KONTRAKTY FORWARD CENA WYKONANIA CENA TERMINOWA WARTOŚĆ KONTRAKTU CALL - PUT PARITY

Kontrakty forward Kontraktem terminowym typu forward jest umowa między dwoma podmiotami, dotycząca dostawy określonej ilości towaru (waloru) w ustalonej chwili w przyszłości po ustalonej cenie (jedna strona zobowiązuje się do sprzedania towaru zaś druga do kupienia)

Typowe instrumenty bazowe dla kontraktów forward  Metale  Surowce energetyczne  Zboża, kawa, cukier, soja  Stopy procentowe  Kursy wymiany walut  Papiery wartościowe

Elementy kontraktu forward  Cena jednostkowa dostawy (realizacji kontraktu) – delivery price (K)  Aktualna cena terminowa kontraktu – forward price (F)  Ilość towaru  Jakość  Miejsce dostawy  Data rozliczenia

Cena jednostkowa dostawy - K  Cena jednostkowa dostawy (np. cena baryłki ropy naftowej, tony miedzi, uncji złota)  Cena ta  jest rezultatem analizy popytu i podaży w dniu zawierania kontraktu  nie preferuje żadnej ze stron kontraktu (wartość kontraktu dla każdej strony w dniu zawierania kontraktu jest równa zeru)  nie zmienia się w czasie trwania kontraktu Cena dostawy będzie oznaczona literą K

Aktualna cena terminowa kontraktu – forward price (cena terminowa - F )  Aktualna cena terminowa kontraktu forward – cena dostawy, która zostałaby wynegocjowana przez strony kontraktu, gdyby negocjacje odbywały się w chwili bieżącej.  (Cena terminowa danego kontraktu jest określona przez cenę dostawy, dla której wartość kontraktu wynosi zero) , później cena terminowa podlega zmianom w zależności od ceny waloru będącego przedmiotem kontraktu  W chwili zawierania kontraktu cena terminowa jest równa cenie dostawy, później cena terminowa podlega zmianom w zależności od ceny waloru będącego przedmiotem kontraktu

Powody zawierania kontraktów  Zabezpieczenie przed ryzykiem  wzrostu cen surowców (kontrakty towarowe)  spadku cen surowców (kontrakty towarowe)  Zabezpieczenie przed wahaniami kursów walutowych (kontrakty na kursy walutowe)  Zabezpieczenie przed wzrostem kosztu kredytu (kontrakty na stopę procentową)  Osiągnięcie zysku  Osłona innych inwestycji

Charakterystyka kontraktów forward  Obrót pozagiełdowy (brak wartości giełdowej)  Warunki negocjowane między stronami kontraktu  Brak standaryzacji  Ceny nie są podawane do publicznej wiadomości  Strony kontraktu znają się nawzajem  Brak ograniczeń czasowych na handel kontraktami  Możliwe trudności w zamknięciu pozycji  Dostawa fizyczna towaru będącego przedmiotem kontraktu  Każda ze stron ponosi ryzyko niewywiązania się z kontraktu drugiej strony

Dwie strony kontraktu forward Każdy inwestor może otworzyć jedną z dwóch pozycji odpowiadających stronom w kontrakcie, w zależności od roli, jaką mają w umowie Każdy inwestor może otworzyć jedną z dwóch pozycji odpowiadających stronom w kontrakcie, w zależności od roli, jaką mają w umowie  Pozycję długą („nabycie kontraktu” – w konsekwencji kupno towaru będącego przedmiotem transakcji)  Pozycję krótką („wystawienie kontraktu” - w konsekwencji sprzedaż towaru będącego przedmiotem transakcji)

Założenia o rynku 1. 1.oprocentowanie depozytów i kredytów bankowych jest jednakowe i stałe w czasie 2. 2.wysokość zaciąganych kredytów nie jest ograniczona 3. 3.zapewniona jest płynność obrotu wszystkimi aktywami 4. 4.nie ma żadnych kosztów związanych z zawieraniem transakcji 5. 5.wszystkie aktywa są doskonale podzielne 6. 6.dopuszczalna jest krótka sprzedaż aktywów 7. 7.ciągła kapitalizacja odsetek 8. 8.brak możliwości arbitrażu

Arbitraż   Możliwość uzyskania zysku ponad stopę wolną od ryzyka, bez ryzyka ponoszenia strat   Możliwość uzyskania dodatniej wartości portfela o zerowej początkowej wartości   Możliwość wykorzystania „niedopasowań” rynkowych, pozwalająca na osiąganie dodatkowego zysku bez ponoszenia ryzyka (finansowe perpetuum mobile)   Możliwość uzyskania zysku z różnicy cen, gdy walorem handluje się na dwóch rynkach

Arbitraż Arbitraż jest sytuacją w której   w chwili t=0 portfel ma zerową wartość   w chwili t=T wartość portfela jest nieujemna z prawdopodobieństwem 1 oraz wartość portfela jest dodatnia z dodatnim prawdopodobieństwem

Notacja  K- cena jednostkowa dostawy w kontrakcie forward  T- okres (w latach) pozostający do dostawy  S – cena instrumentu bazowego, będącego przedmiotem kontraktu  F – cena terminowa kontraktu forward  f – wartość długiej pozycji w kontrakcie forward  r – wolna od ryzyka roczna stopa procentowa (przy ciągłej kapitalizacji) dla inwestycji kończącej się w dniu dostawy Litery S, F, f mogą wystąpić ze wskaźnikami wyznaczającymi punkt na osi czasu z przedziału [0; T] np. S 0, S t, S T, (F 0 = K) (F 0 = K)

Określenie sprawiedliwej ceny wykonania kontraktu forward na aktywa nie generujące przepływów finansowych Rozważmy w chwili t = 0 kontrakt forward na jeden walor, którego przechowanie nic nie kosztuje oraz nie przynosi do chwili t = T żadnych dochodów oraz możliwa jest krótka sprzedaż waloru. (Przykłady takich walorów to akcje nie przynoszące dywidendy, obligacje zerokuponowe) Stwierdzenie 1. Przy poczynionych założeniach o rynku sprawiedliwa cena wykonania K (=F 0 ) kontraktu na walor nie generujący przepływów finansowych, dana jest wzorem (1) K (= F 0 ) = S 0 e rT Termin realizacji T - wyrażony jest w latach, S 0 – cena waloru w chwili t = 0 (Cena terminowa w chwili t=0 jest więc wartością przyszłą bieżącej ceny waloru)

Określenie ceny wykonania kontraktu terminowego Uzasadnienie ( punkt widzenia właściciela waloru będącego przedmiotem kontraktu)   Podmiot posiadający walor (sprzedający) może w chwili t = 0 sprzedać walor za cenę S 0 i uzyskany przychód zdeponować – uzyskując w chwili t = T kwotę S 0 e rT. Zatem F 0 nie może być mniejsze niż S 0 e rT

Określenie ceny wykonania kontraktu terminowego F 0 nie może być większe niż S 0 e rT Gdyby F 0 > S 0 e rT, wówczas w chwili t = 0 można wykonać następujące operacje   pożyczyć w banku kwotę S 0   zakupić walor na rynku za S 0   zawrzeć kontrakt sprzedaży z ceną F 0 zaś w chwili t = T :   zrealizować kontrakt z ceną F 0   zwrócić pożyczkę z odsetkami – w kwocie S 0 e rT Portfel w chwili t=0 miał wartość zerową Różnica F 0 - S 0 e rT jest zyskiem arbitrażowym, zatem taka sytuacja jest niemożliwa z założenia

Określenie ceny wykonania kontraktu terminowego Przypuśćmy, że F 0 < S 0 e rT w chwili t = 0 można wykonać następujące operacje:   pożyczyć walor i sprzedać go za kwotę S 0 (krótka sprzedaż waloru)   kwotę S 0 zdeponować w banku   zawrzeć kontrakt kupna z ceną F 0 w chwili t = T należy:   wycofać z banku depozyt w kwocie S 0 e rT   zrealizować kontrakt kupna z ceną F   oddać walor zamykając krótką sprzedaż Różnica S 0 e rT - F 0 jest zyskiem arbitrażowym, zatem taka sytuacja jest niemożliwa z założenia

Przykład 1.   Cena wykonania 3 – miesięcznego kontraktu forward na akcję pewnej spółki wynosi 43 zł. Wolna od ryzyka roczna stopa procentowa w tym czasie wynosi 5%. Cena akcji – 40 zł. (nie jest spodziewana wypłata dywidendy)   Cena wykonania kontraktu jest za wysoka, możliwy jest arbitraż: t=0   Zaciągamy pożyczkę 40 zł, kupujemy akcję   Zajmujemy krótką pozycję na kontrakcie t=T   Sprzedajemy akcję w ramach realizacji kontraktu za 43 zł   Spłacamy pożyczkę w kwocie 40e 0,05* 0,25 = 40,5 Uzyskujemy zysk arbitrażowy w kwocie 2,50 zł

Przykład 2.   Cena wykonania 3 – miesięcznego kontraktu forward na akcję pewnej spółki wynosi 40,40 zł. Wolna od ryzyka roczna stopa procentowa w tym czasie wynosi 5%. Aktualna cena akcji – 40 zł. (nie spodziewana jest wypłata dywidendy)   Cena wykonania kontraktu jest za niska, możliwy jest arbitraż: t=0   Dokonujemy krótkiej sprzedaży akcji,   Uzyskaną kwotę lokujemy na koncie bankowym   Zajmujemy długą pozycję na kontrakcie t=T   Wypłacamy kwotę 40e 0,05* 0,25 = 40,50   Kupujemy akcję w ramach realizacji kontraktu za 40,40 zł   Oddajemy akcję (rozliczenie krótkiej sprzedaży) Uzyskujemy zysk arbitrażowy w kwocie 0,10 zł

Interpretacja wzoru F 0 = S 0 e rT Po elementarnych przekształceniach: (2) (2) - S 0 + F 0 / e rT = 0 W strategii : t = 0   kupno waloru,   krótka pozycja na kontrakcie, t =T   sprzedaż waloru w ramach realizacji kontraktu S 0 jest wydatkiem w chwili t = 0, F 0 jest wpływem uzyskanym w chwili t =T UWAGA 1. Równanie (2) stwierdza, że strumień zdyskontowanych na moment t = 0 przepływów finansowych w tej strategii jest równy zeru.

Interpretacja wzoru F 0 = S 0 e rT Wzór (1) jest równoważny wzorowi   (3) - S 0 + (S T )/e rT = - F 0 / e rT + (S T )/e rT gdzie S T oznacza cenę waloru w chwili t = T Lewa strona jest sumą zdyskontowanych przepływów pieniężnych w strategii:   kupno waloru za S 0 w chwili t=0,   sprzedaż waloru za S T w chwili t = T, Prawa strona jest sumą zdyskontowanych przepływów pieniężnych w strategii:   długa pozycja w kontrakcie z ceną wykonania F 0, lokata w banku kwoty F 0 / e rT w chwili t = 0,   Wycofanie lokaty, realizacja kontraktu – kupno waloru za F 0, sprzedaż waloru za S T w chwili t=T UWAGA 2. Strategie wymienione wyżej są równoważne

Cena terminowa kontraktu forward   Niech – jak poprzednio – S 0 oznacza cenę waloru w chwili t = 0. Niech F t - oznacza cenę terminową kontraktu forward zawieranego w chwili t z przedziału [0; T] oraz terminie realizacji T na walor o aktualnej cenie S t.   WNIOSEK 1. Z definicji ceny terminowej oraz z rozważań analogicznych do tych ze stwierdzenia 1 wynika, że cena ta wynosi (4) F t = S t e r (T - t) ponadto przy przyjętych oznaczeniach: F 0 = S 0 e rT, F T = S T

Wartość kontraktu terminowego kupna definicja Kontrakt terminowy zawarty w chwili t = 0 z ceną wykonania F 0 w chwili T, może być przedmiotem obrotu. Zasadne jest więc pytanie o jego wartość w chwili t z przedziału [0; T]. DEF. Wartość długiej pozycji f t kontraktu w chwili t definiuje wzór (5)f t = S t - e -r(T-t) F 0 Wartość kontraktu kupna w chwili t jest różnicą miedzy ceną rynkową waloru S t a zdyskontowaną na moment t ceną wykonania tego kontraktu

Wartość kontraktu terminowego kupna Przykład 1   Przykład. Przed trzema miesiącami został zawarty 9 miesięczny kontrakt na akcję spółki. Cena terminowa kontraktu wynosiła wtedy 26,50 zł. Aktualna cena akcji tej spółki wynosi 25,50 zł. Jaka jest wartość pozycji długiej w tym kontrakcie, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 6% ?   Stosujemy wzór f t = S t - e -r(T-t) F 0 w którym   S t =25,50; F 0 = 26,50; r=0,06; T = 0,75; t = 0,25   f t = 25,50 – e -0,06*0,5 26,50 = - 0,21681   wartość pozycji długiej w tym kontrakcie wynosi (-0,22 zł)

Wartość kontraktu terminowego kupna Interpretacje wzoru f t = S t - e -r(T-t) F 0   Uwzględniając wzór (4) na cenę F t, F t = S t e r (T - t) oraz f t = S t - e -r(T-t) F 0 wzór na wartość kontraktu przyjmuje postać f t = e -r(T- t) F t - e -r(T- t) F 0 (6) f t = e -r(T- t) (F t - F 0 ) Wartość kontraktu kupna (długiej pozycji) w chwili t jest równa zdyskontowanej różnicy miedzy ceną terminową F t a ceną wykonania F 0 lub inaczej – zdyskontowanej różnicy miedzy cenami wykonania kontraktów zawieranych w chwilach t=0 oraz t=t i tym samym terminem realizacji T Wartość kontraktu kupna zależy od zmiennej ceny waloru S t, może więc przyjmować różne znaki. Ponadto f 0 = S 0 - F 0 / e rT = 0, f T = S T - F 0

Wartość kontraktu terminowego kupna Przykład 2   Przykład. Przed trzema miesiącami został zawarty 9 miesięczny kontrakt na akcję spółki. Cena terminowa kontraktu wynosiła wtedy 26,50 zł. Aktualna cena terminowa kontraktu wynosi 27,00 zł. Jaka jest wartość pozycji długiej w tym kontrakcie, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 6% ? Zastosujemy wersję wzoru na wartość kontraktu f t = e -r(T- t) (F t - F 0 ) F 0 = 26,50; t = 0,25; T = 0,75; F t = 27,00; r = 0,06 f t = e -0,06*0,5 = 0, (27,00 – 26,50) = 0, wartość pozycji długiej w tym kontrakcie wynosi 0,49 zł

Wartość kontraktu terminowego kupna c. d.   Uwzględniając we wzorze f t = S t - e -r(T-t) F 0 fakt, że F 0 = S 0 e rT otrzymujemy f t = S t - e -r(T- t) S 0 e rT = S t - S 0 e rt, zatem (7) f t = S t - S 0 e rt   Uzyskana równość dostarcza kolejną interpretację wartości kontraktu kupna: jest to różnica między ceną waloru w chwili t, a aktualizacją jego ceny z chwili 0 na moment t

Wartość kontraktu terminowego kupna Przykład 3   Przed trzema miesiącami został zawarty 9 miesięczny kontrakt na akcję spółki, której cena wynosiła wówczas 25 zł. Aktualna cena akcji tej spółki wynosi 24 zł. Jaka jest wartość pozycji długiej w tym kontrakcie, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 6% ?     Zastosujemy ostatnią postać wzoru na wartość pozycji długiej: f t = S t - S 0 e rt S t = 24, S 0 = 25, t = 0,25; r = 0,06   f t = * 1, = -1,38

Wartość kontraktu terminowego kupna przy danej cenie dostawy K   Zastępując we wzorach (5) i (6) literę F 0 - ceną dostawy kontraktu zawartego w chwili t=0, literą K, otrzymujemy wersje (5’) i (6’) wzorów na wartość pozycji długiej w kontrakcie w chwili t (z przedziału [0; T] ) (5’) f t = S t - e -r(T-t) K (6’) f t = e -r(T- t) (F t - K ) lub jeszcze inaczej: (8) f = S - e -rT K (9) f = e -rT (F- K ) S- aktualna cena waloru, T- czas do terminu realizacji, F – cena terminowa kontraktu

Wartość kontraktu terminowego kupna przy danej cenie wykonania   Przykład. Aktualna cena akcji pewnej spółki wynosi 25 zł. Jaka jest wartość pozycji długiej w 6-miesięcznym a kontrakcie na akcję tej spółki, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 6%, a cena dostawy wynosi 24 zł   Zastosujemy wzór f = S - e -rT K gdzie S=25, K=24, r=0,06, T=0,5   F=25 - 0,970446*24 = ,29069 = 1,   Wartość kontraktu wynosi 1,71 zł

Wartość kontraktu terminowego sprzedaży   Wartość kontraktu sprzedaży jest równa wartości przeciwnej „sprzężonego” z nim kontraktu kupna tego samego waloru, zawartego w tym samym momencie z tym samym czasem wykonania.   Zatem w chwili t wartość kontraktu sprzedaży to   (10) f t = e -r(T-t) F 0 - S t   Dla krańców przedziału czasowego otrzymujemy   f 0 = e -rT F 0 - S 0 = 0   f T = F 0 - S T

Wartość kontraktu terminowego sprzedaży Analogicznie do wartości kontraktu kupna, wartość kontraktu sprzedaży f t = e -r(T-t) F 0 - S t może przyjąć postać z uwzględnieniem ceny terminowej (11) f t = e -r(T- t) (F 0 - F t ) lub opierać się na tylko cenie instrumentu bazowego (12) f t = S 0 e rt - S t Przy danej cenie wykonania K, cenie terminowej F wartość kontraktu na T przed terminem realizacji: (13) f = e -rT (K - F)

Parytet cen opcji kupna i sprzedaży Call-put parity Rozważmy portfel o składzie: 1. europejska opcja sprzedaży waloru o aktualnej cenie S 0 z ceną realizacji K i terminem realizacji T, 2. kontrakt terminowy kupna tego samego waloru z tą sami ceną realizacji i z tym samym terminem realizacji co opcja sprzedaży. Rozpatrzmy dwa przypadki: a) a)w chwili T: S(T) < K kontrakt terminowy przyniesie stratę K-S(T) opcja sprzedaży przyniesie wypłatę K-S(T), zatem - nie uwzględniając kosztów transakcji – przepływy finansowe w chwili T mają bilans zerowy b) w chwili T: S(T) > K kontrakt terminowy przyniesie zysk równy S T - K opcja sprzedaży będzie bezwartościowa i nie zostanie wykonana Zatem w chwili T wypłata portfela będzie równa S T - K

Parytet cen opcji kupna i sprzedaży Wniosek 1. Rozważany portfel ma w chwili T funkcję wypłaty opcji kupna. Wniosek 2. Skoro wartość portfela w chwili T jest wartością opcji kupna, zatem te wartości muszą być także równe w chwili początkowej, czyli C 0 = P 0 + V gdzie C 0, P 0 ceny odpowiednio opcji kupna, opcji sprzedaży, V - wartość kontraktu terminowego kupna w chwili t = 0, czyli C 0 = P 0 + S 0 - e -rT K 0,T

Określenie (sprawiedliwej) ceny wykonania kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe   Pewne aktywa będące przedmiotem kontraktów terminowych mogą generować przepływy finansowe (dochody lub koszty) w przedziale czasu od zawarcia kontraktu do terminu realizacji.   (akcje – wypłaty dywidend, obligacje – kuponów; towary, surowce powodują koszty magazynowania)   Przepływy w przedziale [0, T] oznaczamy przez   C 1,..., C n. Dodatnie liczby oznaczają dochody posiadacza aktywa, ujemne – koszty.

Określenie ceny wykonania kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe Rozważmy dwie strategie analogiczne do rozpatrywanych w przypadku braku dodatkowych przepływów w UWADZE 2. strategia I:   w chwili t = 0 kupno waloru za S 0,   realizacja przepływów generowanych przez walor w chwilach t 1,..,t n w chwili t = T   sprzedaż waloru za S T, strategia II: w chwili t=0   długa pozycja w kontrakcie z ceną wykonania F 0, lokata w banku kwoty F 0 / e rT, w chwili t = T   wycofanie lokaty, realizacja kontraktu – kupno waloru za F 0, sprzedaż waloru za S T Jak poprzednio, strategie wymienione wyżej powinny być równoważne, zatem sumy zdyskontowanych przepływów pieniężnych w tych strategiach – równe.

Określenie ceny wykonania kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe Suma zdyskontowanych przepływów pieniężnych w strategii I:   - S 0 + (C 1 )/e rt (C n )/e rt n + (S T )/e rT Suma zdyskontowanych przepływów pieniężnych w strategii II:   - F 0 / e rT + (S T )/e rT Wobec równoważności obu strategii   - S 0 + (C 1 )/e rt (C n )/e rt n + (S T )/e rT = - F 0 / e rT + (S T )/e rT Stąd wyliczamy F 0 (14)F 0 = [S 0 – ((C 1 )/e rt (C n )/e rt n )] e rT Zatem cena wykonania kontraktu jest równa wartości przyszłej (w chwili t =T) ceny waloru z chwili t = 0 skorygowanej o wartość bieżącą przepływów C 1,...,C n.

Określenie ceny wykonania kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe   F 0 = [S 0 – ((C 1 )/e rt (C n )/e rt n )] e rT (15) (15)F 0 = [S 0 – Σ i PV(C i )] e rT symbolicznie (16) (16)F = (S – PV) e rT Po elementarnych przekształceniach wzoru (15): - S 0 + Σ i PV(C i ) + F 0 / e rT = 0 W strategii : t = 0 kupno waloru, krótka pozycja na kontrakcie, t =T sprzedaż waloru za F 0 w ramach realizacji kontraktu S 0 jest wydatkiem w chwili t = 0, C i i=1,..., i=n są wpływami w przedziale czasu [0;T] F 0 jest wpływem uzyskanym w chwili t =T.   Równanie (15) stwierdza, że strumień zdyskontowanych na moment t = 0 przepływów finansowych w tej strategii jest równy zeru (identyczna sytuacja jak w Uwadze 1)

Dowód Można uzasadnić prawdziwość wzoru (16) z założenia braku arbitrażu. Przypuśćmy że F’ < F = (S - PV) e rT Stosujemy s trategię: t = 0   pożyczamy walor, dokonujemy krótkiej sprzedaży uzyskując kwotę S,   pieniądze w kwocie (S - PV) lokujemy przy stopie r na okres T, kwotę PV również lokujemy przy stopie r, ale wcześniej dzielimy na tyle części, ile jest wypłat i w takiej proporcji, by te wypłaty zrealizować;   zajmujemy długą pozycję na kontrakcie z ceną realizacji F’ 0 < t <T   realizujemy przepływy (wypłaty) t =T   podejmujemy kwotę (S - PV) e rT, realizujemy kontrakt kupując walor za F’ Kwota [ (S - PV) e rT – F’] jest arbitrażowym zyskiem

Dowód c.d.   Przypuśćmy że F’ > F = (S - PV) e rT Stosujemy s trategię: (t = 0) kupujemy walor wydając kwotę S, zajmujemy krótką pozycję na kontrakcie z ceną realizacji F’ (0 < t < T) realizujemy przepływy - dochody, których łączna wartość na chwilę t = 0 wynosi PV. (Bieżąca wartość wydatków w chwili t=0 wynosi więc (S - PV) ) (t =T) realizujemy kontrakt sprzedając walor za F’ wartość naszej inwestycji w chwili T, to (S - PV) e rT Kwota [F’- (S - PV) e rT ] jest arbitrażowym zyskiem

kontrakty terminowe na aktywa generujące przepływy finansowe Przykład 1. Aktualna cena obligacji kuponowej 5- letniej o nominale 1000 zł wynosi 930 zł. Płatności kuponowe w wysokości 40 zł następują co pół roku. Wolna od ryzyka stopa procentowa wynosi 8%. Jaka winna być cena wykonania rocznego kontraktu na tą obligację z terminem wykonania zaraz po drugiej wypłacie? (15) (15) F 0 = [S 0 – Σ i PV(C i )] e rT t 1 = 0,5; t 2 = 1; T =1 F 0 = (930 – 40/e 0,08*0,5 - 40/e 0,08 )e 0,08 = 925,8245 Cena wykonania takiego kontraktu wynosi 925,82 zł

kontrakty terminowe na aktywa generujące przepływy finansowe Przykład 2. Aktualna cena tony miedzi wynosi 8730 $ Koszty kwartalne przechowania 1 tony to 150$ płatne z góry. Wolna od ryzyka stopa procentowa wynosi 6%. Jaka winna być cena terminowa 9 miesięcznego kontraktu na tonę tego surowca. (15) (15) F 0 = [S 0 – Σ i PV(C i )] e rT t 1 =0; t 2 = 0,25; t 3 = 0,5 T = 0,75 F 0 = ( /e 0,06*0, /e 0,06*0,5 )e 0,06 *0,75 = ( , ,567 ) 1,046 = 9595,563 Cena terminowa takiego kontraktu forward powinna wynosić 9595,56 $

Wartość kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe przy danej cenie dostawy K Cena dostawy - K Do ogólnego wzoru na wartość kontraktu kupna f = e -rT (F - K ) wstawiamy F = (S – PV) e rT Otrzymujemy   f = e -rT ( (S – PV) e rT - K ) = S – PV - K e -rT   (17) f = S – PV - K e -rT

Cena wykonania kontraktu forward na aktywa generujące stałą stopę zwrotu (np. akcje o stałej stopie dywidendy)   Stopa dywidendy: q = wielkość dywidendy / cena akcji   Założenia dodatkowe   Dywidenda wypłacana jest w sposób ciągły przy rocznej stopie dywidendy q   Dochód z dywidendy jest reinwestowany w akcje (ciągłe powiększanie portfela akcji)   Cena akcji jest stała   Rozważmy następującą strategię: t=0   Zakup e -qT akcji o stopie dywidendy q   Krótka pozycja na kontrakcie forward na akcję z ceną F t=T   Sprzedaż posiadanych akcji – realizacja kontraktu.

Cena wykonania kontraktu forward na akcje o stałej stopie dywidendy   Gdyby inwestor w chwili początkowej nabył 1 akcję to po roku miałby już e q akcji, zaś po czasie T, byłby posiadaczem e qT akcji   Ponieważ początkowa liczba akcji wynosiła e -qT, zatem końcowa liczba to e -qT e qT = 1   Założenie, że akcje są podzielne nie jest zupełnie nierealistyczne. Mając bowiem pakiet akcji to przy cenie akcji 100 zł, q=5%, T=0,01, dywidenda w tym okresie wynosi 10000*100*(e 0,05*0,01 - 1)=500,13;   umożliwia zatem zakup dodatkowych 5 akcji

Cena wykonania kontraktu forward na akcje o stałej stopie dywidendy   Strategia inwestora charakteryzuje się dwoma przepływami: wydatkiem Se -qT w chwili początkowej, przychodem F po czasie T.   Tak jak w pierwszej sytuacji (wzór (2), UWAGA 1) musi zachodzić równość   - Se -qT + F/ e rT = 0, Skąd otrzymujemy   (18) F = S e (r- q) T