = 0,5 Portfel powinien składać się z długiej pozycji w akcjach w liczbie 0,5 oraz z krótkiej pozycji opcji kupna w liczbie 1. W obu przypadkach (wzrostu bądź spadku ceny akcji) wartość portfela po upływie jednego okresu wynosi 35 zł.

Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przykład Aby po jednym okresie uzyskać z lokaty 35 zł należy w chwili początkowej zainwestować kwotę: Oznacza to, że wartość jego portfela (∆0 , - 1) w chwili początkowej musi być równa V0 = 29,17 zł. (Portfel jest wolny od ryzyka, dlatego jego okresowa stopa zwrotu musi być równa 20%). Z drugiej strony wartość portfela w chwili początkowej można przedstawić w postaci stąd C0 = 20,83

Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przykład Cena opcji C0 = 20,83 zł jest tzw. ceną arbitrażową, lub ceną fair. Gdyby cena opcji była większa, to inwestor potrzebowałby mniej niż 29,17 zł na konstrukcję portfela w chwili początkowej, zatem roczny zysk byłby większy niż 20%, czyli. istniałaby możliwość arbitrażu. (C0 = 22, to wartość portfela początkowego 28 zł, końcowego 35, zysk 25%) Gdyby cena opcji była mniejsza niż 20,83 zł , (np. 20 zł) to inwestor powinien zająć pozycję odwrotną (sprzedać akcje, kupić opcję, uzyskane pieniądze ze sprzedaży zdeponować na koncie). Ale wtedy upływie okresu wartość portfela byłaby większa niż 35 zł, (36 zł).

Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przypadek ogólny Rozważmy - jak w przykładzie - portfel składający się z jednej opcji kupna w pozycji krótkiej oraz pewnej liczby akcji ∆0 Portfel ma być wolny od ryzyka tzn: czyli gdzie

Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przypadek ogólny Gdyby d > 1+r, to możliwy byłby arbitraż polegający na możliwości zaciągnięcia nieograniczonego kredytu przy stopie r oraz inwestycja w akcje. Gdyby 1+r >u, to możliwy byłby arbitraż polegający na krótkiej sprzedaży akcji i ulokowanie pieniędzy na lokacie o oprocentowaniu r.

Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przypadek ogólny Skoro portfel jest wolny od ryzyka, jego roczna stopa zwrotu musi być równa stopie zwrotu wolnej od ryzyka. Zatem: wart. końc. portf./(1+r)= wart. początk. portf. Stąd wyliczając C0 otrzymujemy (uwzględniając wzór na delta)

Po uproszczeniach otrzymujemy

Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przypadek ogólny Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przypadek ogólny. Podsumowanie Cena europejskiej opcji kupna w dwustanowym modelu jednookresowym (przy wcześniejszych oznaczeniach) dana jest wzorem zatem

Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji sprzedaży. Cena europejskiej opcji sprzedaży z ceną realizacji K w jednookresowym modelu dwumianowym wynosi: gdzie P1u oraz P1u oznaczają wartości opcji sprzedaży odpowiednio po wzroście lub spadku akcji, czyli   Dowód w przypadku opcji sprzedaży można uzyskać naśladując postępowanie z dowodu dla opcji kupna

Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. UWAGI 1. Wzór określający cenę opcji kupna nie zawiera wartości prawdopodobieństw wzrostu ani spadku ceny akcji. 2. Liczby p i (1-p) można interpretować jako prawdopodobieństwo (odpowiednio) wzrostu, spadku ceny akcji Przy takiej interpretacji cena opcji kupna jest oczekiwaną wartością funkcji wypłaty zdyskontowaną czynnikiem (1+ r).

Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. UWAGI Przy przyjętej interpretacji liczb p i (1- p) wartość oczekiwana ceny akcji po roku jest równa przyszłej wartości kwoty S0 przeznaczonej na zakup akcji czyli Dowód

Model dwustanowy dwuokresowy wyceny opcji kupna. Zmienność ceny akcji

Model dwustanowy dwuokresowy gdzie

Model dwustanowy dwuokresowy wyceny opcji kupna Model dwustanowy dwuokresowy wyceny opcji kupna. Zmienność wartości opcji Oznaczenia wartości opcji w węzłach

Model dwustanowy dwuokresowy Stosując wzór na wycenę opcji kupna w modelu jednookresowym dla węzłów (b), (c) otrzymujemy Znając te wyceny można wyznaczyć cenę opcji w chwili początkowej - czyli w węźle (a)

Model dwustanowy dwuokresowy Podstawiając dwa poprzednie wzory do ostatniego otrzymujemy Mamy więc

Model dwustanowy dwuokresowy 1. Podobnie jak dla wyceny opcji w modelu jednookresowym liczby można interpretować jak prawdopodobieństwa odpowiednio dwukrotnego wzrostu ,wzrostu i spadku oraz dwukrotnego spadku akcji. 2. Wzór na wycenę opcji można przedstawić następująco

Model dwustanowy n – okresowy Uogólnienie wzoru na wycenę opcji kupna dla modelu dwuokresowego wycena opcji kupna w modelu dwuokresowym: wycena opcji kupna w modelu n - okresowym:

Interpretacja wzoru na wycenę opcji kupna w modelu n - okresowym Jeżeli p potraktujemy jako prawdopodobieństwo wzrostu akcji, to liczba jest prawdopodobieństwem uzyskania ceny końcowej akcji ukdn-kS0, zaś liczba Max(ukdn-kS0-K,0) jest wartością (funkcją wypłaty) opcji kupna przy tej cenie akcji. Liczba C0 jest więc równa zaktualizowanej na moment początkowy oczekiwanej wartości funkcji wypłaty.

Model dwustanowy n – okresowy Wzór na wycenę opcji sprzedaży Jeżeli p potraktujemy jako prawdopodobieństwo wzrostu akcji, to liczba P0 jest równa zaktualizowanej na moment początkowy oczekiwanej wartości funkcji wypłaty opcji sprzedaży. Liczba Max(K-ukdn-kS0, 0) jest wartością (funkcją wypłaty) opcji sprzedaży przy cenie akcji ukdn-kS0.

Model dwustanowy wielookresowy Przykład wyceny w modelu 10 - etapowym Dokonamy wyceny opcji kupna przy następujących danych

Model dwustanowy wielookresowy Algorytm wyceny w modelu 10 – etapowym Zbudowanie siatki cen akcji w modelu dwumianowym Ustalenie funkcji wypłaty opcji ( max{ cena końcowa akcji – cena realizacji opcji, zero}) Wycena opcji w węzłach sieci etapu 9, ze wzoru na wycenę w modelu jednoetapowym Wycena opcji w węzłach sieci etapu 8, ze wzoru na wycenę w modelu jednoetapowym Itd. Wycena opcji w momencie początkowym

Przykład wyceny w modelu 10 – etapowym Siatka cen akcji w modelu dwumianowym

Model dwustanowy 10 – etapowy. Ustalenie funkcji wypłaty z opcji po 10 Model dwustanowy 10 – etapowy. Ustalenie funkcji wypłaty z opcji po 10. etapie

Model dwustanowy 10 – etapowy. Ustalenie wartości opcji w 9 Model dwustanowy 10 – etapowy. Ustalenie wartości opcji w 9. etapie – ze wzoru na wycenę w modelu jednookresowym

Model dwustanowy 10 – etapowy Model dwustanowy 10 – etapowy. Ustalenie wartości opcji w każdym etapie, w kazdej sytuacji ( ze wzoru na wycenę w modelu jednookresowym)

Model dwustanowy 10 – etapowy Model dwustanowy 10 – etapowy. Ustalenie wartości opcji na podstawie wzoru

Wycena opcji J.C. Cox, S.A. Ross, M. Rubinstein Wycena opcji europejskiej w modelu dyskretnym Fischer Black, Myron Sholes, Robert Merton (1973) Wycena opcji europejskiej w modelu ciągłym Fischer Black, Myron Sholes Nagroda Nobla 1997- za nową metodę wyceny instrumentów pochodnych