NIM Krzysztof Ostrowski Mateusz Remus

WPROWADZENIE NIM należy do „gier w zabieranie” (ang. take-away games). Są to dwu-osobowe gry z „idealną” informacją, w których nie ma „szczęśliwych” ruchów, których wynikiem jest przegrana lub wygrana. Gry te są określone przez zbiór stanów (pozycji), wliczając pozycję początkową, oraz przez zawodnika, z którego ruchem mamy do czynienia. Podczas gry przechodzimy z jednego stanu w kolejny, a zawodnicy poruszają się naprzemiennie, aż do momentu, w którym zostanie osiągnięta pozycja końcowa. Pozycja końcowa to taka, z której nie możemy wykonać żadnych ruchów. W takim przypadku jeden z graczy jest zwycięzcą, a drugi przegranym.

HISTORIA NIM znana już była w czasach antycznych, do dziś wykształciło się wiele jej odmian. Gra prawdopodobnie pochodzi z Chin (bardzo przypomina chińską grę „Jianshizi” lub „zbieranie kamieni”), ale jej źródło nie jest do końca znane; najwcześniejsze europejskie wzmianki o NIMie pochodzą z początków XVI w. Jej obecna nazwa została zatwierdzona przez Charlesa L. Boutona z Uniwersytetu Harward, który to również rozwinął kompletną teorię na jej temat w roku Pochodzenie nazwy nie jest do dziś całkowicie wyjaśnione. Nazwa prawdopodobnie pochodzi od niemieckiego słowa „nimm” co znaczy zabierać, lub od przestarzałego angielskiego słowa „nim” o tym samym znaczeniu. Powinno też się zwrócić uwagę, że obracając słowo NIM o 180 o otrzymamy WIN co z angielskiego znaczy wygrywać.

NIM - zasady Zasady najbardziej klasycznej wersji: Mamy trzy stosy klocków (żetonów) nazwijmy je odpowiednio x1, x2, x3; W grze bierze udział dwóch graczy; Ruch polega na usunięciu dowolnej liczy żetonów z dowolnego stosu (ale tylko z jednego); Zwycięzcą zostaje gracz, który usunie ostatni żeton.

TERMINOLOGIA P-pozycja, N-pozycja P-pozycja – stan, który zapewnia zwycięstwo Poprzedniemu graczowi (graczowi który wykonał ruch); N-pozycja – pozycja, która zapewnia zwycięstwo Następnemu graczowi.

WŁASNOŚCI CHARAKTERYSTYCZNE: Poniżej znajdują się własności charakterystyczne dla P-pozycji i N-pozycji, które obowiązują dla wszystkich gier w zabieranie, wystarczające do osiągnięcia warunku końcowego, przy normalnych zasadach gry: 1. Wszystkie końcowe pozycje są P-pozycjami (dają zwycięstwo graczowi, który wykonuje ostatni ruch); 2. Z każdej N-pozycji istnieje przynajmniej jeden ruch do P-pozycji; 3. Z każdej P-pozycji każdy ruch zmienia stan na N-pozycję.

WSTĘPNA ANALIZA Istnieje tylko jedna pozycja końcowa, a mianowicie (0,0,0), która jest jednocześnie P-pozycją. Rozwiązanie jedno-stosowego NIMa jest trywialne: usuń cały stos. Każda pozycja z dokładnie jednym nie-pustym stosem (0,0,x) x>0 jest N-pozycją.

WSTĘPNA ANALIZA c.d. Rozważmy Nima dwu-stosowego. Widać, że P- pozycjami są te, dla których oba stosy mają taką samą liczbę żetonów, (0,1,1), (0,2,2) itd. Dzieje się tak dlatego, że jeśli mamy do czynienia z ruchem przeciwnika z takiej pozycji, zmieni on ją do takiej, w której na każdym ze stosów mamy różną liczbę żetonów, a wtedy ty możesz szybko wrócić do pozycji, w której na każdym stosie znajduje się ta sama liczba żetonów(i tak aż do pozycji (0,0,0))

WSTĘPNA ANALIZA c.d. Jeśli wszystkie stosy są nie-puste, sytuacja jest bardziej skomplikowana. Jasne jest, że (1,1,1), (1,1,2), (1,1,3) oraz (1,2,2) są N-pozycjami ponieważ łatwo mogą być sprowadzone do pozycji (1,1,0) albo (0,2,2). Kolejną łatwą do określenia pozycją jest (1,2,3) i jest ona P-pozycją ponieważ może ona być zredukowana jedynie do jednej z poprzednio odkrytych N-pozycji. Idąc dalej możemy odkryć, że kolejną prostą P-pozycją jest (1,4,5) oraz (2,4,6). Poruszając się dalej taką metodą trudno było by ją zgeneralizować, na każdą dowolną ilość żetonów.

NIM-suma PISOWNIA: Liczbę x = x m 2 m + x m-1 2 m-1 + … + x x 0 dla m Є N, gdzie x i jest albo 0 albo 1 (i = 0,1,…) będziemy zapisywać w postaci x = (x m x m-1 … x 1 x 0 ) 2. DEFINICJA: Nim-sumą z (x m … x 0 ) 2 i (y m … y 0 ) 2 nazywamy (z m … z 0 ) 2, oraz zapisujemy: (x m … x 0 ) 2 (y m … y 0 ) 2 = (z m … z 0 ) 2, gdzie dla każdego k = 0,1,…; z k = x k + y k (mod 2). Co daje z k = 1 jeśli x k + y k = 1 oraz z k = 0 jeśli x k + y k = 0.

WŁASNOŚCI NIM-SUMY: NIM-suma jest: Łączna, Przemienna, 0 jest jej identycznością, Każda liczba jest swoim zaprzeczeniem, Przechodnia.

TWIERDZENIE C. L. BOUTONA Pozycja (x1,x2,x3), w grze NIM jest P-pozycją wtedy i tylko wtedy jeśli nim-suma jej składników jest równa 0.

NIM z większą liczbą stosów Jedno-stosowy nim jest trywialny, dwu stosowy łatwy. Komplikacja zaczyna się dopiero gdy dołączymy 3-ci stos. Moglibyśmy oczekiwać, ze 4-ro stosowy nim będzie jeszcze bardziej skomplikowany, ale na szczęście to nie jest prawdą. Tw. Boutona działa również dla większej ilości stosów.

Dowód: Sprawdzamy 3 własności charakterystyczne: 1.Wszystkie końcowe pozycje są P-pozycjami Jest tylko 1 pozycja końcowa, a mianowicie taka w której nie ma żetonów na stosie, zatem: 0 0 …= 0 – jest to P-pozycja.

2.Z każdej N-pozycji istnieje przynajmniej jeden ruch do P-pozycji: Z kolumn nim-sumy, wybieramy pierwszą kolumnę od lewej, której nim-suma wynosi 1 (posiada nieparzystą ilość jedynek) - ozn. kolumna *. Następnie wybieramy którykolwiek wiersz (stos) który w tej kolumnie ma 1 i zmieniamy go w ten sposób, aby w każdej kolumnie nim-suma była równa zero. Taki ruch jest dozwolony bo zmniejsza liczbę z tego wiersza (stos) - pierwszą cyfrą z zapisu binarnego tej liczby, która zostaje zmieniona jest 1 z kolumny * (zmieniał się na 0).

3. Z każdej P-pozycji każdy ruch zmienia stan na N-pozycję: Jeżeli stan (x 1, x 2, x 3, …) jest P-pozycją i zmieniając którekolwiek x i na x’ (x’<x i ). Niemożliwym jest aby: x 1 x 2 … x i …= 0 = x 1 x 2 … x’ … Ponieważ wówczas xi = x’ a to jest sprzeczne.

Fakt: Z dowodu pkt-u 2 wynika, że w NIM-ie ilość wygrywających ruchów z N-pozycji jest równa ilość jedynek w pierwszej kolumnie od lewej, której nim-suma wynosi 1. W konsekwencji – liczba wygrywających ruchów z N-pozycji jest zawsze nieparzysta.

Misère NIM Rozważmy grę NIM z zasadą misère (franc. bieda), tzn. że przegrywa ten gracz który bierze ostatni żeton ze stosu. Czy istnieje strategia wygrywająca? Pytanie wydaje się dość trudne, ale po chwili namysłu okazuje się być proste.

Misère NIM Istnieje metoda Bouton’a dla misère NIM: Graj w NIM-a z normalnymi zasadami do momentu, aż zostaną przynajmniej 2 stosy o liczbie większej niż 1. Gdy twój przeciwnik w końcu wykona ruch, po którym zostanie dokładnie jeden stos o liczbie większej niż 1, usuń z niego tyle żetonów (wszystkie lub wszystkie poza jednym), aby po twoim ruchu została nieparzysta liczba stosów z 1 żetonem.

Misère NIM Strategia ta działa ponieważ strategia wygrywająca w NIM-ie z normalnymi zasadami nigdy nie zmusza do zostawienia dokładnie jednego stosu z liczbą żetonów większą niż 1 (nim-suma musi być zawsze równa zero), a przeciwnik nie może z sytuacji gdy ma 2 stosy o liczbie żetonów większej niż 1 dojść w 1 ruchu do stanu gdzie nie ma żadnego stosu o liczbie większej niż 1. Więc w rezultacie gra po strategii standardowej upraszcza się do stanu gdzie pozostaje 1 stos o liczbie żetonów większej niż 1.

Warianty gry NIM: Marienbad: 16 pionów ustawiamy w 4 rzędach: 1 rząd – 1 pion; 2 rząd – 3 piony; 3 rząd – 5 pionów; 4 rząd – 7 pionów. Ruch polega na wzięciu od 1 piona do całego rzędu. Przegrywa gracz, który zabiera ostatni pion.

Warianty gry NIM: Wythoff (wyhoff): piony dzielimy na dwie różnoliczne kupki, bierzemy co najmniej 1 pion z 1 kupki; można brać piony z obu kupek w jednym ruchu, ale bierzemy wówczas tę samą ilość pionów z jednej i drugiej kupki

Warianty gry NIM: Kayles: Ustawiamy 13 pionów w następujący sposób: O OOOOOOOOOOOO. Ruch polega na wzięciu 1 lub 2 pionów, ale gdy bierzemy 2 piony musimy pamiętać aby się stykały ze sobą. Wygrywa ten, kto bierze 1 lub 2 ostatnie piony.

Warianty gry NIM: Kubo: 27 pionków ustawiamy w kwadrat 3x3 po trzy na sobie. gracz może zabrać 1,2 bądź 3 pionki z jednej z 9 kupek lub po jednej z sąsiadujących pionowo, bądź poziomo kupek.

Warianty gry NIM: Dziewiętnaście: dziewiętnaście pionków ustawia się w sześciokąt foremny. wolno brać jeden kamień, dwa sąsiadujące, bądź trzy sąsiadujące (ale każdy z każdym – mały trójkącik). Taktix: 16 pionków ustawiamy w kwadrat 4x4. wolno zbierać dowolną ilość kamieni byle z tylko jednej kolumny, bądź wersu.

Nimble (ang. szybki, prędki, żwawy)

Źródła: …

Dziękujemy za uwagę.