DYNAMIKA PŁYNÓW RZECZYWISTYCH Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Mechaniczny Technologiczny Kierunek Mechanika i Budowa Maszyn DYNAMIKA PŁYNÓW RZECZYWISTYCH Marcin Szadyko Łukasz Sroka Gr.4 Semestr 6 Rok akademicki 2005/2006

Płynem rzeczywistym nazywamy płyn lepki i ściśliwy, podczas przepływu, którego występują straty energii związane z tarciem wewnętrznym pomiędzy przemieszczającymi się warstwami. Prędkość teoretyczna przepływu w płynie doskonałym jest zawsze większa od prędkości rzeczywistej, a różnicę nazywa się stratą prędkości. Stosunek średniej prędkości rzeczywistej do prędkości teoretycznej jest nazywany współczynnikiem prędkości α0. Straty prędkości są spowodowane lepkością cieczy i są mniejsze ze wzrostem liczby Reynoldsa, czyli dla przepływów turbulentnych. Drugie charakterystyczne zjawisko towarzyszące przepływowi płynu rzeczywistego jest kontrakcją strumienia, polegającą na tym, że przekrój strumienia w pewnej odległości od przekroju wylotowego jest mniejszy od pola powierzchni tego przekroju. Iloraz obydwu pól nazywa się współczynnikiem kontrakcji. Przykładowo dla przekroju kołowego współczynnik kontrakcji posiada wartość:

Iloczyn β0 = κ0α0 nazywa się współczynnikiem wydatku i przyjmuje wartość β0 = 0,60 dla przekrojów kołowych. Przepływy rzeczywiste płynu są na ogół przepływami niestacjonarnymi, o stałych amplitudach zaburzeń oraz przepływami turbulentnymi, przy utracie stateczności przepływu. Zjawiska te zostały potwierdzone doświadczalnie w 1883 r. przez Reynoldsa. Stateczne przepływy płynu rzeczywistego nazywają się przepływami laminarnymi i występują dla liczb Reynoldsa < 2300.

Równanie Bernoulliego dla płynu newtonowskiego Równanie Daniela Bernoulliego dla rzeczywistego płynu (newtonowskiego) przy uwzględnieniu strat przepływu wzdłuż linii prądu ma postać: (1.1) gdzie hi,str jest stratą przepływu, wyróżniając straty liniowe i lokalne. Energia kinetyczna przepływu zwana wysokością rozporządzalną jest określona zależnością: (1.2) gdzie α jest współczynnikiem Coriolisa, określonym wzorem: (1.3)

Wartość współczynnika Coriolisa dla przepływu laminarnego Poiseuille’a wynosi α = 2, natomiast dla przepływu turbulentnego =1,1 – 1,2. Różniczkując względem elementu dl długości linii prądu wysokość rozporządzalną wyznaczono spadek hydrauliczny: (1.4) Przykładowo dla przepływu płynu przez przewód o długości l nachylony do poziomu pod kątem α spadek hydrauliczny wynosi: (1.5)

Straty przepływu rzeczywistego. Liczba Reynoldsa Równanie ciągłości przepływu dla płynu ściśliwego ma postać: , (1.6) a jego przedstawienie rozwinięte: (1.7) Straty przepływu rzeczywistego. Liczba Reynoldsa W przewodzie rurowym występują straty przepływu zwane tarciem hydraulicznym lub stratami ciągłymi oraz straty w połączeniach przewodów. Straty energii dla rur o przekroju kołowym dla laminarnego przepływu w rurze są opisane wzorem Darcy’ego: (1.8)

gdzie v jest lepkością kinematyczną płynu, gdzie μ lepkość dynamiczna gdzie λ jest współczynnikiem strat ciągłych zależnym od liczby Reynoldsa Re i od chropowatości wewnętrznych ścian przewodu. Liczbę Reynoldsa dla przewodu o przekroju kołowym wyznacza się ze wzoru: (1.9) gdzie v jest lepkością kinematyczną płynu, gdzie μ lepkość dynamiczna Współczynnik strat λ określa się ogólnym wzorem: (1.10) W przypadku przepływu laminarnego płynu w rurze przyjmuje się 1 = 64 b1 = 1, 2 = 3 = … = n = 0. Wtedy zależność (1.8) jest postacią:

(1.11) gdzie Liczna Reynoldsa dla przepływu laminarnego jest rzędu Re < 2300. W przypadku przepływu turbulentnego współczynnik strat λ określa się na podstawie wzoru Blasiusa: (1.12) Wzór (1.12) daje wartości zgodne z doświadczalnymi dla przepływu turbulentnego w zakresie liczb Reynoldsa 2300 ≤ Re ≤ 80000 Dla przewodów o przekrojach dowolnych liczbę Reynoldsa oblicza się ze wzoru: (1.13)

gdzie rn jest promieniem hydraulicznym o wartości: (1.14) natomiast Sz jest przekrojem strumienia cieczy, Lz jest obwodem zwilżonym. Straty lokalne w przewodzie, a dokładniej w przekroju stanowiącym jego połączenia w rozszerzeniu z drugim przewodem, określimy na podstawie straty energii przepływu według równania Bernoulliego: (1.15) skąd obliczono: (1.16) Na podstawie prawa zachowania pędu , (1.17)

S2 > S1 , , , obliczono zmianę ciśnienia: (1.18) W przypadku rozszerzenia przewodu założono S2 > S1. Podstawiając (1.18) do zależności (1.16) wyznaczono współczynnik strat lokalnych: (1.19) Uwzględniając prawo ciągłości przepływu: S2 > S1 , (1.20) współczynnik strat lokalnych przyjmie postać: (1.21) (1.22)

gdzie: Wzór (1.22) jest potwierdzony doświadczalnie dla przepływów turbulentnych przy kątach rozwarcia δ < 14o. W przypadku nagłego zwężenia się rurociągu (rys.1 ) współczynnik strat lokalnych określa zależność: (1.23) Rys.1 Zwężenia przewodu

Współczynnik strat przy nagłym rozszerzeniu rurociągu wynosi: (1.24) gdzie: S2 > S1 , Współczynnik strat przy nagłym zwężeniu rurociągu  > 1 (1.25) Zadanie 1 Ciecz o ciężarze właściwym γ przepływa przez przewód o średnicy d, znajdujący się na dole otwartego zbiornika o wysokości h napełnienia cieczą. W przewodzie w przekroju B podczas przepływu cieczy powstała kontrakcja i nagłe zwężenie przewodu o średnicy d0 < d (rys.2). Obliczyć prędkość przepływu płynu przez przewód przy uwzględnieniu straty lokalnej oraz ciśnienie p0 w przekroju B.

Rys.2 Rozwiązanie: Ze wzoru Torricelliego Natomiast z równania ciągłości przepływu mamy: gdzie:

Z prawa Bernoulliego przy uwzględnieniu kontrakcji: Uwzględniając, że 0 > 1 Obliczono ciśnienie w przewężeniu: gdzie: Określono zatem ciśnienie w przewężeniu:

Przepływ płynu rzeczywistego przez rurociąg. Prawo Hagena – Poiseuille’a Profil prędkości przepływu laminarnego płynu w rurce o przekroju kołowym posiada kształt paraboliczny (rys.3a) w zakresie liczb Reynoldsa do wartości Re ≤ 2300. Założono stałą lepkość v oraz gęstość ρ płynu i pominięto pole sił masowych (pole wywołane polem grawitacji). Różniczkowe równania ruchu cząstki płynu przez rurociąg mają postać : (2.1) gdzie C charakteryzuje szorstkość ścianki rurki kołowej, vx = vx(r). Równanie (2.1) są rozwiązywane przy warunkach brzegowych r = R, vx(R) = 0, dla r = 0. Oznacza to, że w środku rurki prędkość

Rys.3 Przepływ Poiseuille’a przepływu osiąga maksymalną wartość, natomiast na jej ściance prędkość przyjmuje wartość zerową. Rys.3 Przepływ Poiseuille’a Przyjmując oznaczenie , drugie równanie układu (2.1) jest postacią: (2.2)

Rozwiązaniem równania jest funkcja: a po powtórnym scałkowaniu przy założonych warunkach brzegowych: (2.3) stałą C równą szorstkości ściany określono na podstawie pierwszego równania (2.1): (2.4) gdzie, l jest długością przewodu. Podstawiając (2.4) do równania (2.1) określono ostatecznie pole prędkości przepływu płynu przez rurociąg, zwane przepływem Poiseuille’a: (2.5)

„Natężenie przepływu płynu lepkiego przez rurę o stałej średnicy (2.6) gdzie jest maksymalną wartością prędkości przepływu w środku rury dla r = 0. Natężenie przepływu płynu przez rurę obliczono na podstawie wzoru całkowego: (2.7) Wzór (2.7) stanowi treść prawa Hagena – Poiseuille’a dla przepływu laminarnego płynu przez rurociąg: „Natężenie przepływu płynu lepkiego przez rurę o stałej średnicy jest proporcjonalne do długości przewodu”. Wyznaczymy następnie średnią wartość prędkości przepływu płynu przez rurkę:

Uwzględniając zależności (2. 4), (2 Uwzględniając zależności (2.4), (2.5) wartość średnia prędkości wynosi: (2.8) Ze wzoru (4.34) obliczono przyrost ciśnienia w rurce: (2.9) Wartość straty energii: (2.10) Wprowadzając liczbę Reynoldsa określono wysokość strat przepływu (2.11)

Natomiast wartość strat ciśnienia w rurce wyniesie: (2.12) Dla przepływów turbulentnych kształt profilu prędkości jest bardziej równomierny wzdłuż średnicy rury, co ilustruje rys.3.b. Średnia wartość prędkości przepływu przez rurę jest równa w przybliżeniu prędkości maksymalnej vśr = vmax. Natomiast liczbę Reynoldsa określa wzór: (2.13) gdzie rn jest promieniem hydraulicznym o wartości: Sz jest polem

przekroju zwilżenia cieczy, Lz jest obwodem zwilżenia. Przykładowo dla rurki o przekroju kołowym wypełnionej do połowy cieczą promień hydrauliczny posiada wartość: Współczynnik strat λ przy przepływach turbulentnych w zakresie liczb Reynoldsa dochodzących do Re = 150000 szacuje się wg wzoru Schillera i Hermanna: (2.14) Doświadczalną zależność pomiędzy liczbą strat λ oraz liczbą Reynoldsa Re sformułował Mises .

Zadanie 2 Obliczyć średnią wartość prędkości przepływu płynu przez przewód o średnicy d i długości l, nachylony do poziomu pod kątem α. Płyn tłoczony jest z pompy pod ciśnieniem p. Należy uwzględnić ciągłe straty przepływu wg wzoru Darcy’ego. Rozwiązanie Maksymalną wartość prędkości określa wzór: gdzie (1)

(2) Z równości (1) obliczono wartość maksymalnej oraz średniej prędkości przy uwzględnieniu strat ciągłych. (3) (4) gdzie Δp > γh Współczynnik strat

Równanie Naviera – Stokesa Dla płynów rzeczywistych, przy uwzględnieniu lepkości dynamicznej o współczynniku μ wektora, postać równania zachowania pędu może być zapisana w formie: (3.1) gdzie δ – jest tensorem jednostkowym, Td – jest tensorem deformacji. Dla uproszczenia założono stałą lepkość płynu, μ = const. Równanie (3.1) można również przedstawić w postaci: (3.2)

Pierwszy składnik równania (3 Pierwszy składnik równania (3.2) określa składowe wektora deformacji odkształcenia postaciowego i można je wyrazić wzorami: (3.3) gdzie (3.4) jest laplasjanem (operator Laplace’a).

Równanie (3. 2) przy uwzględnieniu wyrażeń (3 Równanie (3.2) przy uwzględnieniu wyrażeń (3.3) przyjmuje postać skalarną: (3.5) Równania (3.5) nazywamy równaniem Naviera – Stokesa w ortokartezjańskim układzie współrzędnych (0, x, y, z). Do równania (3.5) dołącza się równanie ciągłości przepływu: (3.6)

Rozwinięte skalarowi postacie równań (3.5) są dość złożone. Pochodne składowych wektora prędkości przepływu vx, vy, vz posiadają składnik substancjalny i rotacyjny, opisany operatorem Stokesa : (3.7) gdzie macierz diady operatora Stokesa przyjmuje postać: (3.8)

gdzie są operatorem nabla i diagonalnym operatorem różniczkowym nabla o wymiarze 3. Wykonując działania operatorowe zgodnie z równaniem (3.7) otrzymamy szczegółową postać skalarną operatora Stokesa

Szczegółowe postacie równań (3. 5), po uwzględnieniu wzorów (3. 7), (3 Szczegółowe postacie równań (3.5), po uwzględnieniu wzorów (3.7), (3.8), są następujące: (3.9)

Równania Naviera – Stokesa we współrzędnych walcowych gdzie: (3.10) są pochodnymi absolutnymi składowych wektora prędkości względem zmiennych (x, y, z, t). Wielkości Fx, Fy, Fz oznaczają składowe wektora sił masowych. Równania Naviera – Stokesa we współrzędnych walcowych Równania Naviera – Stokesa we współrzędnych walcowych (r, φ, z) przy założeniu stałej lepkości płynu nieściśliwego przyjmują postać :

(4.1) gdzie: (4.2)

są składowymi wektora przyspieszenia płynu są składowymi wektora przyspieszenia płynu. Bardziej złożona postać równania Naviera – Stokesa dotyczy opisu ruchu płynu rzeczywistego o zmiennej lepkości μ i jest przytoczona w literaturze. Zadanie 3 W poziomym przewodzie o średnicy D znajduje się pręt o średnicy d, przemieszczający się w kierunku osi x z prędkością u. Wnętrze rury pomiędzy ścianą przewodu a prętem wypełnione jest cieczą o lepkości kinematycznej  i gęstości ρ. Wyznaczyć prędkość przepływu płynu w kierunku osi x w funkcji promienia r (odległość dowolnej cząstki cieczy od osi x)

Ruch płynu jest ustalony, prostoliniowy, czyli Rozwiązanie Ruch płynu jest ustalony, prostoliniowy, czyli Warunki brzegowe są: co wynika z równania ciągłości przepływu. Równania Naviera - Stokesa redukują się w przypadku jednego równania w kierunku osi x: ( 1 ) gdzie p = p(r) jest ciśnieniem punktu w odległości r od osi X. Z zasady zachowania pędu wynika równanie: ( 2 )

Całkując równanie (2) dwukrotnie wyznaczono: ( 3.1 ) ( 3.2 ) Uwzględniając warunki brzegowe uzyskano układ równań ze względu na stałe C1, C2: ( 4 ) Rozwiązując układ równań (4) obliczono wartości stałych: ( 5 )

Podstawiając stałe C1 C2 do równości (3.2) wyznaczono prędkość przepływu w kierunku osi X w funkcji promienia r: ( 6 ) Założono liniową zmianę ciśnienia p w funkcji promienia r : ( 7 ) Podstawiając do równania (6) wartość pochodnej ciśnienia ( 8 ) Maksymalna wartość prędkości występuje w punktach położonych w odległości rśr do osi X: ( 9 )

Straty hydrodynamiczne przepływu Podczas ruchu ciała w płynie lepkim (oraz przepływu płynu w przewodzie) działa siła oporu, która w ogólności zależy od gęstości, lepkości oraz prędkości V: (5.1) Dla płynów rzeczywistych zależność f(Re) wyznacza się na ogół doświadczalnie, gdzie jest liczbą Reynoldsa. Przy opływie ciała przez ciecz wartość siły oporu jest proporcjonalna do różnicy ciśnień statycznych p-p∞ na powierzchni ciała w warstwie przyściennej i wynosi: (5.2)

gdzie V∞ jest prędkością przepływu niezakłóconego, Sp jest polem powierzchni przekroju czołowego ciała. Rys. 4 Wartość współczynnika Cp zależy od kształtu (profilu) ciała przy opływie, kąta natarcia a i liczby Re. Składowa pozioma Rxt siły oporu R nazywa się siłą tarcia opływu lub oporem powierzchniowym i posiada wartość: (5.3) gdzie St jest polem powierzchni opływanego ciała. Składowa pionowa Ry nazywa się siłą nośną i posiada wartość:

(5.4) gdzie S jest polem płata poziomego o największej wartości, zwanym płatem lotniczym, Cy jest współczynnikiem siły nośnej. Każdy profil posiada krytyczny kąt natarcia αkr dla którego siła Ry osiąga wartość maksymalną. Podczas przepływu turbulentnego płynu w przewodzie kołowym występuje opór przepływu zależny od profilu prędkości. Naprężenia styczne r zwane naprężeniami newtonowskimi określa wzór: (5.5) których największe wartości występują na powierzchni wewnętrznej przewodu dla r=R; n oznacza wektor jednostkowy normalny, η jest współczynnikiem lepkości dynamicznej. Siłę tarcia stycznego przy opływie elementu walcowego o długości l i promieniu R obliczamy jako: (5.6)

Przez C oznaczono współczynnik oporu hydrodynamicznego o wartości: (5.7) W przypadku przepływu PoiseuiIle'a uwzględniając wzór na prędkość przepływu: (5.8) i obliczając pochodną : (5.9) wyznaczono wartość siły tarcia w funkcji promienia r : (5.10) gdzie Vśr=Vmax/2 jest prędkością średnią. Maksymalna wartość siły tarcia przy przepływie Poiseuille'a występuje na ściance wewnętrznej przewodu dla r=R i wynosi: Tmax=bVśr

Opływy ciał i wiry Karmana Rozpatrujemy opływ ciała sztywnego zanurzonego w przemieszczającym się płynie, stanowiącego nieruchomą przeszkodę o określonej geometrii, np. w formie walca, kuli elipsoidy lub tzw. dysku. Zjawisko opływu jest związane z natarciem strumienia płynu z prędkością v na powierzchnię (zwykle z jednej strony) ciała i zniekształceniem linii prądu (np. równoległych linii strugi po napotkaniu przeszkody). Z drugiej strony opływanego ciała, w pobliżu jego powierzchni powstaje „martwa" strefa przepływu (tzw. cień hydrodynamiczny), w którym panuje podciśnienie, co może spowodować osobliwy przepływ przedostających się tam cząstek płynu w pobliżu wirów (linii wiru). Wiry nazwano od nazwiska badacza tego zjawiska wirami Karmana. Ilustrację wirów Karmana przy opływie walca zanurzonego w strumieniu płynu stanowi rys.5 Z kolei dla ciała bardziej spłaszczonego w formie dysku zawirowania powstają jedynie tuż przy powierzchni ciała po jego drugiej stronie, zaś linie prądu przy opływie ciała ulegają zniekształceniu rys 6.

Rys.5 Rys.6

Prędkość opływu płynu przy powierzchni walca wynosi: Rozkład ciśnień na powierzchni walca można obliczyć przy zastosowaniu prawa Bernoulliego względem linii prądu. Z drugiej strony prędkość względna opływu vt2 daje się obliczyć za pomocą cyrkulacji płynu r po powierzchni walca: (6.1) Suma obydwu prędkości daje prędkość całkowitą o wartości: (6.2) Stosując równanie Bernoulliego można obliczyć ciśnienie p w punkcie P na powierzchni walca: (6.3) gdzie po jest ciśnieniem na zewnątrz walca, w dalszej od niego odległości.

Na podstawie równości (6.3) wyznaczono różnicę ciśnień: (6.4) Wyznaczamy następnie siłę nośną Żukowskiego działającą na walec przy opływie: (6.5) gdzie l jest długością walca. Działanie siły nośnej F na opływane ciało zwane jest efektem Magnusa, zaobserwowanym przez niego w roku 1852. Równanie (6.5) zostało po raz pierwszy wyprowadzone przez Kuttę - Jankowskiego i może być uogólnione również na przypadek opływu dowolnego ciała. Przyrównując do zera wyrażenie (6.5) określa się punkt zerowy prędkości opływu

(6.6) skąd obliczono wartość cyrkulacji (6.7) gdzie Θ0 jest kątem pomiędzy osią poziomą a promieniem r0 do punktu zerowego P0 na powierzchni walca. Zauważmy, że dla kąta prędkość opływu ciała osiąga wartość maksymalną: (6.8) Walec pod działaniem opływu doznaje obrotu z prędkością kątową (6.9) dla linii prądu nachylonych pod kątem 60° do osi poziomej.

Opływ kuli o promieniu R zanurzonej w płynie badał z kolei Stokes Opływ kuli o promieniu R zanurzonej w płynie badał z kolei Stokes. Całkowita siła nośna kuli przy opływie jest sumą siły wywołanej ciśnieniem oraz oporem opływu i wynosi: (6.10) gdzie C0 jest współczynnikiem opływu, S jest polem przekroju równikowego kuli, S =  R2. Prawo opływu kuli sformułowane przez Stokesa przy uwzględnieniu siły oporu lepkiego wyraża się wzorem (6.11) Dla opływu turbulentnego kuli wartość współczynnika opływu C0= 0,45. W przypadku przepływu laminarnego współczynnik ten oblicza się ze wzoru C0 = 24/Re za pomocą liczby Reynoldsa. Dodajmy również, że badania przeprowadzone przez Taylora oraz Rayleigha pozwoliły sformułować zależność dla częstotliwości wzorów Karmana, powstających przy opływie walca:

(6.12) Podobieństwo dynamiczne przepływów. Liczby kryterialne i analiza wymiarowa W technice występują grupy zjawisk, które można opisywać tymi samymi równaniami różniczkowymi, pomimo że ich zmienne opisowe, czyli współrzędne uogólnione są istotnie różne od siebie, np. elektryczne, mechaniczne, cieplne, przepływowe. Zjawiska takie, wykazujące podobieństwo modelowe, nazywamy zjawiskami analogicznymi względem siebie. Metodologia polegająca na porównywaniu wyników badań lub obliczeń na podstawie modelu analogicznego nazywa się modelowaniem analogowym lub analizą podobieństwa. Wyróżnia się następujące grupy podobieństw i analogii: - podobieństwo geometryczne, - podobieństwo fizyczne: statyczne, dynamiczne, cieplne, elektryczne itp.

Liczby podobieństwa dynamicznego Jako kryterium podobieństwa przyjmuje się równość odpowiednich parametrów oraz równań opisowych porównywalnych zjawisk. W układach hydrodynamicznych zachodzi podobieństwo różnych liczb kryterialnych, zwanych liczbami podobieństwa dynamicznego, opisujących siły bezwładności, lepkości, ciężkości oraz energie przepływu. Liczby podobieństwa dynamicznego Podstawową liczbą kryterialną podobieństwa dynamicznego jest liczba Reynoldsa, opisująca iloraz sił bezwładności do sił lepkości: gdzie η kg/ms jest współczynnikiem lepkości dynamicznej, I jest długością drogi przepływu. Liczba Froude'a jest ilorazem siły bezwładności do siły grawitacji. Liczba Froude'a opisuje opory falowe na powierzchni płynu. Wszystkie podane liczby kryterialne są bezwymiarowe.